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函数定义域值域求法总结预习资料函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： 分母不为零 偶次根式的被开方数非负。 对数中的真数部分大于0。 指数、对数的底数大于0，且不等于1 y=tanx中xk+/2；y=cotx中xk等等。 ( 6 )x0中x¹0 二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法： 直接法 图象法 函数单调性法 配方法 换元法 反函数法 分离常数法 判别式法 复合函数法 不等式法 平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： 11； f(x)=3x+2； f(x)=x+1+ x-22-x1解：x-2=0，即x=2时，分式无意义， x-21而x¹2时，分式有意义，这个函数的定义域是x|x¹2. x-223x+2<0，即x<-时，根式3x+2无意义， 32而3x+2³0，即x³-时，根式3x+2才有意义， 32这个函数的定义域是x|x³-. 3 f(x)=当x+1³0且2-x¹0，即x³-1且x¹2时，根式x+1和分式这个函数的定义域是x|x³-1且x¹2 1 同时有意义， 2-xìx+1³0另解：要使函数有意义，必须： í Þ 2-x¹0î例2 求下列函数的定义域： f(x)=ìx³-1 íx¹2îx2-3x-4x+1-24-x-1 f(x)=2 1 f(x)=11+11+1x f(x)=(x+1)0x-xy=x-2+3+313x+7解：要使函数有意义，必须：4-x³1 即： -3£x£3 函数f(x)=24-x2-1的定义域为： -3,3 ìx2-3x-4³0ìx³4或x£-1要使函数有意义，必须：í Þíîx¹-3且x¹1îx+1-2¹0 Þx<-3或-3<x£-1或x³4 定义域为： x|x<-3或-3<x£-1或x³4 ìx¹0ïï1ï要使函数有意义，必须： í1+¹0 Þ xïï1+1¹01ï1+îx1 函数的定义域为：x|xÎR且x¹0,-1,- 2ìx¹0ïíx¹-1 ïx¹-1î2ìx+1¹0ìx¹-1要使函数有意义，必须： í Þí x-x¹0îîx<0 定义域为：x|x<-1或-1<x<0 ììx-2+3³0ïxÎR7 要使函数有意义，必须： í Þíx¹-ïî3x+7¹03î777即 x<- 或 x>- 定义域为：x|x¹- 333例3 若函数y=ax2-ax+21的定义域是R，求实数a 的取值范围 a解：定义域是R,ax-ax+1³0恒成立， aa>0ìï1等价于íÞ0<a£2 D=a2-4a×£0ïaî例4 若函数y=f(x)的定义域为-1，1，求函数y=f(x+解：要使函数有意义，必须： 2 11)×f(x-)的定义域 441ìì5-1£x+£1-£x£ïï4Þí4í13ï-1£x-£1ï-£x£4îî4函数y=f(x+34Þ-3£x£3 54441133üì)×f(x-)的定义域为：íx|-£x£ý 4444þî例5 已知f(x)的定义域为1，1，求f(2x1)的定义域。 分析：法则f要求自变量在1，1内取值，则法则作用在2x1上必也要求2x1在 1，1内取值，即12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x1)中2x1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，12x11,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。 解：f(x)的定义域为1，1， 12x11，解之0x1， f(2x1)的定义域为0，1。 例6已知已知f(x)的定义域为1，1，求f(x)的定义域。 答案：1x21Þ x21Þ1x1 2练习：设f(x)的定义域是-3，2，求函数f(x-2)的定义域 解：要使函数有意义，必须：-3£ x-2£2 得： -1£x£2+2 x0 0£x£2+2 0£x£6+42 函数f(x-2)的定域义为：x|0£x£6+42 例7已知f(2x1)的定义域为0，1，求f(x)的定义域 因为2x1是R上的单调递增函数，因此由2x1， x0,1求得的值域1，1是f(x)的定义域。 5已知f(3x1)的定义域为1，2），求f(2x+1)的定义域。-,2） 2 练习： 已知f(x2)的定义域为1，1，求f(x)的定义域 若y=f(x)的定义域是0,2，则函数f(x+1)+f(2x-1)的定义域是 -1,1 已知函数f(x)=ê-é11ù,ú 22ûëê,1ú 2é1ùëûê0,ú 2é1ùëû1+x的定义域为，函数y=féëf(x)ùû的定义域为，则 1-xAUB=B BÎA AIB=B A=B 3 2、求值域问题 利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a¹0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数y=k(k¹0)的定义域为x|x¹0，值域为y|y¹0； x二次函数f(x)=ax2+bx+c(a¹0)的定义域为R， 22(4ac-b)(4ac-b). 