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函数基本性质经典例题 函数的基本性质组合卷 1、已知f(x)=6x-mx+5在区间-2,+¥)上是递增的，则f(1)的取值范围是 2+¥) C.(-¥，35 D.(-¥，35) A.35，+¥) B.(35，解析： 对称轴x=-bm=£-2 m£-24 2a12f(1)=11-mÎ35,+¥) 答案：A x2x|x|2、函数y=|x|，y=，y=-，y=x+中，在(-¥,0)上为增函数的有 |x|x|xA、和 解析： xÎ(-¥,0)，将各函数式化简，即y=-x，y=-1，y=x，y=x-1。由增函数的定义，易知B、和 C、和 D、和 和是增函数。 答案：C 3、函数y=x-1-2x的最大值为。 A.0 B.13 C.1 D. 221ü1ì解析：函数的定义域为íx|x£ý,y=x及y=-1-2x均在(-¥,上单调递增。 2þ2î11æ1ö1 y=x-1-2x在(-¥,上单调递增，f(x)£fç÷=,y=x-1-2x的最大值为。 22è2ø2答案：B 4、若函数y=(x+1)×(x-a)为偶函数，则a等于 A、-2 B、-1 C、1 D、2 解析：y=(x+1)(x-a)=x2+(1-a)x-a，函数y是偶函数，f(-x)=f(x)，1-a=0，a=1。 答案：C 5、设函数y=f(x)为奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0 解析：由f(x)是奇函数得，f(-2)=-f(2)，f(-1)=-f(1),-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3，f(1)+f(2)=-3 答案：C 6、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2ÎR有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是 A、f(x)为奇函数 B、f(x)为偶函数 C、f(x)+1为奇函数 解析：令x1=x2=0，得f(0)=2f(0)+1，所以f(0)=-1。 令x2=-x1，得f(0)=f(x1)+f(-x1)+1，即f(-x1)+1=-f(x1)-1。所以f(x)+1为 奇函数。 答案：C 7、已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当xÎ(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)= A、-2 B、2 C、-98 D、98 解析：f(x+4)=f(x)，T=4,f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f(1)=-2´12=-2。 答案：A D、f(x)+1为偶函数 8、如果函数y=f(x)的图象与y=3-2x的图象关于坐标原点对称，则y=f(x)的表达式为 A、y=2x-3 B、y=2x+3 C、y=-2x+3 D、y=-2x-3 解析： 解析一：M(1,1)在y=3-2x的图象上，点M关于原点的对称点N(-1,-1)只满足A、B、C、D中的y=-2x-3，故选D。 解析二：根据y=f(x)关于原点对称的关系式为-y=f(-x)来求解。 y=f(x)与y=3-2x的图象关于原点对称，又y=3-2x与-y=3+2x的图象关于原点对称，f(x)=-2x-3，故选D。 答案：D 9、函数y=f(x)在xÎa-1,2a+7上为奇函数，则a=。 A.-1 B.-2 C.-3 D.0 解析：定义域关于原点对称，即2a+7=-(a-1),a=-2。 答案：B 10、设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于 A、直线y=0对称 B、直线x=0对称 C、直线y=1对称 D、直线x=1对称 解析： 解题过程：函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称，y=f(1-x)=f-(x-1)。把y=f(x)与y=f(-x)的图象同时都向右平移一个单位，就得到y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象，对称轴y轴向右平移一个单位得直线x=1，故选D。 方法总结：此类问题通常有如下三种求解方法：利用函数的定义求解；通过平移坐标轴的方法求解；特殊化法求解，即抽象函数具体化，然后通过图象变换找到答案。其具体变换程序是：由y=f(x)®y=f(x-1)；再由 y=f(x)®y=f(-x)®y=f(-x+1)=f-(x-1)。至此由图象关系找到答案。 答案：D æx+yöæx-yö11、已知对任意x、yÎR，都有f(x)+f(y)=2fç÷´fç÷，且f(0)¹0，则f(x) è2øè2øA、是奇函数 B、是偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、无法确定f(x)的奇偶性 解析：函数f(x)的定义域为R，则令x=0,y=0，则2f(0)=2f(0)2，而f(0)¹0，f(0)=1，再令y=-x，则f(x)+f(-x)=2f(x)f(0)=2f(x)，f(-x)=f(x)，f(x)为偶函数，故选B。 答案：B æ1ö12、f(x)为偶函数，在0,+¥)上为减函数，若fç÷>0>f(3)，则方程f(x)=0的根的个数为 è2øA、2个 B、2个或1个 C、2个或无数个 D、无数个 æ1ö解析：由f(x)为偶函数且在0,+¥)上是减函数，有f(x)在(-¥,0上是增函数，又fç÷>0>f(3)，è2øæ1öf(-3)<0<fç-÷，则f=0的根有两个，故选A。 è2ø答案：A 13、下列说法正确的有 若x1,x2ÎI，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则y=f(x)在I上是增函数； 函数y=x2在R上是增函数； 函数y=-y=1在定义域上是增函数； x1的单调区间是(-¥,0)U(0,+¥)。 xA、0个 B、1个 C、2个 D、3个 第13题解析： 分析：从函数单调性概念出发，逐个进行判断。 