函数大合集二次根式整式和因式分解.docx

函数大合集二次根式整式和因式分解函数、二次根式、整式和因式分解 填空 1、二次函数y=-x+6x+3的图象顶点为_对称轴为_。 2、二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_,对称轴为_。 3、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x轴的交点的个数有_个，交点坐标为_。 4、y=x-3x-4与x轴的交点坐标是_,与y轴交点坐标是_ 5、y=2x+4x-5的图象可由y=2x的图象向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到。 6、y=2x+x-1与x轴、y轴交点的坐标是_。 7、y=_。 8、二次函数y=x-2x-3的图象是开口向_的抛物线，抛物线的对称轴是直线_,抛物线的顶点坐标是_。 求二次函数的解析式 根据下列条件求关于x的二次函数的解析式 当x=3时，y最小值= -1，且图象过 图象过点且对称轴为直线x= 图象经过 当x=1时，y=0；x=0时，y= -2，x=2 时，y=3 222222121x-x-2的顶点坐标是323 21 函数、二次根式、整式和因式分解 抛物线顶点坐标为且通过点 6）已知二次函数图象与x轴交点(-1,0)与y轴交点是求解析式及顶点坐标。 抛物线y= (k-2)x+m-4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= -求函数解析式。 二次根式的概念：形如a的式子叫做二次根式 例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、4221x+2上，21、x、0、x2、-2、1、x+y x+y例2当x是多少时，3x-1在实数范围内有意义？ 二次根式的性质：a是一个非负数； 2=a； a2=a 2 函数、二次根式、整式和因式分解 例1 计算 1 22 3 4262aaaa=(a³0,b³0).逆用：=(a³0,b³0); bbbb最简二次根式具备两个特点: 被开方数不含有分母 被开方数中不含能开方开得尽的因数或者因式. 例1 下列根式中,不是最简二次根式的是： (A) 思考：观察下列各式：第一式：a2-1 (B) 2x+1 (C) 2b (D) 4y 4111=2-1 ；第二式：+=3-1 ；1+21+22+3；第四式：第三式：111+=4-11+22+33+41111+=5-1 根据此规律可知道：1+22+33+44+51111+.+= . 1+22+33+49+103 函数、二次根式、整式和因式分解 6甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：这是一次_ _米赛路；甲、乙两人先到达终点的是_；在这次赛跑中甲的速度为_，乙的速度为_ 7如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y与托运行李的质量x的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_千克，就可以免费托运 8俊宇某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图所示：图象表示了哪两个变量的关系？10时和13时，他分别离家有多远？他可能在什么时间内休息，并吃午餐？ 一、反比例函数的定义 k叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，xy是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数 函数y=二、反比例函数的图象 k的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断x增大越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线 kk反比例函数y=与y=-的图象关于x轴对称，也关于y轴对称 xx反比例函数y=三、反比例函数的性质 4 函数、二次根式、整式和因式分解 反比例函数y=k的图象是双曲线； x当k>0时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大 注意： k反比例函数y=的取值范围是x¹0因此， x图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来 叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”， k如当k>0时，双曲线y=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大x而减小 这是由于x¹0，即x>0或x<0的缘故 如果笼统地叙述为k<0时，y随x的增大而增大就是错误的 由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势 在画出的图象上要注明函数的解析式 四、反比例函数解析式的求法 k(k¹0)中，只有一个系数k，确定了k的值，也就确定了反x比例函数的解析式因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系反比例函数的解析式y=数法，即可确定反比例函数的解析式 五、比例系数k的几何意义 ky)，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、(k¹0)，图象上一点P(x，xP点组成一个矩形，矩形的面积S=x×y=xy=k. 过反比例函数y=六、反比例函数的应用 5 函数、二次根式、整式和因式分解 反比例函数在实际生活和科学领域都有广泛的应用，我们通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系，将文字转化为数学语言，再利用反比例函数的思想方法来解决实际问题 1用反比例函数解决实际问题的方法和步骤 审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 根据常量与变量之间的关系，设出函数的关系式，待定的系数用字母来表示； 有题目中的已知条件列出方程，求出待定系数 写出函数关系式，并注意关系式中的变量的取值范围 用函数关系去解决实际问题 2运用反比例函数模型解实际问题时，要掌握一些基本的模型 当体积为定值时，底面积与高成反比例函数关系 当工程总量为定值时，工作时间与工作效率成反比例函数关系 当力F所作的功一定时，力F与物体在F方向通过的距离s成反比例函数关系； 杠杆定律：力×力臂=定值 压强公式：P=F÷S，其中p为压强，F为压力，S为受力面积； 3用反比例函数解决实际问题时应注意几个问题： 设未知量要恰当恰当地设未知量可以使运算简单，解题过程简单，计算准确率高，否则将会带来不必要的麻烦 求出函数关系式后，要注意字母的取值范围：一般在实际问题中，自变量的取值范围都是非负的有的取值范围只能是某一些范围内的数 求出问题的解，既要符合题目中的方程，还要符合问题中的实际意义 已知y=(m2+2m)xm 已知反比例函数的图象经过点(3,2)和(m,-2)，则m的值是 2+m-1是关于x的反比例函数，求m的值及函数的解析式 2已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为l9，求y与变量x的函数关系式 6 函数、二次根式、整式和因式分解 三、与反比例函数有关的面积不变性 k 反比例函数y=的图像如图所示，点M是该函数图像上一点，MN垂直于x轴，x垂足是点N，如果SDMON=2，则k的值为 yMNOxA.2 B.-2 C.4 D.-4 如图，在RtDAOB中，点A是直线y=x+m与双曲线y=且SDAOB=2，则m的值是_. m在第一象限的交点，xyy=x+mAy=COBmxx 如图，正比例函数y=kx和y=ax(a>0)的图像与反比例函数y=k(k>0)的图像x分别相交于A点和C点若RtDAOB和RtDCOD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是 7 函数、二次根式、整式和因式分解 yACOBDx AS1>S2 BS1=S2 CS1<S2 D不能确定 在函数y=k(x>0)的图像上取三点A、B、C，由这三点分别向x轴、y轴作垂x线，设矩形AAOA12、BB1OB2、CC1OC2的面积分别为SA、SB、SC，试比较三者大小. yA2B2C2ABCC1xOA1B115.4.4 十字相乘法分解因式 1二次三项式 多项式ax+bx+c，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项 例如：x-2x-3和x+5x+6都是关于x的二次三项式 在多项式x-6xy+8y中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式 在多项式2ab-7ab+3中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式同样，多项式(x+y)+7(x+y)+12，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式 2十字相乘法的依据和具体内容 222222228 函数、二次根式、整式和因式分解 (1)对于二次项系数为1的二次三项式x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同 (2)对于二次项系数不是1的二次三项式2ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2) 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母 二、典型例题 例1 把下列各式分解因式： (1)x-2x-15； (2)x-5xy+6y 例2 把下列各式分解因式： (1)2x-5x-3； (2)3x+8x-3 222229 函数、二次根式、整式和因式分解 例3 把下列各式分解因式： x-10x+9； (2)7(x+y)-5(x+y)-2(x+y)； 4232试一试： 把下列各式分解因式： (1)2x2+15x+7 (2) (3) 5x2+7x-6 (4) 三、解答题 14把下列各式分解因式： (1)x4-7x2+6； (3)4x4-65x2y2+16y4； 3a2-8a+4 6y2-11y-10 (2)x4-5x2-36； (4)a6-7a3b3-8b6； 10