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函数与导数专题练习 专题一：函数与导数 一主要数学思想： 分类讨论、形数结合、构建应用、函数与方程等。 常见讨论：就导数的正负、就系数、就判别式、就根的大小、就对称轴的位置，等等。 构建应用：这里主要是指构建出一个函数，把问题转化为考察函数的性质来解决，如参数范围中的变量分离法。多个变数时，可利用拼凑、同除等x-x手段构建成某一整块的函数，如lnx1-lnx2=21。 x2+x2函数与方程：方程解的个数、解的范围等，转化为函数图象的交点个数及范围，反之亦然。 二主要解题思路： 定义域®求导f¢(x)®导数的正负？®f¢(x)=0®列表判断 单调区间ìï参数范围ìïïï®í®最值®í不等式®放缩公式®求和®比较证明 ïï交点(零点,方程的解)的个数îïï极值î三主要题型再现： 选择、填空： 1若集合P=x|0£x£4,Q=y|0£y£2，则下列对应中，不是从P到Q的映射是( ) 1112Ay=x By=x Cy=x Dy=x 23832对任意的函数f(x),g(x)，在公共定义域内，规定若f(x)=3-x,g(x)=2x-3，则f(x)*g(x)的f(x)*g(x)=minf(x),g(x)，最大值为 。 3函数f(x)的定义域为xÎR且x¹1,已知f(x+1)为奇函数，当x<1时，f(x)=2x2-x+1,那么当x>1时f(x)的递减区间是( ) 5577A.,+¥) B.(1,) C. ,+¥) D.(1,) 44444如果一个函数f(x)满足：定义域为R；任意x1,x2ÎR，若x1+x2=0，则f(x1)+f(x2)=0；任意xÎR，若t>0，则f(x+t)>f(x)，则f(x)可以是 Ay=x3 By=xx Cy=3x+1 Dy=x2 1æ1ö5已知f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x，那么fç÷的值是 23èø33 B- C3 D-3 336对于函数f(x)=ax2+bx+c,(a¹0)作代换x=g(t)，则不改变函数f(x)的值域的代换是( ) A 1 Ag(t)=2t Bg(t)=|t| Cg(t)=sint Dg(t)=log2t 7已知映射f:A®B,其中A=(-¥,1,B=R，对应法则 在集合A中不存在原象，则k的f:x®y=log1(2-x)-1-x对于实数kÎB，2取值范围是 Ak<0 Bk<1 Ck>0 D以上都不对 8函数f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上的最大值与最小值之和为a，则a的值为 11A B C2 D4 421 9设函数f(x)(xÎR)为奇函数，f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)= 25A0 B1 C D5 210已知f(x)是周期为T(T>0)的周期函数，那么f(2x+1)是 A周期为T的周期函数 B周期为2T的周期函数 TC周期为的周期函数 D不是周期函数 22a-311.设函数f(x)是R上以3为周期的奇函数，若f(1)>1,f(2)=，则 a+12222Aa< Ba<且a¹1 Ca>且a<1 D-1<a< 333312设函数y=logax在(-¥,0)上单调递增，则f(a)与f(a+1)的大小关系是 A.f(a+1)=f(a) B.f(a+1)>f(a) C.f(a+1)<f(a) D不能确定 13若f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内内单调递减，则实数a的取值范围是 Aa³3 Ba=3 Ca£3 D0<a<3 14已知函数f(x)满足：f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2，则 f2(1)+f(2)f2(2)+f(4)f2(3)+f(6)f2(4)+f(8)+= 。 