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函数连续 连续与一致连续 一 内容提要 1.函数在一点的连续性 若函数f(x)在x0处的邻域内有定义，x®x0f(x)在点x0连续ÛlimDy=0Ûlifm(x)=f(x0)Ûlimf(x)=f(limx)Û"e>0,$d>0,Dx®0x®x0x®x0使得"x:0<x-x0<d，有f(x)-f(x0)<e f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在x0右连续；若limf(x)=f(x0)，则称函注1 若lim+-x®x0x®x0数f(x)在x0左连续 f(x)=limf(x)=f(x0) f(x)在点x0连续Ûlim+-x®x0x®x0注2 设f(x)定义于区间I，x0ÎI，则f(x)在x0连续的充要条件是 n®¥ìü"xnÎíxn|xn®x0,xnÎIý，有limf(xn)=f(x0) n®¥îþ称之为连续的海涅归结原则 注3 初等函数在有定义的地方处处连续 2间断点的分类 若函数f(x)在x0处的某个空心邻域内有定义，f(x)在点x0处无定义，或f(x)在点x0有定义而不连续，则称点x0为函数f(x)的间断点 第一类间断点 可去间断点：f(x0-0)=f(x0+0)=A，f(x)在点x0处无定义，或有定义但f(x0)¹A 跳跃间断点：f(x0-0)¹f(x0+0) 第二类间断点 f(x0-0)，f(x0+0)中至少有一个不存在 3连续函数的局部性质 若函数f(x)在点x0连续，则$d,M>0，使得"x:0<x-x0<d，有f(x)£M 若函数f(x)在点x0连续，且f(x0)>g，则$d>0，使得"x:0<x-x0<d，有f(x)>g 四则运算：若函数f(x)，g(x)均在点x0连续，则 f(x)±g(x)，f(x)×g(x)，f(x)在点x0连续 g(x)若函数f(x)在点x0连续，g(x)在点u0连续，且u0=f(x0)，则 limg(f(x)=gæçlimf(x)ö÷=g(f(x0) x®x0èx®x0ø即函数g(f(x)在点x0连续 4 闭区间上连续函数的整体性质 有界性定理：若f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上有界 最值定理：若f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上能取得最大值M和最小值m 介值定理：若f(x)在a,b上连续，则"(a,b)Ìa,b，f(x)可取介于f(a)与f(b)之间的一切值 零点定理：若f(x)在a,b上连续，且f(a)×f(b)<0，则在区间(a,b)内至少存在一点x，使得f(x)=0 注1 闭区间上连续函数的整体性质在整个分析理论中具有重要性 注2 介值定理和零点定理是讨论方程f(x)=0的根的重要工具 5 一致连续性 设函数f(x)在区间I上有定义，若对"e>0,$d(e)>0,使得"x1,x2ÎI，只要x1-x2<d，就有f(x1)-f(x2)<e，则称f(x)在I上一致连续 注1 f(x)在区间I上一致连续Û"e>0,$d(e)>0,使得"x0ÎI，只要x-x0<d，就有f(x)-f(x0)<e 注2 一致连续定义中的d是对整个区间I适用的，即d只信赖于e，而于x1,x2的位置无关，不论x1,x2在I的什么位置，只要x1与x2接近到同一程度，其函数值f(x1)与f(x2)就能接近到要求的程度，这表明函数f(x)在I的“连续程度”是一致的、均匀的 注3 f(x)在区间I上非一致连续Û$e0>0,"d>0,总存在x¢,x¢¢ÎI，使得x¢-x¢¢<d，但f(x¢)-f(x¢¢)>e0 ¢¢¢ÎI，若 注4 f(x)在区间I上一致连续Û对任何数列xn,xn¢)-f(xn¢¢)=0 ¢-xn¢¢)=0，则有lim(f(xn lim(xnx®¥x®¥称之为函数一致连续的Heine归结原则 注5 f(x)在a,b上连续，则函数f(x)必定是一致连续的 注6 若f1(x),f2(x)在I上均一致连续，则函数f1(x)±f2(x)在I上一致连续，特别的，若I为有限区间，则f1(x)×f2(x)，f1(x)(f2(x)¹0)在I上一致连续 f2(x)注7 有关一致连续的几个重要结论： 满足Lipschitz条件的函数f(x)在I上一定一致连续 f(x)ÎCa,+¥)，且单调有界，则f(x)在区间a,+¥)上一致连续 f(x)ÎCa,+¥)，且limf(x)存在，则f(x)在区间a,+¥)上一致连续 x®+¥若f¢(x)在区间I上有界，则f(x)在区间I上一致连续 f(x)与limf(x)存在 f(x)ÎC(a,b)，f(x)在(a,b)上一致连续Ûlim+-x®ax®b