当a>0时，值域为y|y³；当a<0时，值域为y|y£4a4a例1 求下列函数的值域 2 y=3x+2(-1£x£1) f(x)=-3x y=x+1 x解：-1£x£1，-3£3x£3， -1£3x+2£5，即-1£y£5，值域是-1，5 略 当x>0，y=x+121)+2³2， =(x-xxy=-(-x+当x<0时，121)=(-x-)-2£-2 -x-x43值域是(-¥,-2U2，+¥). -612f(x) = x+x-1o21-4-2-1-2-3y=x1-2246函数y=x+1的图像为： x-4二次函数在区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： y=x2-4x+1； y=x2-4x+1,xÎ3,4； y=x2-4x+1,xÎ0,1； y=x2-4x+1,xÎ0,5； 解：y=x2-4x+1=(x-2)2-3，顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. 抛物线的开口向上，函数的定义域R， x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y³-3 . 顶点横坐标2Ï3,4， 4 y321-2-1O-1-2-3123456x当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； 在3,4上，ymin=-2，ymax=1；值域为-2，1. 顶点横坐标2Ï 0,1，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, 在0,1上，ymin=-2，ymax=1；值域为-2，1. 顶点横坐标2Î 0,5，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, 在0,1上，ymin=-3，ymax=6；值域为-3，6. 注：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a¹0), 若定义域为R时， 2b(4ac-b)； 当a>0时，则当x=-时，其最小值ymin=2a4a2b(4ac-b). 当a<0时，则当x=-时，其最大值ymax=2a4a若定义域为xÎ a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. 若x0Îa,b,则f(x0)是函数的最小值时或最大值时， 再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大值. 若x0Ïa,b,则a,b是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大值. 注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大值； 当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 练习：1、求函数y=3+(23x)的值域 解：由算术平方根的性质，知(23x)0， 故3+(23x)3。 函数的值域为 3,+¥) . 2、求函数y=x-2x+5,xÎ0,5 的值域 2解： Q对称轴 x=1Î0,5 x=1时,ymin=4x=5时,ymax=20 值域为4,20例3 求函数y=4x1-3x(x1/3)的值域。 解：法一：设f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 5 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为y|y4/3。 小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+4-x 的值域。(答案：y|y3) 法二：换元法(下题讲) 例4 求函数y=x+21-x 的值域 解：设1-x=t，则y=-t2+2t+1(t³0) Q对称轴t=1Î0,+¥)，且开口向下 当t=1时，ymax=2值域为(-¥,2 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=x-1 x的值域。求函数y=x-3+5-x 的值域 解：函数定义域为：xÎ3,5 y2=(x-3)+(5-x)+2-x2+8x-15由xÎ3,5,得-x2+8x-15Î0,1yÎ2,42原函数值域为2,2-1£x£1 设x=cosqqÎ0,p 例6 求函数y=x+1-x2的值域 解： Qy=cosq+sinq=cosq+sinq=2sin(q+)Î-1,24 原函数的值域为-1,2p小结：若题目中含有a£1，则可设 a=sinq,-p2£q£2p2(或设a=cosq,0£q£p) 2若题目中含有a+b=1则a=cosq,b=sinq，其中0£q<2p 若题目中含有1-x2，则可设x=cosq，其中0£q£p 若题目中含有1+x2，则可设x=tanq，其中-p2<q<p2若题目中含有x+y=r(x>0,y>0,r>0)，则可设x=rcos2q,y=rsin2q 6 其中qÎç0,æèpö÷ 2øy 4 例7 求y=x-3-x+1 的值域 ,x<-1ì4ï解法一：可化为 y=í2-2x,-1£x£3 如图， ï-4,x>3î观察得值域y-4£y£4 -1 -4 0 1 3 x 解法二：画数轴 利用a-b表示实数a,b在数轴上的距离可得。 -1 x 0 3 解法三： Qx-3-x+1£(x-3)-(x+1)=4x-3-x+1=(x+1)-4-x+1³x+1-4-x+1=-4 同样可得值域 练习：y=x+x+1的值域呢？ 