函数与极限练习题.docx

函数与极限练习题题型 一 二 三 一 求下列函数的极限 求下列函数的定义域、值域 判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型 内容 函数 1. 函数的概念 2. 函数的性质有界性、单调性、周期性、奇偶性 3. 复合函数 4. 基本初等函数与初等函数 5. 分段函数 二 极限 数列的极限 1. 数列极限的定义 2. 收敛数列的基本性质 3. 数列收敛的准则 函数的极限 1. 函数在无穷大处的极限 2. 函数在有限点处的极限 3. 函数极限的性质 4. 极限的运算法则 1. 无穷小量 2. 无穷大量 无穷小量与无穷大量 3. 无穷小量的性质 4. 无穷小量的比较 5. 等价无穷小的替换原理 三 函数的连续性 1. 函数在点x0处连续的定义 2. 函数的间断点 3. 间断点的分类 4. 连续函数的运算 5. 闭区间上连续函数的性质 例题详解 题型I函数的概念与性质 题型II求函数的极限 题型III求数列的极限 题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值 题型V无穷小的比较 题型VI判断函数的连续性与间断点类型 题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明 自测题一 一 填空题 二 选择题 三 解答题 x月x日函数与极限练习题 一填空题 æ1ö1.若函数f(x)=ç÷-1，则limf(x)=_ x®+¥è2øxx2-12.若函数f(x)=，则limf(x)=_ _x®1x-13. 设y=3u,u=v2,v=tanx, 则复合函数为 y=f(x) = _ ìïcosx4. 设 f(x)=íïîxx£0x>0 ，则 f(0) = _ x<0x³0ìax+b5.已知函数 f(x)=í2îx+1，则f(0)的值为 ( ) (A) a+b (B) b-a (C) 1 (D) 2 6. 函数 y=x-2 的定义域是 ( ) x-3(A) (2,+¥) (B) 2,+¥ (C) (-¥,3)U(3,+¥) (D) 2,3)U(3,+¥) 117. 已知 f= ，则 f(2)= _ x1-x1+x+4，其定义域为 _ 8.y=1-x 9. y=arcsin1-x2+11-x2 的定义域是 _ 10. 考虑奇偶性，函数 y=ln(x+x2+1) 为 _ 函数 x7-1sinx= _ = _；11.计算极限： limlimx®1x-1x®¥x3n2xlim = _；lim2 = _ n®¥5n+2n-1x®¥x+sinx12.计算：当 x®0 时，1-cosx 是比 x _ 阶的无穷小量； 当 x®0 时， 若 sin2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a= _； ì-2,x£-1ï13. 已知函数f(x)=íx-1,-1<x<0，则limf(x) 和 limf(x)( ) x®0x®-1ï20£x<1î1-x,(A) 都存在 (B) 都不存在 (C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在 ì3x+2,x£014. 设 f(x)=í2 ，则 limf(x)= ( ) +x®0îx-2,x>0(A) 2 (B) 0 (C) -1 (D) -2 115. 当 n®¥ 时，nsin 是 ( ) n x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 2 下列极限正确的 A limsinxx-x®¥x=1 B limsinx不存在 x®¥x+sinxC limx®¥xsin1x=1 D limarctanpx®¥x=2ìï1xsinx(x<0)ï3. 设f(x)=ïí0(x=0)且limf(ï1x)存在，则a= A.0； B.¥； C 1； D.2 26.极限：limx-1x®¥(x+1)x=( ) A.1； B.¥； C.e-2； D.e2 7. 函数 y=x2(x-1)2在区间 (0,1) 内 ( ) (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 8. 4若limf(2x)x®x=2，则limx0x®0f(3x)= A3 B13 C2 D12 ） 2öæ1æxölim-9.计算：limç =ç÷= ÷2x®1x-1x®¥1+xx-1èøèøx(2x-1)(3x+2)97=lim lim100x®¥n®¥(3x+1)æ11arcsinxöxlimçesin2+÷= xlim®0+x®0-xxèø3n(n+1-n-2)= x(x+x)= _ ； sinxx2-110.