几何图形初步教案.docx
几何图形初步教案 1对1个性化辅导 几何图形初步 4.1.1 立体图形与平面图形 一、教学目标 1、知识与技能 初步了解立体图形和平面图形的概念. 能从具体物体中抽象出长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱等立体图形;能举出类似长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱的物体实体. 2、过程与方法 过程:在探索实物与立体图形关系的活动过程中,对具体图形进行概括,发展几何直觉. 方法:能从具体事物中抽象出几何图形,并用几何图形描述一些现实中的物体. 3、情感、态度、价值观:形成主动探究的意识,丰富学生数学活动的成功体验,激发学生对几何图形的好奇心,发展学生的审美情趣. 二、教学重点、难点: 教学重点:常见几何体的识别 教学难点:从实物中抽象几何图形 平面图形 4、平面图形的概念 线段、角、三角形、长方形、圆等它们的各部分都在同一平面内,它们是平面图形。 思考:课本118页图4.15的图中包含哪些简单的平面图形? 请再举出一些平面图形的例子。 长方形、圆、正方形、三角形、。 思考:立体图形与平面图形是两类不同的几何图形,它们的区别在哪里?它们有什么联系? 立体图形的各部分不都在同一平面内,而平面图形的各部分都在同一平面内; 立体图形中某些部分是平面图形。 : 1、 2、平面图形与立体图形的关系: 立体图形的各部分不都在同一平面内,而平面图形的各部分都在同一平面内; 立体图形中某些部分是平面图形。 1.下列几种图形:长方形;梯形;正方体;圆柱;圆锥;球. 其中属于立体图形的是 A. ;B. ;C. ;D. 现实物体 看外形 几何图形 立体图形 平面图形 1 1对1个性化辅导 图 图 图 图 图 图 图 图 图 § 4.1.1 几何图形 一、教学目标 知识与技能 1能识别简单几何体的三种视图. 2会画简单立体图形及其它们的简单组合的三种视图. 3进一步认识立体图形与平面图形之间的关系. 4引导学生把所学的数学知识应用到生活中去,解决身边的数学问题. 5.过程与方法 在从不同方向看立体图形的活动过程中,体验立体图形与平面图形之间的相互转化,从而建立空间观念,发展几何直觉. 6.情感、态度、价值观 1)通过活动,形成学生主动探究的意识,丰富学生数学活动的成功经验,激发学生对几何图形的好奇心和对学习的自信心. 2)从实物出发,让学生感受到图形世界的无处不在,提高学生学习数学的热情. 1、不同角度看直棱柱、圆柱、圆锥、球 让学生分别从正面、左面、右面,上面等各个角度观察:正方体木块,长方体木块,三棱镜,六角扳手,易拉罐,排球,圆锥,由浅入深,体会从不同方向看直棱柱、圆柱、圆锥、球等立体图形得到的平面图形,难点是在体会曲面的透视图,让学生交流、体验,集体作出小结. 猜一猜,看一看 .左看右看上看下看一个物体都是圆?(猜一物体) .什么物体左看右看上看下看都是正方形?若是长方形呢?(各猜一物体) .桌上放着一个圆锥和圆柱,请说出下面三幅图是分别从哪个方向看到的. 2 1对1个性化辅导 (3) 分别从不同方向观察以下实物(茶叶盒、魔方、书、乒乓球等),你看到了什么图形? 画出它的三视图 4.参考练习 图,桌上放着一个球和一个圆柱,下面a、b、c、d、e这五幅图分别是从什么方向看到的? 一个正方体中,截去一个小正方体的立体图如图所示,从左面观察这个图形,得到的平面图形是 一个由8个正方体组成的立体图形,从正面和上面观察这个图形时,得到的平面图形如图所示,那么从左面观察这个图形时,得到的平面图形可能是 3 1对1个性化辅导 如图分别是某立体图形三视图,请根据图说出立体图形的名称 正视图 俯视图 左视图 正视图 俯视图 右视图 5右图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图,请画出这个几何体的主视图和左视图。 2 1 1 2 § 4.1.1 几何图形 一、教学目标 知识与技能 了解直棱柱、圆锥等简单立体图形的侧面展开图。 能根据展开图初步判断和制作立体模型。 进一步认识立体图形与平面图形之间的关系。 通过描述展开图,发展学生运用几何语言表述问题的能力。 