f(1)f(3)f(5)f(7)15若函数y=log1x+1是增函数，则x的取值范围是 2Ax>-1 Bx³2或x£-2 Cx<-1 Dx³0或-2£x<-1 综合大题： x2+2x+a,xÎ1,+¥) 1已知函数f(x)=x1当a=时求函数f(x)的最小值； 2若对任意xÎ1,+¥),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。 2 112设函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,cÎR,a¹0)的321图象在点(x,f(x)处的切线的斜率为k(x)，且函数g(x)=k(x)-x为偶函数.若211函数k(x)满足下列条件：k(-1)=0；对一切实数x，不等式k(x)£x2+恒22成立. 求函数k(x)的表达式； 1112n(nÎN*). +>求证：k(1)k(2)k(n)n+23设函数f(x)=lnx-px+1 求函数f(x)的极值点； 当p>0时，若对任意的x>0，恒有f(x)£0，求p的取值范围； ln22ln32 证明：2+2+23lnn22n2-n-1+2<(nÎN,n³2). n2(n+1)3 4已知f(x)=ln(1+x)+ax 讨论f(x)的单调性； 证明：(1+2111nÎN*，n2， )(1+)(1+)<e44423n5设aÎR,函数f(x)=lnx-ax. (1) 若a=2，求曲线y=f(x)在P(1,-2)处的切线方程； (2) 若f(x)无零点,求实数a的取值范围； (3) 若f(x)有两个相异零点x1,x2,求证: x1×x2>e2. 4 6(本题满分14分) 设函数f(x)=(x-1)2+blnx，其中b为常数。 当b=-1时，求函数f(x)的单调区间； 11证明：对任意不小于3的正整数，不等式2<ln(n+1)-lnn<都成立。 n7已知函数f(x)=x2-x，g(x)=lnx， 求证：f(x)³g(x)； 若f(x)³ag(x)恒成立，求实数a的值； 设F(x)=f(x)+mg(x)有两个极值点x1、x2 求实数m的取值范围，并证明：F(x3+4ln22)>-16 5 nx1<x2）， 若函数f(x)在2,+¥)上是增函数，求实数a的取值范围； 若函数f(x)在1,e上的最小值为3，求实数a的值 9已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的8已知函数f(x)=lnx+切线斜率为3 求实数a的值； 若kÎZ，且k< 6 f(x)对任意x>1恒成立，求k的最大值。 x-1a10已知函数f(x)=x+(aÎR), g(x)=lnx. x (1) 求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间； (2) 若关于x的方程求a的值. g(x)=f(x)-2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根, 2x11已知函数f(x)=axlnx+b(a,bÎR)，在点(e,f(e)处的切线方程是2x-y-e=0。 求实数a、b的值及f(x)的解析式； 若t是正数，设h(x)=f(x)+f(t-x)，求h(x)的最小值； 若关于x的不等式xlnx+(6-x)ln(6-x)³ln(k2-72k)对一切xÎ(0,6)恒成立，求实数k的取值范围. 7 12设命题p：函数f(x)=x3-ax-1在区间-1,1上单调递减；命题q：函数y=ln(x2+ax+1)的值域是R如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围 13已知函数f(x)=ln(x+a),g(x)=13x+b，直线l:y=x与y=f(x)的图象6相切 求实数a的值； 若方程f(x)=g(x)在(0,+¥)上有且仅有两个解x1,x2； 求实数b的取值范围； 比较x1x2+1与x1+x2的大小 14已知f(x)是定义在区间-11，上的奇函数，且f(1)=1，若m,nÎ-1,1，m+n¹0时，有f(m)+f(n)>0。 m+næ1ö解不等式fçx+÷<f(1-x)； è2øfx）£t2-2at+1对所有xÎ-1,1、aÎ-1,1恒成立。