函数的定义域与值域单调性与奇偶性.docx

函数的定义域与值域单调性与奇偶性函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一. 本周教学内容： 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 二. 教学目标： 理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。 三. 教学重点：函数性质的运用 四. 教学难点：函数性质的理解。 学习过程 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 求函数解析式的常用方法： 换元法 待定系数法 整体代换 构造方程组为奇函数且g为偶函数等） 求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式yf表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： 若f是整式，则函数的定义域是实数集R； 若f是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； 若f是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若f是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； 若f是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域的一般方法： 利用基本初等函数的值域； 配方法； 不等式法函数的单调性：特别关注y=x+k(k>0)型的函数） xk(k>0)的图象及性质 x部分分式法、判别式法 换元法 导数法 反函数法 数形结合法 4. 求函数的单调性 定义法： 导数法： 利用复合函数的单调性： 关于函数单调性还有以下一些常见结论： 两个增函数的和为_；一个增函数与一个减函数的差是_；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_的单调性； 互为反函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性； 求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f 与f的关系。f f0Ûf f Ûf为偶函数； f+f0Ûf f Ûf为奇函数。 判别方法：定义法，图象法，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 6. 周期性：定义：若函数f对定义域内的任意x满足：ff，则T为函数f的周期。 其他：若函数f对定义域内的任意x满足：ff，则2a为函数f的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 二、典型例题分析 例1. 若集合Aa1，a2，a3，Bb1，b2 求从集合A到集合B的映射的个数。 分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合Aa1，a2，a3中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N2²2²28个。 例2. 线段|BC|4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|y，|AB|x，求yf的函数表达式及这函数的定义域。 解：1°若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知， x222+y24ycosAMB 2222+y4ycos 22222+ x+2y+8 yx6x+14 22又 x6x+14+5恒正，y=x2-6x+14 又三点A、B、C能构成三角形 ìx+(6-x)>4ï íx+4>6-x ï4+(6-x)>xî1x5 2°若三点A、B、C共线，由题意可知， x+46x，x1 或4+6xx x5 综上所述：y=x2-6x+14 (1£x£5) 说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。 例3. 设f为定义在R上的偶函数，当x1时，yf的图象是经过点，斜率为1的射线，又在yf的图象中有一部分是顶点在，且过点的一段抛物线，试写出函数f的表达式，并在图中作出其图象。 解：当x1时，设fx+b 射线过点 02+b即b2，fx+2 2当1<x<1时，设fax+2 2抛物线过点，1a²+2，即a1 2fx+2 当x1时，fx+2 综上可知：fìx+2,x£-1ï2í2-x,-1<x<1ï-x+2,x³1î作图由读者来完成。 例4. 求下列函数的定义域 y=4(x2-3x-4)32 y=27-3log2(x-3x-10) |x+1|-2ìx2-3x-4³0Þx£-1或x³4í解：î|x+1|-2¹0Þx¹1且x¹-3 x4或x1且x3，即函数的定义域为4，+ 27-3log2(x2-3x-10)³0，则log2(x2-3x-10)£3 2 0<x3x108，即 2ìïx-3x-10£8Þ-3£x£6 í2ïîx-3x-10>0Þx<-2或x>53x2或5x6即定义域为3，2 说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。 1变、已知函数f的定义域为1，4，求f(+2)的定义域。 x11解：-1£+2<4，则-3£<2 xx111又 ¹0，-3£<0或0<<2 xxx11则x£-或x>即为所求函数的定义域。 