我们把一些像墨水瓶盒、粉笔盒这样的纸盒沿它的表面适当剪开,可以展平成平面图形。这样的平面图形 4 1对1个性化辅导 叫做相应立体图形的展开图。 、立体图形的展开 圆柱 圆锥 三棱柱 长方体 、立体图形的折叠 如图:一只圆桶的下方有一只壁虎,上方有一只蚊子,壁虎要想尽快吃到蚊子,应该走哪条路径? 蚊子 壁虎 若在平面上,壁虎只要沿直线爬过去就可以了。而在圆桶上,直线不太好找,那么把圆柱侧面展开,就可找出答案。 蚊子 如图所示: 1.下列图形中,不是正方体的表面展开图的是 A B C D 壁虎 2. 一个正方体的平面展开图如图所示,将它折成正方体后“建”字对面是 A和 B谐 C沾 D益 5 建 设 和 谐 沾益 1对1个性化辅导 § 4.1.2 点、线、面、体 一、教学目标: 知识技能: 1、进一步认识点、线、面、体的概念. 2、理解点、线、面、体之间的关系. 过程与方法 通过学习点、线、面、体之间的关系,进一步发展学生抽象概括能力和形象思维的能力. 情感、态度、价值观 通过联系现实世界中各种常见的几何体及情景,让学生认识数学与现实生活的密切联系. 二、教学重、难点 重点:点、线、面、体之间的关系. 难点:体会点动成线、线动成面、面动成体 1、结论: 体是由面围成的.面有两种,平面和曲面. 面与面相交的地方形成了线,线有直的也有曲的. 线与线相交的地方是点. 2几何体的概念 长方体是一个几何体,我们还学过哪些几何体? _; 观察长方体和圆柱体,说出围成这两个几何体的面有哪些? 这些面有什么区别? 3面的分类 通过对上面问题的解决,得出面的分类:_面和_面。 面与面相交成线,线有_线和_线;线与线相交成_; 4. 点、线、面、体 教师指导学生看课本第121122页内容,观察图片能发现什么结论? 点、线、面、体的关系:点动成_,线动成_,面动成_。 请你再举出生活中的一些实例: 5点、线、面、体与几何图形关系 指导学生阅读课本第123页内容,总结出点、线、面、体与几何图形的关系 几何图形都是由_组成的,_是构成图形的基本元素。 : 1人在雪地上走,他的脚印形成一条_,这说明了_的数学原理; 2体是由_围成的,面和面相交形成_,线和线相交形成_; 3点动成_,线动成_,面动成_; 6 1对1个性化辅导 4将三角形绕直线L旋转一周,可以得到如下图所示立体图形的是 A B C D § 4.2 直线、射线、线段 教学目标 知识与技能 1、在现实情境中理解线段、直线、射线等简单的平面图形。 2、理解两点确定一条直线的事实。 3、掌握直线、射线、线段的表示方法。 4、理解直线、射线、线段的联系和区别 直线 射线 线段 端点个数 无 一个 两个 延伸方向 向两方无限延伸 向一方无限延伸 不向任何一方延伸 过两点有且只有一条直线。 § 4.2 直线、射线、线段 教学目标 知识与技能 1会画一条线段等于已知线段. 2结合图形认识线段间的数量关系,学会比较线段的大小. 3利用丰富的活动情景,让学生体验到两点之间线段最短的性质,并能初步应用. 4知道两点之间的距离和线段中点的含义. 如何画一条线段等于已知线段? 如图,作射线AC,在射线AC上截取AB=a. a 先量出线段a的长度,再画一条等于这个长度的线段. 怎样比较两条线段的大小? 7 A B C 1对1个性化辅导 度量法:用刻度尺分别测量出它们的长度来比较; 叠合法:把其中一条线段移到另一条线段上作比较.在此基础上教师给出线段大小的数量表示方法. 四、等分线段 2.线段中点的表示方法. AM12BAM=BM; AM=BM=AB ; AB=2AM=2BM 五、两点的距离 连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离. 注意:两点的距离不是线段,而是线段的长度. 活动.如图,点C 在线段AB 上,M是AC中点,N是CB中点 (1)AC = 2cm,BC = 3cm,求MN的长? (2)AM = 1cm,BC = 3cm,求AB的长? (3)AB = 5cm,MC = 1cm,则NB的长? 练习: 一、填空: 1.一条直线有 个端点,一条射线有 个端点,一条线段有 个端点. 2.如图 A、B、C分别是直线上的三点,要有两个大写字母表示这条直线,可以分别表示为 3.