求实数t的取若 综合大题： x2+2x+a,xÎ1,+¥) 1已知函数f(x)=x当a=1时求函数f(x)的最小值； 2若对任意xÎ1,+¥),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。 112=x+1+2,x1,+) 解：当a=时,f(x)=22xx7 f(x)在1,+)上单调递增, 当x=1时f(x)的最小值为. 2x2+2x+x2+2x+a当任意x1,+)时，函数f(x)=0恒成立Û不等式xx2+2x+a0对 x1,+)恒成立。 由x2+2x+a0，得 ax22x， 令g(x)= x22x=(x+1)2+1 ，则g(x)在 1,+)上递减， 当x=1是g(x)最大=3，因此 ，a3 13122设函数f(x)=ax+bx+cx(a,b,cÎR,a¹0)的图象在点321(x,f(x)处的切线的斜率为k(x)，且函数g(x)=k(x)-x为偶函数.若函数k(x)满足下2121列条件：k(-1)=0；对一切实数x，不等式k(x)£x+恒成立. 22求函数k(x)的表达式； 求证：11+k(1)k(2)+12n(nÎN*). >k(n)n+22解：由已知得：k(x)=f¢(x)=ax+bx+c. 1分 由g(x)=k(x)- 显然有b=11x为偶函数，得g(x)=ax2+bx+c-x为偶函数， 2211. 2分 又k(-1)=0，所以a-b+c=0，即a+c=.3分 22121x+对一切实数x恒成立， 22 又因为k(x)£ 9 即对一切实数x，不等式(a-)x+ 显然，当a=12211x+c-£0恒成立. 4分 221时，不符合题意. 5分 21ìa-<0,ï11ï2 当a¹时，应满足í 注意到a+c= ，解得22ïD=1-4(a-1)(c-1)£0.ïî422a=c=11211. 7分 所以k(x)=x+x+. 8分 4424n2+2n+1(n+1)214=证明：因为k(n)=，所以.9分 244k(n)(n+1)要证不等式11+k(1)k(2)+12n>成立, k(n)n+2即证11+22321n>. 10分 (n+1)22n+4因为1111>=-, 12分 (n+1)2(n+1)(n+2)n+1n+211+2+223+11111>-+-+2(n+1)2334+1111n-.=-=n+1n+22n+22n+4 所以所以11+k(1)k(2)12n>成立. 14分 k(n)n+23设函数f(x)=lnx-px+1 求函数f(x)的极值点； 当p0时，若对任意的x0，恒有f(x)£0，求p的取值范围； ln22ln32lnn22n2-n-1(nÎN,n³2). 证明：2+2+2<23n2(n+1)解：Qf(x)=lnx-px+1,f(x)的定义域为(0,+¥)， 11-pxf¢(x)=-p= 2分 xx当p£0时，f¢(x)>0,f(x)在(0,+¥) 上无极值点 3分 1x=Î(0,+¥),f¢(x)、f(x)随x的变化情况如下表：当p>0时，令f¢(x)=0， p 10 x f'(x) f(x) (0，1) p+ 1 p0 极大值 1(,+?) p 1 7分 p从上表可以看出：当p>0 时，f(x)有唯一的极大值点x=111当p>0时在x=处取得极大值f=ln，此极大值也是最大值， ppp11要使f(x)£0恒成立，只需f=ln?0， p³1 ppp的取值范围为1，+) 10分 令p=1，由知，lnx-x+1£0,lnx£x-1，QnÎN,n³2 lnn2£n2-1， lnn2n2-11=1-2£ 11分 22nnnln22ln32lnn21112+2+L+2£(1-2)+(1-2)+L+(1-2) 23n23n111=(n-1)-(2+2+L+2) 12分 23n111<(n-1)-(+L+) 2´33´4n(n+1)111111=(n-1)-(-+-+L+-) 2334nn+1112n2-n-1=(n-1)-(-)= 2n+12(n+1)结论成立 14分 14分）已知f(x)=ln(1+x)+ax 讨论f(x)的单调性； 证明：(1+2111nÎN*，n2， )(1+)(1+)<e44423naxax2+2x+a+a=21、f'(x)=- 221+x1+x当a=0时，由f'(x)=2x>0得x>0 1+x2f(x)在(0,+¥)单调递增，在(-¥,0)单调递减。 