若函数y=2，则它的间断点是_ x-3x+2ì-x12ï11.设 f(x)=íe,ïî0,二综合题 12.计算： x¹0 在 x=0处_连续 x=01+tanx-1+sinxsin3x+2x21öæ求lim 求lim 求limçsin+cos÷ x®¥sin2x-3xx®0x®¥x(1-cosx)xxøèex-e-x-2xlncos2xéæ1öù求lim 求lim 求limêx-x2lnç1+÷ú x®0x®0lncos3xx®¥x-sinxèxøûë求lim3x-9x2-12x+1 求limê(1+x)ú x®¥x®0x()éêêë1xùúúû1xeì-1xïïe+a,x>013. 设f(x)=í且limf(x)存在，求a的值。 x®0ï1-cosx,x<0ïxîx2-mx+8114. 已知lim2=，求常数m,n的值。 x®2x-(2+n)x+2n511-15. 求f(x)=xx+1的间断点，并判别间断点的类型。 11-x-1xìx1ï-116.设f(x)=íe,x>0指出f(x)的间断点，并判断间断点的类型。 ïîln(1+x),-1<x£0x月x日函数与极限练习题 一填空题 2+1.极限：lim(xx-x)= x®+¥A.0； B.¥； C.2； D. 1 22.极限: limtanx-sinx= 3x®sin2x016A.0； B.¥； C. 1； D.16 22xln1+x()sinnx3.若l=0,则正整数n= im=0且limnx®0x®01-cosxsinx，4.计算：极限limxsinx®¥2x= x2+1arctanxlimxx®0=_ lim(1-)=_ n®¥2nnx2-15.若函数y=2，则它的间断点是_ x-3x+2x2+2(+ax)=0，则常数a等于6.已知极限lim。 x®¥xA -1 B 0 C 1 D 2 7.lim12x111=_ lim(1-)=_ +L+x®¥n®¥x1223n(n+1)2ex-18.极限lim等于。 x®0cosx-1A ¥ B 2 C 0 D -2 9.当x®+0时，无穷小a=ln(1+Ax)与无穷小b=sin3x等价，则常数A=_ æ5ö10.若limç1+÷n®¥ènø-kn1æö1arcsinx-10ximesin2+ =e,则k= 11.l÷=-çx®0xxèø0时，为无穷小量的是12.当x® sin11sinxx xsin 2 xxxìx+4-213.设函数f(x)=ï 在x=0处连续，则k等于 íxïkî4 11 2 4214.设f(x)=x-1，则x=1是函数的 x-1连续点 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 1+cosx, x³0,ìf(x)=15.设函数在x=1处连续，则常数a= í2xke, x<0.î32Ax+Bx+Cx+116.l，则A=_，B=_，C=_ im=1x®¥3x+C17.limx®-21-x-32secx= lim(1+cosx)=2px+x-2x®21+x-xlim= x®¥x二综合题 x2-2x+1sin3x(3x+2x-3) lim计算极限：lim lim2x®2x®1x®0x x-x18.2ex-ea42xln22lim(x+1-x-1) lim limlim(1-)®¥x®ax®0x®¥x-a xx x1+xsinx-12x+3x+1111tanx-sinxlimlim limlim(1-)(1-)L(1-)3222x2x®0x®¥x®0n®¥2x+1 x23n e-1 3x-ax2-x+419.设lim 具有极限，求a,l的值 x®-1x+11ìïxsin20.试确定常数a，使得函数f(x)=íx2ïîa+xx>0x£0 ，在(-¥,+¥)内连续 x月x日函数与极限练习题 一选择题 2f(x)=x+2，则ff(x)为 1.设函数242424244+4x+x 6+4x+x 4+6x+x 6+2x+x pìln(1+x),x£ïï2f(x)=ípïsinx,x>ï2î2.函数 则f4等于 p3.下列函数中是有界函数的是 ln(1+ppp24 2 2 4)(A)y=x2+3x+1 (B)y=x2+x (C)y=log2(x+1) ( D)y=arcsinx 4.当x®0 时,tanx 是sinx 的 (A)高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 同阶非等价无穷小 (D) 等价无穷小 ì11+, xf0ïïxf(x)=í 在点x=0 点 间断是因为1ï, x£02ïîx+15.