如图,E、F是线段BD上两点,图中共有 条线段,它们分别是 4.如图,点A在直线m上,也可以说直线m经过点A.点B、C在直线外,也可以说_. · B m A · C 8 1对1个性化辅导 二、选择题: 1.下列结论中正确的是 A.经过两点只能画一条线 B.射线比直线短 C.线段有两个端点 D.射线的端点不包括在射线内 2.下列结论中不正确的是 A.直线AB和直线BA表示同一条直线 B.射线AB和射线BA表示同一条射线 C.线段AB和线段BA表示同一条线段 D.直线可以表示为直线a 3.如图,PQ为直线,MN为线段,OH为射线,则图中两线段相交的是 4.如图,直线AC和BD相交于点O,下面语句正确的是 A.射线OA与射线OC是同一条射线 B.射线OA与射线OB是同一条射线 C.射线BO与射线BD是同一条射线 D.射线BD与射线OD是同一条射线1 5如图,下列结论中不正确的是 OABA直线AB与直线BA是同一条直线 B射线OA与射线OB是同一条射线 C射线OA与射线AB是同一条射线 D线段AB与线段BA是同一条线段 三、计算题: 1.已知线段AB,延长AB到C,使AB = 3BC,D是AC中点,DC = 2cm,求AB的长 2.把线段AB延长到C,使BC = 2AB,再延长BA到D,使AD = 3AB,求DC与AB的关系,DC与BC,BD与AB,BD与BC的关系. 3.有一个底面半径为5cm的圆柱形储油器,油中浸有铁球,若从中捞出质量为546g的铁球,问液面下降多少?(1cm3的铁的质量为7.8g) (1)数轴上A,B两点所表示的数分别是5,1,那么线段AB的长是 个单位长度,线9 1对1个性化辅导 段AB的中点所表示的数是 (2)已知线段AC和BC在一条直线上,如果AC =5.6 cm,BC=2.4 cm,求线段AC和BC的中点之间的距离 § 4.3.1 角 1、角的概念:角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点叫这个角的顶点,这两条射线叫做角的边. 提醒:平时画角时,只能将边画成两条线段,即用角的一部分来研究角 2、结合图形讲解角的表示方法 AAA1OBaBOBO用三个大写字母:表示角的顶点的字母写在中间AOB; 用数字:1,2; 用希腊字母:,; 用一个大写字母:表示角的顶点的字母O 3、角的第二定义: 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 说明角的始边、终边、角的内部、角的外部、直角、平角、周角等概念,进而得到两种特殊的角:平角和周角 平角:当射线OB绕O点旋转,当终止位置OA与起始位置OB在一条直线上时,形成平角; 周角:当射线OB绕O点旋转,当终止位置OA与起始位置OB重合时,形成周角 平角 周角 4、角的度量 我们常用量角器度量一个角的度数,度、分、秒是常用的角的度量单位,把一个周角分成360份,一份就是1°,把1°分成60份,一份就是1,把1分成60份,一份就是1,以度分秒为单位的角的度量制就是角度制,从角度制不难发现,角的度数在进行运算时,是60进制的 填空: 1周角= 0 1平角= 0 10= 1= A终边O始边BOB实践与应用 10 1对1个性化辅导 例 1 如右图:在AOB的内部有两条射线OC,OD,请问图中有几个角? 例 2 如图:用另一种方法来表示角: 表示为 FCG表示为 r表示为 1表示为 BDE表示为 例 3 把3.620化为度、分、秒.把5002345化成度. 例4 一天24小时中,时钟的时针和分针共组成多少次平角?多少次周角? § 4.3.1 角 教学目标 知识技能: 会正确使用量角器测量一个角的度数. 会用一副三角板,画出150、300、450、600、750、900、1050、1200、等特殊角. 会用量角器画一个角等于已知角. 掌握角的和、差、倍、分的计算. 例 1 计算 1800 - 18015×6 13010÷4 例 2 若时针由2点30分起到2点55分,问时针、分针各转过多少度数? 钟表上2时15分,时针与分针所成角小于900的角的度数是多少? 例 3 已知M,如图,画AOB,使AOB的度数等于M的度数. 11 1对1个性化辅导 例 4 如图1:2:3=1:2:3,4=600,试求1、2、3的度数. 