当a<0且ax+2x+a=0的判别式V£0，即a£-1时，f'(x)£0对xÎR恒成立。 2f(x)在R上单调递减。 11 当-1<a<0时，由f'(x)>0得：ax+2x+a>0 21+1-a21-1-a2<x<解得： aa1+1-a21-1-a2由f'(x)<0可得：x<或x> aaf(x)1+1-a21-1-a21+1-a21-1-a2,上单调递增，在(-¥,+¥)上在aaaa单调递减。 综上所述：当a=0时，f(x)在(0,+¥)单调递增，在(-¥,0)单调递减； 1+1-a21-1-a2,上单调递增， 当-1<a<0时，f(x)在aa1+1-a21-1-a2,+¥)上单调递减； 在(-¥,aa当a£-1时，f(x)在(-¥,+¥)上单调递减。 由当a=-1时，f(x)在(-¥,+¥)上单调递减。 当x>0时f(x)<f(0) ln1+x(2)-x<0，即ln(1+x)<x 21öæ1öæ1öælnç1+4÷×ç1+4÷ç1+4÷è2øè3øènø 1ö1ö1æææ1ö11=lnç1+4÷+lnç1+4÷+lnç1+4÷<2+2+?+2nè2øè3øènø23<111+1´22´3n´(n-1)1111ö1æ1=+ç-=1-<1÷223nn-1nèø设aÎR,函数f(x)=lnx-ax. (1) 若a=2，求曲线y=f(x)在P(1,-2)处的切线方程； (2) 若f(x)无零点,求实数a的取值范围； 12 (3) 若f(x)有两个相异零点x1,x2,求证: x1×x2>e2. 20 解：方法一在区间(0,+¥)上,f¢(x)=11-ax. 1分 -a=xx-12=-，1则切线方程为y-(-2=)-x(-，1)即当a=2时，f¢(1=)x+y+1=0 3分 若a<0,则f¢(x)>0,f(x)是区间(0,+¥)上的增函数, Qf(1)=-a>0,f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0, f(1)×f(ea)<0,函数f(x)在区间(0,+¥)唯有唯一零点. 6分 若a=0,f(x)=lnx有一零点x=1. 7分 1若a>0,令f¢(x)=0得: x=. a1在区间(0,)上, f¢(x)>0,函数f(x)是增函数; a1在区间(,+¥)上, f¢(x)<0,函数f(x)是减函数; a11故在区间(0,+¥)上, f(x)的极大值为f=ln-1=-lna-1. aa11由f<0,即-lna-1<0,解得:a>. ae故所求实数a的取值范围是1(,+¥). 9分 elnx方法二、函数f(x)无零点Û方程lnx=ax即a=在(0,+¥)上无实数x解 4分 令g(x)=由lnx1-lnx，则g¢(x)= xx2g¢(x)=0即1-lnx=0x2得：x=e 6分 在区间(0,e)上, g¢(x)>0,函数g(x)是增函数; 13 在区间(e,+¥)上, g¢(x)<0,函数g(x)是减函数; 故在区间(0,+¥)上, g(x)的极大值为1g(e)=. 7分 e注意到xÎ(0,1)时，g(x)Î(-¥,0)；x=1时g(1)=0；xÎ(1,+¥)时，g(x)Îç0,ú eæè1ùû故方程a=lnxx在(0,+¥)上无实数解Ûa>1e. 即所求实数a的取值范围(1e,+¥). 9分 注:解法二只说明了g(x)的值域是çæ-¥,1ùèeúû,但并没有证明. (3) 设x1>x2>0,Qf(x1)=0,f(x2)=0,lnx1-ax1=0,lnx2-ax2=0 lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1-lnx2=a(x1-x2) 原不等式x21×x2>eÛlnx1+lnx2>2 Ûa(xlnx1-lnx2x1-x2)1+x2)>2Ûx2(x>2Ûln11-x2x1+x2x>x 21+x2令x1x=t,则t>1,于2lx12-(x12x>nÛt-x22+xt1+1x. ) ( l > n 1 ) 12分 2t设函数g(t)=lnt-2(t-1)t+1(t>1), 求导得: g¢(t)=14(t-1)2t-(t+1)2=t(t+1)2>0 故函数g(t)是(1,+¥)上的增函数, g(t)>g(1)=0 即不等式lnt>2(t-1)2t+1成立,故所证不等式x1×x2>e立. 14分 14 是是成4(本题满分14分) 设函数f(x)=(x-1)+blnx，其中b为常数。 