解：函数单调性的定义是指定义在区间I上的任意两个值x1,x2，强调的是“任意”，所以不正确； y=x2在x>0时是增函数，x<0时是减函数，从而y=x2在整个定义域上不具有单调性，所以不正确； 1在(-¥,0)和(0,+¥)分别都是增函数，但是在整个定义域内不是单调增函数，如-3<5而xf(-3)>f(5)，所以不正确； 1y=的单调递减区间不是(-¥,0)U(0,+¥)。而应写成(-¥,0)和(0,+¥)。所以不正确。 x误区点拨：函数的单调性是对于定义域内的某个区间而言的，有时函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数； 有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数； 还有的函数是非单调的，如常数函数； 对于在整个定义域上不是严格单调的函数，应注意单调区间的写法。如 答案：A f(x)-f(y)14、定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数x,y，总有<0成立，则必有 x-yA、函数f(x)在R上是增函数 B、函数f(x)在R上是减函数 C、函数f(x)在R上是常数函数 D、函数f(x)在R上的单调性不确定 f(x)-f(y)解析：由得当x>y时，f(x)<f(y)。当x<y时，f(x)>f(y)，说明f(x)<0得f(x)-f(y)与x-y异号，x-yy=-在R上是减函数。 答案：B ìg(x),若f(x)³g(x)15、已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x，F(x)=í，则F的最值是 f(x),若f(x)<g(x)îA、最大值为3，最小值为-1 B、最大值为7-27，无最小值 C、最大值为3，无最小值 D、无最大值，无最小值 ì3-2x,(x³0)解析：此题可借助图象，f(x)=í,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1。将f(x)、î3+2x,(x<0)ìg(x),若f(x)³g(x)g(x)的图象画出，然后得出F(x)=í的图象为如图所示的实线部分，f(x),若f(x)<g(x)îìy=3+2x由图知。F(x)无最小值，有最大值，即A点的纵坐标由í得y=7-27，2îy=x-2x选为B 答案：B ìx+1,(x>0)16、设f(x)=ïíp,(x=0)，则fff(-1)= ï0,(x<0)îA p+1 B 0 C p D -1 解析：因为fff(-1)=ff(0)=f()=+1. 答案：A 17、下列说法正确的个数是 函数f(x)=3，因为该函数解析式中不含x，无法判断其奇偶性； 偶函数图象一定与y轴相交； 若y=f(x)是奇函数，由f(-x)=-f(x)知f(0)=0； 若一个图形关于y轴成轴对称，则该图形一定是偶函数的图象。 A、1个 B、2个 C、3个 D、0个 解析： 从函数奇偶性的定义和图象的对称关系入手逐一分析。 解：f(x)=3的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数，从而错误。 1若函数在x=0处无定义，则该函数不与y轴相交，如y=2，从而错误； x当奇函数在x=0处有定义时，有f(0)=0 虽然图形关于y轴对称，但该图形不一定是函数图象，如圆心在原点的圆。 误区点拨：判断一个命题不正确时，只要举一个反例即可。 答案：D 18、若函数y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)的对称轴方程是 A、x=0 B、x=2 C、x=-2 D、x=1 解析：由f(x+2)是偶函数知f(x+2)=f(-x+2)，f(x)的对称轴为x=2。 答案：B 1-x的图象关于 xA、y轴对称 B、直线y=-x对称 C、坐标原点对称 D、直线y=x对称 19、函数f(x)=解析：f(x)= 11æ1ö-x，f(-x)=-+x=-ç-x÷=-f(x)。 xxèxøf(x)是一个奇函数。 f(x)的图象关于原点对称。 答案：C 20、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当x<0时，f(x)×g(x)单调递增，且g(-3)=0，则f(x)×g(x)<0的解集为 A. (-¥,-3) B. (0,3) C. (3,+¥) D. (-¥,-3)U(0,3) 思路分析： 在公共定义域内奇函数与偶函数的积是奇函数，在对称区间内奇函数的单调性相同，结合g(-3)=0，从而得到h(-3)=h(3)=0，画出草图，即可求出解集。 y - 0 3 x 解答过程： 令h(x)=f(x)×g(x)，因为f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，所以h(x)是奇函数，又g(-3)=0，所以h(-3)=h(3)=0，又当x<0时，h(x)=f(x)×g(x)单调递增，所以h(x)=f(x)×g(x)在(0,+¥)上单调递增，故f(x)×g(x)<0的解集为(-¥,-3)U(0,3)。 答案：D 拓展提升： 两个奇函数之和为奇函数；之积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数，在关于原点对称的单调区间内，奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。 2ì-x+x(x>0)ï21、已知函数f(x)=x(x-1-x+1)，h(x)=í，则f(x),h(x)的奇偶性依次为 2ïîx+x(x£0)A偶函数，奇函数 B奇函数，偶函数 C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数 思路分析： 先判断函数的定义域，然后再判断f与f之间的关系，即可得出正确的选项；本题中f(x)=x(x-1-x+1)，而f(-x)=-x(x-1-x+1)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，而h的定义域是对称的，通过它的图象可判断h是奇函数.所以选D. 答案：D