强化训练 填空题: 1、计算并填空: 23045+ 24026= 55012- 16037= 5024× 3= 25030÷3= 2、已知=2705545,那么3= . 1/3= . 3、由2点整到3点30分,时钟的时针转了 度. 选择题: 1、如果=2,r=2,则正确的是 A、=r B、=1/4r C、=4r D、r=1/4 2、若1=75024,2=75.30,3=75012,则 A、1=2 B、2=3 C、1=3 D、以上都不对 3、8点30分,这一时刻,时针与分针的度数是 A、700 B、750 C、800 D、250 解答题: 1、在1点和2点之间,时钟的时针与分针在什么时刻成900角 2、用一副三角板画图,画一个角使这个角等于1350 3.三个角的和为140度,第二个角为第一个角的3倍,第一个角比第一,第二个角的和还大20度,求这三个角的度数. 拓展应用 任意画一个三角形,用量角器量出三个角的大小,并求出这三个角的和;多画几个试试,看看它的结果怎样?你有什么猜想? 12 1对1个性化辅导 § 4.3.2角的比较和运算 教学目标 知识与技能 会用两种方法比较两角的大小,知道两角的和、差的意义,了解角平分线的意义,并能用肯定语言表示. 叠合法比较两角大小时,顶点必须重合,一边必须重合,另一边落在其余一边的同旁. (2)测量法(测量前教师可提问使用量角器应注意的问题即三点:对中;重合;读数) 角大度数大,角小度数小 三、例题讲解 例1 如图:AOB是哪两个角的和?DOC是哪两个角的和?若AOB=COD,则还有哪两个角相等? 例2 如图: AOB是一条直线,AOC=900,DOE=900, 写出AOD、COD、AOC、AOB、BOD中某些角 之间的两个等量关系. 例3 已知:一条射线OA,若从点O再引两条射线OB、OC,使AOB=600,BOC=200, 求AOC的度数? 例4 如图:已知O为直线AB上一点,AOC的平分线OM,BOC的平分线为ON,求MON的度数? 13 1对1个性化辅导 例5 如图所示,OM为AOB的平分线,射线OC在BOM内,ON为BOC的平分线, 已知AOC=800,求MON? 教学目标 1.了解余角和补角的定义和性质,并能熟练应用 00000001.我们可以看出,在一幅三角板中,除了一个90,我们都有30+60=90,而45+45=90。 0因此我们规定如果两个有的和等于90,我们就说这两个角互为余角,即其中一个角是另一个角的余角. 如:300、600是互为余角(简称互余),300是600的余角,600也是300的余角。 类似地如果两个角的和等于1800,就说这两个角互为补角,其中的一个角是另一个角的补角. 2.互为补角和互为余角的角主要反映角的数量关系,而不是角的位置关系. 3. 一个角是35039,求它的余角和补角? 4 如图:1与2互补,3与4互补,如果2=3,则1与4相等吗?为什么? 由上例我们可以得出结论: 等角(或同角)的补角相等 类似地,我们还有 等角(或同角)的余角相等 例1 如图:OC是ÐAOB的平分线,ÐDOE是直角,图中互余的角有几对,互补的角有几对?把它们写出来. 例2已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小120,求这个角余角和补角的度数? 3.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍,求这个角。 14 1对1个性化辅导 练习 1.互补的两个角可以都是 A.锐角 B.钝角 C.直角 D.平角 2.如图,OC是平角AOB的平分线,OD、OE分别是AOC和BOC的平分线,图中和COD互余的角有个. A.1 B.2 C.3 D.0 D C E A O B 3.如图,AOC=BOD=900,AOB=620,求COD的度数. D C B O A § 4.3.3 角的比较和运算 方位角 教学目标: 知识与能力 能正确运用角度表示方向,并能熟练运算和角有关的问题 方位角其实就是表示方向的角,这种角以正北,正南方向为基准描述物体的方向,如“北偏东300”,“南偏西400”等,方位角不能以正东,正西为基准,如不能说成“东偏北600,西偏南500”等,但有时如北偏东450时,我们可以说成东北方向. 