例8 求函数y=9-3+2(xÎ0,1) 的值域 xxx解：设3=t ，则 1£t£3 原函数可化为 y=t2-t+2,Q对称轴t= t=1时,ymin1Ï1,32=2;t=3时,ymax=8 值域为2,8例9求函数y=ç÷æ1öè3ø-x2+2x 的值域 tæ1ö解：令t=-x+2x=-(x-1)+1，则y=ç÷(t£1) è3ø22 由指数函数的单调性知，原函数的值域为ê,+¥÷ 例10 求函数 y=2xé1ë3öøy 1 (x£0) 的值域 0 x 解：如图，值域为(0,1 例11 求函数y=x-1 的值域 x+27 解法一：解出x,x=1+2yyy¹1 观察得原函数值域为1-yx+2-33=1-¹1 ，可得值域yy¹1 x+2x+2ax+b(c¹0)，如果在其自然定义域内，值域为小结：已知分式函数y=cx+d解法二：由y=ìíyy¹îaü，采用部分分式法将原函数化为ý；如果是条件定义域cþadac(ad¹bc)，用复合函数法来求值域。 y=+ccx+db-3x例12 求函数y=x 的值域 3+1解法一：Q3=xy>01-y0<y<1 原函数的值域为(0,1) 1t小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围，可采用逆求法。 解法二：设3+1=t ， x3x+1-111(t>1) =1-=1-则y=xxt3+13+11Qt>10<<1t0<y<1 1 0 1 t 原函数的值域为(01) 2x-1练习：y=x；. 2+1x2-1例13 函数y=2 的值域 x+1解法一：Qx=21+y³01-y-1£y<1 2t 原函数的值域为-1,1) 解法二：设x+1=t ，则 22£2-1£y<1 t原函数值域即得Qt³10<22 0 1 t解法三：原函数可化为 (y-1)x+0×x+y+1=0 8 1） y=1时 不成立 2） y¹1时，D³0Þ0-4(y-1)(y+1)³0Þ-1£y£1 -1£y<1 综合1）、2）值域y|-1£y<1 解法四：QxÎRæppö设x=tanqqÎç-,÷，则 è22ø1-tan2qy=-=-cos2qQ2qÎ(-p,p)cos2qÎ(-1,1 1+tan2q 原函数的值域为y|-1£y<1 例14 求函数y=5的值域 2x2-4x+32解法一：化为2yx-4yx+(3y-5)=0 1）y=0时，不成立 2）y¹0时，D³0得 5 t5 0 1 t (4y)-8y(3y-5)³0Þ0£y£5 0<y£5 综合1）、2）值域y|0<y£5 2解法二：令2x-4x+3=t，则y=5 tQt=2(x-1)2+1³1 0<y£5 所以，值域y|0<y£5 例15 函数y=x+1+1的值域 x2解法一：原式可化为 x+(1-y)x+1=0 QD³0(1-y)2-4³0y³3或y£-11³2y³3 x(-¥,-1U3,+¥)原函数值域为解法二：1）当x>0时，x+2） x<0时，x+é11ù=-ê(-x)+£-2úx(-x)ûëy£-1 9 综合1）2）知，原函数值域为(-¥,-1U3,+¥) x2+2x+2(x>-1)的值域 例16 (选) 求函数y=x+1解法一：原式可化为 x2+(2-y)x+2-y=0 QD³0(2-y)2-4(2-y)³0 Qx>-1y£-2舍去Þy³2或y£-22,+¥)原函数值域为(x+1)2+11=x+1+³2(Qx>-1) 解法二：原函数可化为 y=x+1x+1 当且仅当x=0时取等号，故值域为2,+¥) x2+2x+2(-2£x£2)的值域 例17 求函数y=x+1解：令x+1=t ，则原函数可化为y=t+1(-1£t£3)。 tax2+bx+c22小结：已知分式函数y=(a+d¹0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条2dx+ex+f件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为 y=二次式一次式(或y=)的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果一次式二次式a(x¹0)的单调性去解。 x不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y=x+ 练习： 1 、y=x2+1+9(x¹0)； x2解：x¹0，y=x2+112+9=(x-)+11，y³11. 2xx1+9³2+9=11(或利用对勾函数图像法) 2x2另外，此题利用基本不等式解更简捷：y=x+2 、y=0<y£5. 52x2-4x+33 、求函数的值域 y=x+2-x； y=2-4x-x2 解：令u=2-x³0,则x=2-u2, 10 原式可化为y=2-u+u=-(u-)+u³0，y£21229, 499，函数的值域是，由图象可知，函数的值域是ï2x-1(x³2)îy|y³3. 解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+¥. 如图 x-1O12-1Ox12-1O12x5、求函数y=2x+41-x的值域 解：设 t=1-x 则 t³0 x=1-t 代入得 y=f (t)=2×(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4 t³0 y£4 2x2-5x+66、求函数y=2的值域 x+x-6方法一：去分母得 (y-1)x+(y+5)x-6y-6=0 当 y¹1时 xÎR =(y+5)+4(y-1)×6(y+1)³0 由此得 (5y+1)³0 2221-+515检验 y=- 时 x=-=2 562×(-)52 Ï 定义域 x| x¹2且 x¹3 y¹-再检验 y=1 代入求得 x=2 y¹1 11 1 51x2-5x+6综上所述，函数y=2的值域为 y| y¹1且 y¹- 5x+x-6方法二：把已知函数化为函数y=(x-2)(x-3)x-36 (x¹2) =1-(x-2)(x+3)x+3x-3111x2-5x+6 由此可得 y¹1， x=2时y=-即 y¹-函数y=2的值域为 y| y¹1且 y¹- 555x+x-6 12