当b=-1时，求函数f(x)的单调区间； 211都成立。 <ln(n+1)-lnn<2nn2解：当b=-1时，函数f(x)=(x-1)-lnx， 证明：对任意不小于3的正整数，不等式12x2-2x-1f¢(x)=2(x-1)-=(x>0) x21+1-2b1+3=此时f(x)有惟一极小值点x=， 3分 221+31+3)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0,)上为减函数， 则当xÎ(0,221+31+3,+¥)时，f'(x)>0，所以f(x)在(,+¥)上为增函数。 5分 当xÎ(222由知b=-1时，函数f(x)=(x-1)-lnx，f(x)有惟一极小值点1+1-2b1+3=， 221+31+3)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0,)上为减函数。 且xÎ(0,22141+31因为当n³3时，0<1<1+£<，所以恒有f(1)>f(1+)，8分 n32n111即恒有0>2-ln(1+)。所以当n³3时恒有ln(n+1)-lnn>2成立。 10分 nnn1x-1'令函数h(x)=(x-1)-lnx(x>0)，则h(x)=1-=， xxh'(x)>0，所以当x>1时，又h(x)在x=1处连续，所以xÎ1,+¥)时h(x)为增函数。 x=12分 1111，所以h(1+)>h(1)，即-ln(1+)>0， nnnn11所以ln(n+1)-lnn=ln(1+)<， nn11综上可知，当n³3时不等式2<ln(n+1)-lnn<都成立 14分。 nn因为当n³3时，1<1+ (理)设函数f(x)=x+kln(x+2)，其中k¹0 2+¥)上的单调性 ()当k>2判断f(x)在(-2，()讨论 f(x)的极值点 15 解：(理)由题设函数f(x)定义域是(-2，+¥)，1分 k2x2+4x+k=函数f(x)=2x+ x+2x+2'分 ()当k>2时，式的2x+4x+k的D=16-8k=8(2-k)<0， 22x2+4x+k>0，又x+2>0 2x2+4x+kf(x)=>0 分 x+2'f(x)在(-2，+¥)上的单调递增 分 () 2x2+4x+k³0， (1) 当k³2时，由()知f(x)=x+2'f(x)在(-2，+¥)上的单调递增，故f(x)无极值点分 (2) 当k<2时，由2x+4x+k=0解得x=2-2±4-2k，此时f'(x)=0 2当x<-2-4-2k-2+4-2k2或x>时，2x+4x+k>0 22当-2-4-2k-2+4-2k2<x<时，2x+4x+k<0 22分 -2-4-2k2-4-2k-(-2)= 22 当k£0时，-2-4-2k2-4-2k£-2， £0，22-2+4-2k2x2+4x+k'-2<x<<0， 时，f(x)=2x+22x2+4x+k-2+4-2k'x>>0 ，f(x)=2x+2 16 f(x)在(-2，-2+4-2k-2+4-2k，+¥)上单增， )上单减，在(22x=-2+4-2k为极小值点，无极大值点分 2-2-4-2k2-4-2k>-2， >0，22 当0<k<2时，-2-4-2k2x2+4x+k-2+4-2k'>0 当-2<x<或x>时，f(x)=22x+2-2-4-2k-2+4-2k2x2+4x+k'<x<<0 时，f(x)=22x+2f(x)在(-2-4-2k-2+4-2k-2-4-k2，)上单减，在(-2，)和222(-2+4-2k，+¥)上单增， 2-2-4-2k-2+4-2k为极大值点，x=为极小值点分 