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关于正项级数收敛性的判别法关于正项级数收敛性的判别法 On convergence of series with positive terms I 摘要 正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。 关键词：级数；正项级数；收敛；发散。 II Abstract Determining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series; positive series; convergence; divergence. III 目录 摘要 . II ABSTRACT . III 目录 . IV 引言 . 1 1 基础知识 . 2 1.1 无穷级数的定义 . 2 1.2 无穷级数的部分和 . 2 1.3 无穷级数收敛的定义 . 2 2 正项级数敛散性的常用判别法 . 3 2.1柯西收敛原理 . 3 2.2 基本定理 . 3 2.3比较判别法 . 3 2.4 达朗贝尔判别法 . 4 2.5 柯西判别法 . 4 2.6 积分判别法 . 5 2.7 阿贝尔判别法 . 5 2.8 狄利克雷判别法 . 5 3 正项级数敛散性的一些新的判别法 . 6 3.1 定理1. 6 3.2 定理2 . 6 3.3 定理3 . 7 3.4 定理4 . 8 3.5 定理5 . 8 3.6 定理6 . 9 3.7 定理7. 10 3.8 定理8. 10 3.9 定理9 . 10 4 正项级数敛散性判别法的比较 . 12 5 应用举例 . 16 6 总结与展望 . 20 参考文献 . 21 致谢 . 22 44343531IV 引言 在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。判别正项级数的敛散性是研究正项级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。因此，本文打算对正项级数的各种重要的敛散性判别法及特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。 首先，正项级数作为数项级数的一个重要组成部分，数项级数收敛性的判定方法对正项级数也是适用的，如数项级数收敛性的概念和柯西收敛原理等。其次，正项级数也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如柯西判别法、达朗贝尔判别法、柯西积分判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，判断选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。 1 1 基础知识 1.1 无穷级数的定义 一系列无穷多个数u1,u2,u3,L,un,L写成和式 就称为无穷级数，记为åun。如果un³0,(n=1,2,3,L)，那么无穷级数åun就称为正项级数。 n=1n=1¥u1+u2+u3+Lun+L ¥1.2 无穷级数的部分和 对任何一个无穷级数åun，我们总可以作出一个数列Sn=åuk,(n=1,2,3,L)，并称Sn为级数åun的n次部分和，称数列Sn为级数的部分和数列。 n=1¥n=1¥nk=11.3 无穷级数收敛的定义 若级数åun的部分和数列Sn收敛于有限值S，即 n=1¥limSn=limåuk=S,n®¥n®¥k=1n则称级数åun收敛，记为 n=1¥åun=1¥n=S, ¥并称此值S为级数的和数。若部分和数列Sn发散，则称级数åun发散。当级数收n=1敛时，又称 rn=S-Sn=k=n+1åu¥k=un+1+un+2+un+3+L 为级数的余和。 2 2 正项级数敛散性的常用判别法 2.1柯西收敛原理1 级数åun收敛的充要条件是：对任意给定的正数e，总存在N，使得当n>N时，n=1¥对于任意的正整数p=1,2,3,L，都成立着 un+1+un+2+L+un+p<e. 