321说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把y=f(+2)看成是由yf、x11u=+2两个函数复合而成的，因为1u4，则-1£+2<4，从而求出x的范围，另外，xx对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。 例5. 若对于任何实数x，不等式：|x-1|+2|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。 解：令f|x1|+2|x2|，去绝对值把f表示成分段函数后为 53x x1 f 3x 1x2 3x5 x2 作出yf的图象如图，由此可知f的最小值为1，fa对一切实数x恒成立，则a1。 说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数f|x1|+2|x2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。 例6. 求函数f(x)=2x-3+13-4x的值域。 2解：令13-4x=t³0，则134xt 13-t2113-t2 y=-3+t=-(t-1)2+4 x=224该二次函数的对称轴为t1，又t0由二次函数的性质可知y4，当且仅当t1即x3时等式成立，原函数的值域为。 说明：对于所有形如y=ax+b+cx+d的函数，求值域时我们可以用换元法令 cx+d=t³0转化为关于t的二次函数在区间0，+）上的最值来处理。这里要注意t340的范围不能少。如：已知f的值域为 , ，试求函数y=f(x)+1-2f(x)的值域。89该题我们只需要把f看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了。如求函数y=x-1-4x2的值域，若令1-x2=t，则x无法用t来表示。这里我们如果注意到x的取值范围：2xxx2，则11的话，我们就可以用三角换元：令=cosq0，问题也就转化22为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时，要注意的限制条件，因为当取遍0到x之间的每一个值时，恰好可以取遍1到1之间的每一个值，若不限制的范围，则根号2无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。 例7. 求下列函数的最值。 y=3x+2-7-x y=|x|×1-x2 ìx+2³0í解：先求出函数的定义域：î7-x³0 2x7，又在区间2，7上函数y1=x+2单调递增，y2=-7-x单调递增，所以y=3x+2-7-x在定义域内也单调递增。 当x2时，ymin=-33；当x7时，ymax=33 222|x|×1-x20 yx由基本不等式可知： 221y2x2x+(1-x)2=1，又y0 ymin=0，ymax=。 224说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。 例8. 设a0，x1，1时函数yx2ax+b有最小值1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。 a4b+a2 解：y=-x2-ax+b=-(x+)2+24aa0， x=-0，又定义域为1，1 2x1时ymin=-1，即1a+b1 ab0 下面分a的情形来讨论： a1°当0-1即0a2时， 2aa2y=1x=-当时，max即+b=1，则 24ìa2+b=1ïí4ïa=bî a2+4a40，a=-2±22 又a a=-2+22，则x=1-2 a2°当-1，即a2时，当x1时ymax=1 21+a+b1，a+b2 又ab a1 与a2矛盾，舍去 综上所述：x1时，ymin=-1，x=1-2时ymax=1。 ax2+1例9. 已知函数yfbx+c是奇函数，当x>0时，f5有最小值2，其中bN且f<2 试求函数f的解析式； 问函数f的图象上是否存在关于点对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 解：f是奇函数， ax2+1ax2+1ff，即=-Þbx+c=bx-c bx+c-bx+caax2+1a1c0，a>0，b>0，x>0，f2， =x+b2bxbbxa122ab时等号成立，于是2， ab25a+15b2+1512由f得即，2b5b+20，解得b2，又bN，b2222b1b1，a1，fx+ x设存在一点在yf的图象上，并且关于的对称点也在yf的图象上，则í2ï(2-x0)+1=-y0ï2-x0î当且仅当x2消去y0得x02x010，x01±2 yf的图象上存在两点，关于对称 例10. 已知奇函数f的定义域为R，且f在0，+）上是增函数，是否存在p实数m，使f+f>f对所有0，2都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由 解：f是R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，f是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f>f， 2即cos23>2mcos4m，即cosmcos+2m2>0 设tcos，则问题等价地转化为函数 m2m2gtmt+2m2+2m2在0，1上的值恒为正，又转422化为函数g在0，1上的最小值为正 m<0，即m<0时，g2m2>0Þm>1与m<0不符； 2mm2+2m2>0 当01时，即0m2时，g42Þ422<m<4+22，422<m2 当当m>1，即m>2时，gm1>0Þm>1 m>2 2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>422 2另法cosmcos+2m2>0对于0，2等价于m>/ 对于0，p 恒成立，2p恒成立 2当0，p2时，/ 422， 2m>422 21-x+1+x+1-x的最大值为g例11. 设a为实数，记函数fa。 