22-2+4-2k为极小值点，无极大值点；0<k<2时，2x=综上，k£0时，x=x=-2-4-2k-2+4-2k为极大值点，x=为极小值点；k³2时，f(x)无极值22点 分 5已知函数f(x)=lnx+2a,aÎR x若函数f(x)在2,+¥)上是增函数，求实数a的取值范围； 若函数f(x)在1,e上的最小值为3，求实数a的值 解：f(x)=lnx+f(x)在2,+¥)上是增函数， f¢(x)=2a12a，f¢(x)=-2 xxx12ax-20在2,+¥)上恒成立，即a在2,+¥)上恒成立 xx2 17 x，则ag(x)min,xÎ2,+¥) 2xg(x)=在2,+¥)上是增函数，g(x)min=g(2)=1a1所以实数a的取值范2令g(x)=围为(-¥,1 由得f¢(x)=x-2a，xÎ1,e 2x若2a<1，则x-2a>0，即f¢(x)>0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上是增函数 所以é ëf(x)ùûmin=f(1)=2a=3，解得a=2若12ae，令f¢(x)=0，得x=2a当1<x<2a时，f¢(x)<0，所以f(x)在3(1,2a)上是减函数，当2a<x<e时，f¢(x)>0，所以f(x)在(2a,e)上是增函数 所以éëf(x)ùûmine2 =f(2a)=ln(2a)+1=3，解得a=2若2a>e，则x-2a<0，即f¢(x此时f(x)在1,e上是减函数 )<0在1,e上恒成立，所以éëf(x)ùûmin=f(e)=1+综上所述，a=e 2a=3，所以a=e e已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3 求实数a的值； 若kÎZ，且k<f(x)对任意x>1恒成立，求k的最大值。 x-121.解：因为f(x)=ax+xlnx，所以f¢(x)=a+lnx+1 因为函数f(x)=ax+xlnx的图像在点x=e处的切线斜率为3， 所以f¢(e)=3，即a+lne+1=3 所以a=1 解：由知，f(x)=x+xlnx， 所以k<f(x)x+xlnx对任意x>1恒成立，即k<对任意x>1恒成立 x-1x-1令g(x)=x+xlnx， x-1 18 则g¢(x)=x-lnx-2(x-1)2， 令h(x)=x-lnx-2(x>1)， 则h¢(x)=1-1x-1=>0， xx所以函数h(x)在(1,+¥)上单调递增 因为h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0， 所以方程h(x)=0在(1,+¥)上存在唯一实根x0，且满足x0Î(3,4) 当1<x<x0时，h(x)<0，即g¢(x)<0，当x>x0时，h(x)>0，即g¢(x)>0， 所以函数g(x)=所以 x+xlnx在(1,x0)上单调递减，在(x0,+¥)上单调递增 x-1éëg(x)ùûmin=g(x0)=x0(1+lnx0)x0(1+x0-2)=x0Î(3,4) x0-1x0-1所以k<éëg(x)ùûmin=x0Î(3,4) 故整数k的最大值是3 6已知函数f(x)=x2-x，g(x)=lnx， 求证：f(x)³g(x)； 若f(x)³ag(x)恒成立，求实数a的值； 设F(x)=f(x)+mg(x)有两个极值点x1、x2 ， 3+4ln2 16(2x+1)(x-1)解：G(x)= x2-x-lnx,G¢(x)= (x>0) xG(x)在(0,1)上递减，在(1,+¥)上递增 求实数m的取值范围，并证明：F(x2)>-G(x)³G(1)=0 f(x)³g(x) 3分 h(x)=f(x)-ag(x) h(1=) 0所以h(x)³0的必要条件是h¢(0)=0，得a=15分 19 当a=1时，由(1)知h(x)³0恒成立。 