对于正项级数åun，由于un>0，因此，只要un+1+un+2+L+un+p<e即可。 n=1¥2.2 基本定理 如果正项级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛。 2.3比较判别法 设åun和åvn是两个正项级数，存在常数c>0，使 n=1n=1¥¥un£cvn,(n=1,2,3,L), 或者自某项以后成立上述关系，那么 若级数åvn收敛，则级数åun也收敛； n=1¥¥¥n=1¥若级数åun发散，则级数åvn也发散； n=1n=1比较判别法的极限形式 ： 设åun和åvn是两个正项级数。若有 n=1n=1¥¥limun=l n®¥vn¥则 当0<l<+¥时，级数åun与åvn同时收敛或同时发散； n=1n=1¥当l=0时，若级数åvn收敛，则åun也收敛； n=1n=1¥¥3 当l=+¥时，若级数åvn发散，则åun也发散。 n=1n=1¥¥2.4 达朗贝尔判别法 设åun为正项级数，若从某一项起成立着n=1¥¥un，£q<1un-1¥un则级数åun收敛。若从某一项起³1,(n>N)，则级数åun发散。 un=1n=1n-1达朗贝尔判别法的极限形式： 对于正项级数åun，当 n=1_unlim=r<1 n®¥un-1_¥时，级数åun收敛。当 n=1¥lim¥_un=r>1 _u_n-1n®¥¥时，级数åun发散。而当r=1或者r=1时，级数åun的收敛性需要进一步判定。 n=1_n=12.5 柯西判别法 设åun为正项级数，若从某一项起成n=1¥立着nun£q<1，则级数åun收敛。若从某一项起成立着nun³1，n=1¥则级数åun发散。 n=1¥4 柯西判别法的极限形式： 对于正项级数åun，设 n=1¥r=limnun, n®¥_那么，当r<1时，级数åun收敛，当r>1时，级数åun发散，当r=1时，级数åunn=1n=1n=1¥¥¥的收敛性需要进一步判定。 2.6 积分判别法 对于正项级数åun，设un为单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值n=1¥函数f(x),(x>0)，使得当x等于正整数n时，其函数值恰为un，即f(n)=un。那么，级数åun与数列An，这里An=òf(x)dx，同时收敛或同时发散。 n=1¥n12.7 阿贝尔判别法 如果级数åbn收敛； n=1¥数列an单调有界，an£K,(n=1,2,3,L)， 则级数åanbn收敛。 n=1¥2.8 狄利克雷判别法 如果级数åbn的部分和Bn有界，Bn£M,(n=1,2,3,L)； n=1¥数列an单调趋于零， 则级数åanbn收敛。 n=1¥5 3 正项级数敛散性的一些新的判别法 3.1 定理1 k若正项级数åun收敛，则级数åun也收敛2(kÎN+)； n=1¥¥¥n=1k若正项级数åvn发散，且limvn=+¥，则级数åvn也发散。 n=1n®¥¥n=1证明：用数学归纳法和比较判别法来证明。 2un当k=2时，因为åun收敛，所以limun=0，从而lim=0，由比较判别法n®¥n®¥un=1n¥2得级数åun收敛。 n=1¥m+1un假设k=m时，级数åu收敛，则当k=m+1时，因为limm=0，由比较判别法n®¥un=1n¥mn¥m+1得级数åun收敛。所以，根据数学归纳法，结论成立。 n=12¥¥vn2当k=2时，因为lim=+¥，而级数åvn发散，从而由比较判别法得级数åvnn®¥vn=1n=1n发散。 m+1vn假设k=m时，级数åv发散，则当k=m+1时，因为limm=+¥，由比较判别法n®¥vn=1n¥mn¥m+1得级数åvn发散。所以，根据数学归纳法，结论成立。 n=13.2 定理2 对于正项级数åun，un:an，若正项级数åan收敛，则级数åun也收敛。 n=1¥¥¥n=1n=16 ¥un证明：由于un:an，所以lim=1，又正项级数åan收敛，根据比较判别法的极限n®¥an=1n¥形式得正项级数åun也收敛。 n=13.3 定理33 对于正项级数åun，如果存在正整数N及常数r， n=1¥æunö 若对任意的n>N，存在r>1，使得nç -1÷³r，那么级数åun收敛；n=1èun+1ø¥æunö 若对任意的n>N，存在r<1，使得nç -1÷£r，那么级数åun发散。