设t1+x+1-x，求t的取值范围并把f表示为t的函数m； 求g； 1）的所有实数a. a解：t1+x+1-x 求满足ggatat2+ta， t2，2 2212由题意知g即为函数mat+ta， t2，2的最大值. 2112注意到直线t是抛物线mat+ta的对称轴，分下列情况讨论. a2<1>当a>0时，函数ym， t2，2的图像是开口向上的抛物线的一段，由t1<0知m在2，2上单调递增， agma+2. <2>当a0时，mt， t2，2， g2. <3> 当a<0时，函数ym， t2，2的图像是开口向下的抛物线的一段， 120，2，即a，则gm2. a2æ21ù111-,-t2agama. 若有，即ç，则úç2ûaa2aè211若有t(2,+¥)0，2，即a(-,0)，则gma+2. a2若有t1ìa+2,a>-;ï2ï121ï,-<a£-; 综上有gí-a-2a22ïï22,a£-ï2.î13当a>时，ga+2>>2， 22é12öæ2ù1121,1-a¹-当-，所以， ÷ç<a£-时，aê,ú÷ç2222a2a22ëøèû112g-a->2(-a)×(-)2.因此当a>时，g >2. 2a2a2111当a>0时，>0，由gg知a+2+2解得a1. aaa111当a<0时，a×1，因此a1或1，从而g2或g2. aaa12122 要使gg，必须有a或，即2aaa2221此时g2g. a12a1. 综上知，满足gg的所有实数a为：2a或a2选择题 1. 设f是上的奇函数，ff，当0x1时，fx，则f等于 A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.5 2. 已知定义域为的奇函数yf又是减函数，且f+f<0，则a的取值范围是 A. B. C. D. 3. 若函数fA. 3 mx3在定义域内恒有ffx，则m等于 44x-333 B. C. D. 3 224. 设函数yf的图象关于直线x1对称，在x1时，f21，则x>1时f等于 A. f21 B. f21 C. f2+1 D. f21 x5. 函数y=(1)22-x+14的值域是 B. 1，+ C. D. 0，1 A. (8+2x-x)6. y=log1的值域是 32A. y2 B. y2 C. yR D. y0 填空题 7. 若f为奇函数，且在内是增函数，又f0，则xf<0的解集为_。 8. 如果函数f在R上为奇函数，在上是增函数，且ff，试比较f，f，f的大小关系_。 33解答题 9. 已知f是一次函数，且ff4x1，求f的解析式； 4x+6已知f(4x+1)=，求f的解析式； 16x2+1kx+510. 若函数y=2的定义域为R，试求实数k的取值范围。 k+4kx+311. 求下列函数的值域 y=1-lg(e+e) y=x-xx2-2x+3x+2x+3212. 定义在上的减函数f满足ff对4ax2+113. 已知函数yf是奇函数，当x>0时，fbx+c5有最小值2，其中bN且f< 2试求函数f的解析式； 问函数f图象上是否存在关于点对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。 14. 已知函数yf是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf是奇函数，又知yf在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x2时，函数取得最小值，最小值为5。 证明 f+f0； 试求yf，x1，4的解析式； 试求yf在4，9上的解析式。 1. B 2. A 3. D 7. 8. fff 3319. f(x)=2x-或f2x+1 3x+5 f(x)=2x-2x+2310. 0k 411. 解： 2-3，2+3 ìïm-sinx£4ìm-4£sinxï7ïï2 12解、即íí1+2m-+cosx£4724m-1+2m+³-sinx+sinx+1ïïî47ï2m-sinx³1+2m-+cosxïî4对xR恒成立 ìm£3ïí31 m³或m=ï22îm31，3 2213. 解：f是奇函数， ax2+1ax2+1ff，即=-Þbx+c=bx-c bx+c-bx+caax2+1a1c0，a>0，b>0，x>0，f2， =x+b2bxbbxa122ab时等号成立，于是2， 2ab5a+15b2+1512由f得即，2b5b+20，解得b2，又bN，b2222b1b1，a1，fx+。 x设存在一点在yf的图象上，并且关于的对称点也在yf图象上，则í2ï(2-x0)+1=-y0ï2-x0î当且仅当x2消去y0得x02x010，x01±2。 yf图象上存在两点，关于对。14. 证明：yf是以5为周期的周期函数， fff， 又yf是奇函数，fff，f+f0 解：当x1，4时，由题意，可设 fa25，由f+f0 22得a5+a50， 2解得a2，f25 解：yf是奇函数， ff，f0， 又yf 是一次函数， 可设fkx， 2f253， fk²1k，k3 当0x1时，f3x， 当1x0时，f3x， 当4x6时，1x51，ff33x+15， 当6x9时， 221x54，ff22525 (4£x£6)ì-3x+15 fx í2 (6<x£9)î2(x-7)-5 林肯的独断 美国总统林肯，在他上任后不久，有一次将六个幕僚召集在一起开会。林肯提出了一个重要法案，而幕僚们的看法并不统一，于是七个人便热烈地争论起来。林肯在仔细听取其它六个人的意见后，仍感到自己是正确的。在最后决策的时候，六个幕僚一致反对林肯的意见，但林肯仍固执己见，他说：“虽然只有我一个人赞成但我仍要宣布，这个法案通过了。” 表面上看，林肯这种忽视多数人意见的做法似乎过于独断专行。其实，林肯已经仔细地了解了其它六个人的看法并经过深思熟虑，认定自己的方案最为合理。而其它六个人持反对意见，只是一个条件反射，有的人甚至是人云亦云，根本就没有认真考虑过这个方案。既然如此，自然应该力排众议，坚持己见。因为，所谓讨论，无非就是从各种不同的意见中选择出一个最合理的。既然自己是对的，那还有什么犹豫的呢？