三、实践与应用 例1 如图:指出图中射线OA、OB所表示的方A 向. B 例2 若灯塔位于船的北偏东300,那么船在灯塔的什么方位? 15 1对1个性化辅导 例3 如图,货轮O在航行过程中发现灯塔A在它的南偏东600的方向上,同时在它北偏东600,南偏西100,西北方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D,仿照表示灯塔方位的方法,画出表示客轮B、货轮C、海岛D方向的射线 4. 如图,若已知1+2=900,2+3=900,问1和3是什么关系?为什么?若2和4相等,则1和4要满足什么关系?为什么? A 3 2 1 4 C B 5.如图,O是直线AB上一点,AOB=FOD=900,OB平分COD,图中与DOE互余的角有哪些?与DOE互补的角有哪些? F E D A B O C 16 1对1个性化辅导 第四章图形初步认识复习 教学目标 知识与技能 1使学生理解本章的知识结构,并通过本章的知识结构掌握本章全部知识; 2对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识; 过程与方法 经历相关内容的归纳、总结,巩固对图形的直观认识,了解图形的分割和组合,探索学习空间与图形的方法 情感、态度、价值观 在探索知识之间的相互联系及应用的过程中,体验推理的意义,获取学习的经验 教学重难点 重点是理解本章的知识结构,掌握本章的全部定理和公理; 难点是理解本章的数学思想方法 教学过程 一、引导学生画出本章的知识结构框图 二、具体知识点梳理 多姿多彩的图形 立体图形:棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. ìí1、几何图形 î平面图形:三角形、四边形、圆等. 主视图-ì从正面看 俯视图-从上面看 会判断简单物体的三视图. 17 í侧视图-从左边看 2、几何体的三视图 î 1对1个性化辅导 能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 3、立体图形的平面展开图 同一个立体图形按不同的方式展开,得到的平现图形不一样的. 了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型. 4、点、线、面、体 几何图形的组成 点:线和线相交的地方是点,它是几何图形最基本的图形. 线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线. 面:包围着体的是面,分为平面和曲面. 体:几何体也简称体. 点动成线,线动成面,面动成体. 直线、射线、线段 1、基本概念 图形 端点个数 表示法 作法叙述 直线 无 直线a 直线AB 作直线AB; 作直线a 不能延长 作射线AB 射线AB 射线 一个 线段 两个 线段a 线段AB 作线段a 作线段AB 连接AB 延长线段延长叙述 2、直线的性质 经过两点有一条直线,并且只有一条直线. 简单地:两点确定一条直线. 3、画一条线段等于已知线段 度量法 用尺规作图法 4、线段的大小比较方法 度量法 叠合法 5、线段的中点、三等分点、四等分点等 18 反向延长射AB; 线AB 反向延长线段BA 1对1个性化辅导 定义:把一条线段平均分成两条相等线段的点. 图形: A M B 符号:若点M是线段AB的中点,则AM=BM=6、线段的性质 两点的所有连线中,线段最短.简称:两点之间,线段最短. 7、两点的距离 连接两点的线段长度叫做两点的距离. 8、点与直线的位置关系 点在直线上 点在直线外. 角 1、角:由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 2、角的表示法: 3、角的度量单位及换算 4、角的分类 5、角的比较方法 度量法 叠合法 6、角的和、差、倍、分及其近似值 7、画一个角等于已知角 借助三角尺能画出15°的倍数的角,在0180°之间共能画出11个角. 借助量角器能画出给定度数的角. 用尺规作图法. 8、角的平线线 定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线. 