n=1èun+1ø¥æ1öç1+÷-1nø=s<r，故对充分大的n有证明：(1)取实数s使得r>s>1。由于limèn®¥1nsæunöunræ1öæn+1öræ1ö。由得n-1³r1+<1+³1+>ç1+÷=çç÷ç÷÷nnuunnnèøèøèøn+1n+1èøun+1ænö1£ç=÷sunèn+1ø(n+1)ssss，即¥¥11。由于s>1，所以级数ås收敛，故级数åun收敛。 nsnn=1n=1æunöuur1n+1n11由nç得n£1+<1+=，即n+1³，=-1÷£r及r<1，n+1nunnnun+1un+1nèn+1ø¥1由于级数å发散，故级数åun发散。 n=1nn=1¥拉贝判别法的极限形式： æuö对于正项级数åun，且limnçn-1÷=r， n®¥n=1èun+1ø¥当r>1时，级数åun收敛； n=1¥¥当r<1时，级数åun发散； n=1当r=1时，需要进一步进行判定。 7 3.4 定理45 设正项数列un满足un+1pqn=1-+1-,q有界,m>0)，那么 m(nunnn¥当p>1时，级数åun收敛； n=1当p<1时，级数åun发散。 n=1¥证明：取vn=1，则 snlnnssvnn+1éln(n+1)ùæ1öé1sæ1öùæ1ö=1+1+ln1+=1+1+a ()êúçn÷ç÷úç÷vv+1nëlnnûènøêlnnnnèøûèøë这里an=11æ11æ1öæ1ööæ1ölnç1+÷=+o=+oç÷÷ç÷，故 çlnnènølnnènènøønlnnènlnnøvnæ1ös1sæ1öéæ1öùæ1ö=ç1+÷(1+san+o(an)=ç1+÷ê1+oç=1+o÷úç÷ vv+1ènønnlnnnlnnnnlnnnlnnèøëèøûèø由已知可得 unvb-sæ1ö-n=+oç÷ un+1vn+1nlnnènlnnøunv-n>0，所以un+1vn+1故当b>1时，取s使得1<s<b时，$N0，当n>N0时有¥¥un+1vn+1。由于当s>1时，可知级数åvn收敛，所以级数åun收敛。 <unvnn=1n=1¥unvnun+1vn+1当b<1时，取1>s>b。即可得。由级数åvn发散，-<0，所以>un+1vn+1unvnn=1¥可得级数åun也发散。 n=13.5 定理53 æuö对于正项级数åan，如果limçnan-an+1÷=d，则 n®¥un=1èn+1ø¥8 ¥当d>0时，级数åun收敛； n=1¥1当级数å发散且d<0时，级数åun发散。 an=1n=1n¥证明：由于d>0，故存在N，当n>N时，有因此 unan-un+1an+1>nundan-an+1> un+12d2un+1,("nÎN,an>0) n由此得 å(ukak-uk+1ak+1)>åuk+1 k=Nk=N2因此有 uNaN-un+1an+1>从而 0<åuk+1<k=Nndduå2k=Nnk+122d(uNaN-un+1an+1)£duNaN ¥ìnü此即表明åun的部分和序列íåuký有上界，故级数åun收敛。 n=1n=1îk=1þ¥根据假设存在N，故"n³N时，因此有 unan£un+1an+1 从而 un+1an1³=unan+1an+1¥unan-an+1£0 un+11 an¥1而级数å发散，故级数åun发散。 n=1n=1an3.6 定理64 1¥¥un³p>1，则级数åun收敛；若从对于正项级数åun，若从某一项起，有lnnn=1n=1ln9 1¥un<1，则级数åun发散。 某一项起，有lnnn=1对数判别法的极限形式： ln对于正项级数åun，如果 n=1¥1unlim=r n®¥lnnln那么，当r>1时级数收敛；r<1时级数发散；r=1时级数的收敛性需要进一步判定。 3.7 定理73 设正项级数åun的通项un是递减的，如果limn=1¥1当l<时，级数åun收敛； 2n=1¥1当l>时，级数åun发散。 2n=1¥u2n=l，则 n®¥un3.8 定理84 设f(x)为递减的正值连续函数，又设lim 当l<1时，级数åf(n)收敛； n=1¥¥exf(ex)f(x)x®¥=l，那么 当l>1时，级数åf(n)发散。 