所以a=1 6分 F(x)=f(x)+mg(x)=x2-x+mlnx， 2x2-x+mF¢(x)=(x>0)，F(x)有两个极值点x1、x2等价于 x方程2x2-x+m=0在(0,+¥)上有两个不等的正根 ìD>01ïíx1+x2>0 得 0<m< 9分 8ïx×x>0î12由F¢(x)=0得m=-2x22+x2， 4211设j(x)=x2-x+(x-2x2)lnx,(<x<)， 4213+4ln2得j¢(x)=(1-4x)lnx>0，j(x)>j=- 4163+4ln2所以F(x2)>- 14分 16111由0<x1<<x2<得lnx2<0，又0<m< 428122所以F(x2)=x2-x2+mlnx2>x2-x2+lnx2 8111m(x)=x2-x+lnx,(<x<) 842(4x-1)2>0 得m¢(x)=8x13+4ln2所以m(x)>m=- 4163+4ln2所以F(x2)>- w w14分 167 已知函数f(x)=x+a(aÎR), g(x)=lnx. x (1) 求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间； g(x)=f(x)-2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a的 (2) 若关于x的方程x2 20 值. (1)解: 函数F(x)=f(x)+g(x)=x+'a+lnx的定义域为(0,+¥). xa1x2+x-a F(x)=1-2+=. x2xx12 当D=1+4a£0, 即a£-时, 得x+x-a³0,则F'(x)³0. 4 函数F(x)在(0,+¥)上单调递增. 2分 12时, 令F'(x)=0, 得x+x-a=0, 4-1-1+4a-1+1+4a<0,x2=解得x1=. 22-1+1+4a1£0. () 若-<a£0, 则x2=24'xÎ(0,+¥), F(x)>0,函数F(x)在(0,+¥)上单调递增. 4 当D=1+4a>0, 即a>-分 æ-1+1+4aö ()若a>0,则xÎç0,时, F'(x)<0; ÷ç÷2èøæ-1+1+4aö,+¥ xÎç时, F'(x)>0, ÷ç÷2èøæ-1+1+4aöæ-1+1+4aö,+¥÷函数F(x)在区间ç0,÷ç÷上单调递减, 在区间çç÷上单调递增. 22èøèø综上所述, 当a£0时, 函数F(x)的单调递增区间为(0,+¥); 6分 当a>0时, F(x)的减区间为ç0,8分 æçèæ-1+1+4aö-1+1+4aö,+¥, 增区间为. ÷ç÷÷ç÷22øèøg(x)lnxalnx(2) 解: 由2=f(x)-2e, 得2=x+-2e, 化为=x2-2ex+a. xxxxlnx1-lnx''令h(x)=, 则h(x)=.令h(x)=0, 得x=e. 2xx''当0<x<e时, h(x)>0; 当x>e时, h(x)<0. 函数h(x)在区间(0,e)上单调递增, 在区间(e,+¥)上单调递减. 当x=e时, 函数h(x)取得最大值, 其值为h(e)=分 而函数m(x)=x-2ex+a=(x-e)+a-e, 2221. 10e当x=e时, 函数m(x)取得最小值, 其值为m(e)=a-e. 122分 21 当a-e=分 2g(x)112, 即a=e+时, 方程2=f(x)-2e只有一个根. 14xee(本题满分14分) 设函数f(x)=(x-1)+blnx，其中b为常数。 当b=-1时，求函数f(x)的单调区间； 211都成立。 <ln(n+1)-lnn<2nn2解：当b=-1时，函数f(x)=(x-1)-lnx， 证明：对任意不小于3的正整数，不等式12x2-2x-1f¢(x)=2(x-1)-=(x>0) x21+1-2b1+3=此时f(x)有惟一极小值点x=， 3分 221+31+3)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0,)上为减函数， 则当xÎ(0,221+31+3,+¥)时，f'(x)>0，所以f(x)在(,+¥)上为增函数。 5分 当xÎ(222由知b=-1时，函数f(x)=(x-1)-lnx，f(x)有惟一极小值点1+1-2b1+3=， 221+31+3)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0,)上为减函数。 且xÎ(0,22141+31因为当n³3时，0<1<1+£<，所以恒有f(1)>f(1+)，8分