图形: 符号: 9、互余、互补 若1+2=90°,则1与2互为余角.其中1是2的余角,2是1的余角. 若1+2=180°,则1与2互为补角.其中1是2的补角,2是1的补角. 余角的性质:等角的补角相等. 10、方向角 正方向 北偏东方向 东北方向 19 1AB,AB=2AM=2BM. 2 1对1个性化辅导 四、练习 1、下列说法中正确的是 A、延长射线OP B、延长直线CD C、延长线段CD D、反向延长直线CD 2、下面是我们制作的正方体的展开图,每个平面内都标注了字母,请根据要求回答问题: 和A面所对的会是哪一面? 和B面所对的会是哪一面? 面E会和哪些面相交? 3、 两条直线相交有几个交点? 三条直线两两相交有几个交点? 四条直线两两相交有几个交点? 思考:n条直线两两相交有几个交点? 4、 已知平面内有四个点A、B、C、D,过其中任意两点画直线,最少可画多少条直线, 最多可画多少条直线?画出图来 5、已知点C是线段AB的中点,点D是线点,CD=25厘米,请你求出线段AB、AC、长各为多少? 6、已知线段AB=4厘米,延长AB到C,使B C=2AB,取AC的中点P,求PB的长 五、作业设计 课本第152153页复习题4第16题 段BC的中AD、BD的 20 1对1个性化辅导 第四章图形初步认识复习 教学目标 知识与技能 应用本章知识解决一些实际问题 过程与方法 通过实验、操作,提高对图形的认识能力,探索学习空间与图形的方法 情感、态度、价值观 在解决一些实际问题的过程中,体验推理的意义,获取学习的经验。 教学重难点 重点是理解本章的知识结构,掌握本章的全部定理和公理; 难点是理解本章的数学思想方法 教学过程 一、例题讲解 例1如图1-1,正方体盒子中,一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到D1点,画出蚂蚁爬行的最短线路 图1 图3 . 图2 分析:正方体是空间图形,解决空间图形的问题,经常是将空间图形转化为平面图形,这正是转化思想的体现. 解:将正方体展开成平面图形,如图1-2所示,因为两点之间线段最短,所以,在图1-2中,BD1就是所要求的最短线路. 例2一个角的补角是它的3倍,这个角是多少? 分析:设这个角的度数为x,则它的补角为180x,根据题意,可列出一元一次方程来求解. 解:设这个角的度数为x,则有180x3x.解这个方程,得x45°.所以这个角是45°. 例3如图2,点O是直线A上的一点,OD是AOC的平分线,OE是COB 的平分线, 求DOE的度数. 分析:在解决线段的中点和角的平分线问题时,某个环节整体处理,能化难为易,轻松求解. 分别求出DOC、EOC的度数,再相加得到DOE的度数,是不可能的,可将DOE作为一个整体来考虑. 解:因为OD是AOC的平分线,OE是COB的平分线, 11所以CODCOA,COECOB, 22而COACOB180°, 21 1对1个性化辅导 所以DOE11×180°90°. 22例4 如图3-173所示,回答下列问题。 图3-173 图中有几条直线?用字母表示出来; 图中有几条射线?用字母表示出来; 图中有几条线段?用字母表示出来。 解:图中有1条直线,表示为直线AD; 共有8条射线,能用字母表示的有射线AB,AC,AD,BC,BD,CD,不能用字母表示的有2条, 二、课堂练习 . 已知平面内有四个点 A、B、C、D,过其中任意两点画直线,最少可画多少条直线,最多可画多少条直线?画出图来并说明理由 已知点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点,CD=25厘米,请你求出线段AB、AC、AD、BD的长各为多少? 3已知线段AB=4厘米,延长AB到C,使B C=2AB,取AC的中点P,求PB的长 4计算下列各题: 23°30_°136°_°_; 52°4532°46_°_; 183°+26°34_°_ 5由图形填空 : AOC_+_ ; AOCAOB _ ; COD AOD_ ; BOC _ COD ; AOB+COD_ 第5题 第6题 6如图,A、B、C在一直线上,已知Ð53°,Ð237°CD与CE垂直吗? 22