n=13.9 定理94 设f(x)为递减的正值连续函数，f(x)为递增可导函数，并满足f(x)>x，如果10 limx®¥f/(x)f(f(x)f(x)=l，那么 ¥当l<1时，级数åf(n)收敛； n=1¥当l>1时，级数åf(n)发散。 n=111 4 正项级数敛散性判别法的比较 4.1当级数的通项为等差或等比数列，或通项为含二项以上根式的四则运算，且通项极限无法求出时，可以选用定义和柯西收敛原理进行判断。如： 1114.1.1 1+L+L 23n1取0<e0<,"n，若令p=n，则 211111Sn+p-Sn=+L+>n×=>e0 n+1n+22n2n2¥1因此，由柯西收敛原理知级数å发散。 n=1n4.1.2 ån=1¥(n+2-2n+1+n )Sn=(3-22+1+)(4-23+2+)(5-24+3+L+)(n+2-2n+1+n)=1-2+n+2-n+11=1-2+n+2+n+1则S=limSn=1-2。所以，由级数收敛的定义知原级数收敛。 n®¥1或含有sinq,cosq等三角函数的因子时，可以通过对其进un行适当的放缩，然后再与几何级数、P级数等常见的已知其敛散性的级数进行比较，选用比较判别法进行判定。如： ¥16,a>1)收敛。 4.2.1 判别正项级数ån(n=11+a4.2当级数的通项型如¥11æ1öæ1ö0<<1因为0<，而级数£åç÷ç÷收敛，所以由比较判别法知级a1+anèaøn=1èaø¥1数å收敛。 nn=11+a¥14.2.2判别正项级数å 的敛散性。 lnnn=2(lnn)nn因为存在正整数N,当n>N时，有¥1(lnn)lnn=1elnnlnlnn£1e2lnn=1，而正项级数2n¥11是收敛的，所以由比较判别法知级数收敛。 åå2lnnn=1nn=2(lnn)通常比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。 12 4.3当级数的通项含有型如n!或an，或分子、分母含多个因子连乘时，选用达朗贝尔判别法；当通项含(-1)与un的函数时，可以选用达朗贝尔判别法的极限形式进行判断，例： 4.3.1 判别正项级数ån1×3×L×(2n-1)的敛散性。 n!n=1¥1×3×L×(2n-1)un+12n+1由于，lim发散。 =lim=2>1，所以级数ån®¥un®¥n+1n!n=1n¥¥xn,(x>0)的敛散性。 4.3.2 判别正项级数å2nn=1(1+x)(1+x)L(1+x)由于 limun+1x=limn®¥un®¥1+xn+1nìx,0<x<1ï1ï=í,x=1 ï2ïî0,x>1¥xnun+1,(x>0)收敛。 <1。故正项级数å所以，lim2nn®¥un=1(1+x)(1+x)L(1+x)nn4.4 当级数的通项含有n次幂，型如an、(un)或通项un=1，即分母为含有lnxpnlnn的函数，分子为1，可选用柯西判别法。如： ænö4.4.1 判别正项级数åç÷收敛。 n=1è2n+1øn1ænö=lim=<1，所以根据柯西判别法的极限形式得正项由于limnç÷n®¥n®¥2n+12n+12èøn¥nænö级数åç÷收敛。 n=1è2n+1ø一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用达朗贝尔判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比达朗贝尔判别法更优。例如： 4.4.2 1+b+bc+L+bncn+L,(0<b<c)7 柯西判别法 ¥nlimn®¥2n-1bcn-1n-1=lim(bc)n®¥n-12n-1=bc lim2nbncn=bc n®¥当bc=1时，原级数=1+b+1+b+L，原级数发散。 所以，当bc³1时，原级数发散；当bc<1时，原级数收敛。 达朗贝尔判别法 un+1ìb,n为奇数 =íunîc,n为偶数13 un+1=c n®¥unulimn+1=b _unn®¥lim_所以，当c<1(即bc<1)时，原级数收敛；当b>1(即bc³1)时，原级数发散。 