典型例题用放缩法证明不等式.docx

典型例题用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证1ab4。 3证明：由题设得a2abb2ab，于是2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab12，而2ababab12，即32ab，所以444ab4，故有1ab4。 33例2. 已知a、b、c不全为零，求证： a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a23 23b2=a+ba+b，同理证明：因为a2+ab+b2=+4222222b2+bc+c2b+c，c2+ac+a2c+a。 22所以a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a23 2二. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：1abc2。 b+ca+ca+bbac证明：由于a、b、c为正数，所以a，b，c，所以b+ca+b+ca+ca+b+ca+ba+b+c 1 / 4 abcaabc又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则1，b+ca+cabcabcabca+bb+c为真分数，则ab+c2a，同理b2b，c2c， a+b+ca+ca+b+ca+ba+b+c故babc+ca+ca+b2a2b2c=2. a+b+ca+b+ca+b+c综合得1abc2。 b+ca+ca+b三. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知nN*，求1+121312+13+1n2n。 证明：因为，则1+1n+ +1+2+2+2=2n-12n，证毕。 n(n+1)(n+1)2例5. 已知nÎN且an=1´2+2´3+L+n(n+1)，求证：对所有正整数n<an<22*都成立。 证明：因为n(n+1)>n2=n，所以an>1+2+L+n=又n(n+1)<n(n+1)， 2n(n+1)， 2n(n+1)351+22+32n+1(n+1)2所以an<，综合知结论成立。 +L+=+L+=2222222四. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 2x-1n例6. 已知函数f(x)=x，证明：对于nÎN*且n³3都有f(n)>。 2+1n+1证明：由题意知 2 / 4 n2-1n21122n-(2n+1)*又因为且nÎNf(n)-=n-=(1-n)-(1-)=-n=nn+12+1n+1n+1n+12+1(n+1)(2+1)，2+1nn³3，所以只须证2n>2n+1，又因为 2=(1+1)=nn0Cn1+Cn2+Cn+Ln-1+Cnn+Cnnn(n-1)所以。 f(n)>=1+n+L+n+1>2n+12n+1例7. 已知f(x)=1+x2，求证：当a¹b时f-f<a-b。 证明：f-f=1+a2-1+b2=a+ba-ba+b(a+b)a-ba+ba2-b21+a2+1+b2=a+ba-b1+a2+1+b2<<=a-b证毕。 五. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。 例8. 已知a>b>c，求证111+>0。 a-bb-cc-a证明：因为a>b>c，所以可设a=c+t，b=c+u(t>u>0)，所以t-u>0则11111111t-u111+=+->-=>0，即+>0。 a-bb-cc-at-uututtua-bb-cc-a例9. 已知a，b，c为ABC的三条边，且有a2+b2=c2，当nÎN*且n³3时，求证：an+bn<cn。 证明：由于a2+b2=c2，可设a=csina，b=ccosa，因为0<sina<1，0<cosa<1，则当n³3时，sinna<sin2a，cosna<cos2a， 所以an+bn=cn(sinna+cosna)<cn(sin2a+cos2a)=cn。 六. 单调函数放缩 根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。 例10. 已知a，bR，求证a+b1+a+b£a1+a+b1+b。 证明：构造函数f(x)=f(x1)-f(x2)=x(x³0)，首先判断其单调性，设0£x1<x2，因为1+xx1x2x1-x2-=<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在0,+¥上是增函数，取1+x11+x2(1+x1)(1+x2) 3 / 4 x1=a+b，x2=a+b，显然满足0£x1£x2， 所以f(a+b)£f(|a|+|b|)， 即 |a+b|a|+|b|a|b|a|b|。证毕。 £=+£+1+|a+b|1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|a|+|b|1+|a|1+|b| 4 / 4