函数 (A) f(x) 在点 x=0 无意义 (B) 左极限不等于右极限 (C) linf(x)不存在 (D) linf(x)¹f(0)x®0x®0ìe-1, x¹0ï设f(x)=íx ,则limf(x)=x®0ï0, x=0î6. (A ) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 2 x7.当x®0 时,下列函数为无穷小的是 sinx1(A) (B) x2+sinx (C) sin(1+x) (D) 2x-1xx sin(x-3)lim=2x®3x-98.极限 1(A) 0 (B) 61 (C) 1 (D) 3 alim(1+)bx+d=x9.n®¥ ab+dbab(A) e (B) e (C) e (D) e 1nlim(1-)=n®¥n+110. -1-22(A) e (B) e (C) e (D) e sina(x+2)1=,则 a=x®-2x+2211.极限 lim1(A ) 2 (B) (C) 0 (D) 不存在2 二填空题 1.ìpïsinx, xp1pf(x)=í,f=_,f(-)=_42ïî0, x³1。 22.设f(x+1)=x+2x+2，则f(x)=_。 33.设y=u, u=1+v , v=arccosx，则复合函数y=f(x)=_。 4.设ìx+1, x>0ïf(x)=íp, x=0ï0, x<0î，则fff(-1)=_,值域为_。 1x+p与g(x)=qx-635. 的图象关于直线p=_,q=_。 函数f(x)=1y=f(t-x),且 y2x7.设ìï1,f(x)=íïî0,y=x对称，则 6.设 f(x)的定义域为 0,1，则f(sinx) 的定义域为_。 x=1t2=-t+5,则 f(x)=_2。 x£1xf1_。 ，则函数ff(x)=_xx设 f(sin)=1+cosx, 则 f(cos)=_229.。 8.设函数f(x)=1(x-1)2,当x®_时,f(x)是无穷大;当x®_时,f(x)是无穷小10.11.若limn®¥。 =3,则k=_5 3nk+10n5n3-n+9ì-2x, x¹1ïf(x)=í1ï-3, x=1î12.函数的间断点为_，是第_类间断点。 x-2f(x)=2的可去间断点是_x-x-213.函数。 x2x®0 时,ax 与tan为等价无穷小,则 a=_414.设当。 sinx2x-1lim=_plim=_xx®x®0x15.2，。 x2-x+a若lim=3, 则 a=x®2x-216._。 21lim2xf(x)=_f(x)x®¥xx17.当时，函数与是等价无穷小，则®¥。 ìïx2+k, x³1f(x)=í ïcospx, x<1î处处处连续，则k=_。 18.函数x的间断点是_sinx19.函数 1lim(x-p)cos2=x®px-p20_。 y=21.若lim(1-ax)=e2, 则 a=_。 x®02x22,则 a=_。 22.设当x®0 时,1+ax -1与x为等价无穷小三综合题 1、求下列极限 x2-3x+2ex+e-x-2x+sin2xsinx-cosx(2)lim2(4)lim(1)lim(3)limx®1x-4x+3x®0x®¥x®0x-sin2x3xx x1211+2L+næ2x+1ö1-cos2x(5)lim(6)lim(-)(7)limç÷(5)lim2x®¥x®28-x3n®+¥x®02x-12-x n+3n èø xsinx 1+xsinx-1æ1ö(3)limç1-÷(5)lim2x®+¥x®0ènø ex-1 klim(1+)x=ex2.设x®+¥，求k。 xxxöælimçcosx×cos×cos2×L×cosn÷222ø 2. 求n®¥ènx2+1若极限lim(+ax+b)=0 ,试求a,b的值x®¥x+13.。 ìcosx, x³0ïïx+2f(x)=í ïa-a-x, xp0ïxî，af0， 4.设当a取何值时，x=0是f(x)的连续点， 当a取何值时，x=0是f(x)的是间断点， 当a=2时，求函数f(x)的连续区间。 525.已知 x+ax+x+1=0在 (-1,1)内至少有一个实根,求 a的取值范围。 6.设f(x)在x=2处连续，且ìx2-ax+b,x>1ïf(x)=í1-x,ïx2+1, x<1î4ùé1limf(x)ê-2úf(2)=3,求x®2ëx-2x-4û。 7.设若x®1limf(x)存在，求a,b的值。 8.试判定方程(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0有几个实根，分别在什么范围内？