由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但柯西判别法与达朗贝尔判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。因此，上题选用柯西判别法比达朗贝尔判别法更好。在使用判别法时，我们可以选用柯西判别法找到最佳收敛条件。同时也存在只能使用柯西判别法，使用达朗贝尔判别法无法判断的情况。例如： 4.4.3 判别级数å2-n-(-1)n=1¥n8的敛散性。 由于limun+12=limn+1=1，所以用达朗贝尔判别法无法判别原级数的敛散n®¥un®¥1+(-1)2n(-1)n111n=<1，所以，由柯西判别法得原级数收敛。 (-1)nn®¥n®¥222因此，当我们观察级数的通项的极限趋近于0时，我们可以选用柯西判别法或达朗贝尔判别法。 114.5 当级数的通项含有型如，un为含有lnn的表达式或可以找到原函数，或unun性。而limnun=lim函数f(x)为1,+¥)上非负单调递减函数且un=f(n)时，可以选用积分判别法。如： 1的敛散性。 n=3nlnnlnlnn+¥+¥d(lnx)+¥d(lnlnx)dx+¥=ò=ò=lnlnlnx3=+¥，则广义积由于ò33xlnxlnlnx3lnxlnlnxlnlnx+¥dx分ò发散，所以由柯西积分判别法知原级数发散。 3xlnxlnlnx4.6 当级数的通项含有阶乘与n次幂，型如n!与an时，而使用柯西判别法、达朗贝尔判别法时极限等于1等无法判断其敛散性的时候，可选用拉贝判别法。例： ¥enn!4.6.1 判别正项级数ån的敛散性。 n=1n4.5.1 判别正项级数å¥euænö由于limnun=limnn!，limn+1=elimç÷=1，所以，使用柯西判别法和n®¥n®¥nn®¥un®¥1+nèønn达朗贝尔判别法都无法判断。 é1æ1önùæunö-1÷=limnêç1+÷-1ú=2>1，所以由拉贝判别法的极限形式得而limnçn®¥uúèn+1øn®¥êëeènøû原级数收敛。 因此，当柯西判别法与达朗贝尔判别法无法判断正项级数的敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。 4.7 当级数的通项是由两个部分乘积而组成的，其中一部分为单调且趋于0的数14 列，另一部分为部分和有界的数列，若含有sinq或cosq等三角函数、(-1)等；或可化为(-1)，则可以选用狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。如： 4.7.1 如果正项级数åbn收敛，则级数ån=1n=1¥¥nnbnnbn都收敛。 nn=1n+1,å¥4.8 当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。例： ¥sin(2pen!)4.8.1 判别级数å,(a>0)的敛散性。 ann=1¥1111因为e=å=1+L+L 1!2!n!n=0n!é1æ11öùsin(2pen!)=sinê2pn!ç1+L+L÷ún!è1!2!øûëé1ö2p2pæ11æ1öù=sinê2pn!ç1+L+÷+oç2÷ú n!øn+1(n+1)(n+2)è1!2!ènøûëé2p2pæ1öù2p=sinê+oç2÷ú:,(n®¥)n+1n+1n+2nn()()èøûë¥sin(2pen!)2p2p:所以，而正项级数是收敛的。故原级数也收敛。 å1+anan1+ann=1lngn4.9 当级数的通项un=nlnn或un=lnf(n)()时，可以选用对数判别法。如： 4.9.1 判别级数ån=2¥18(lnlnn)lnn的敛散性。 1un=ln(lnlnn)，对a>0，$N，当n>N时，有ln(lnlnn)³1+a>1，因为lnn所以原级数收敛。 ln15 5 应用举例 æ1ö例5.1 判定正项级数åç÷收敛。 n=1è2ø分析：本题中级数的通项是一个等比数列，判定其收敛性的方法比较多，定义、柯西收敛原理、比较判别法、柯西判别法和达朗贝尔判别法都适用。 解：该级数前n项和 æ1öSn=åç÷k=1è2ønnk-1¥n-11æ1ö=1+L+ç÷2è2øn-1æ1ö1-ç÷éæ1önù2øè=2ê1-ç÷ú1êè2øûúë1-2