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关于古典概型的计算关于古典概率的计算 1. 两种抽样方法 在古典概率的计算中，将涉及到两种不同的抽取方法，我们以例子来说明：设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次摸一只，就产生两种摸球的方法。 每次摸出一只后，仍放回原袋中，然后再摸下一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样。显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去。 每次摸出一球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样。显然，对于无放回的抽样，依次摸出的球不出现重复，且摸球只能进行有限次。 2. 计算古典概型的基本原则 初学者往往对于一些古典概率的计算望而生畏，究其原因，大都是没有掌握好计算古典概率的基本原则。拿到一个问题，首先应该分清问题是否与顺序有关？元素是否允许重复？如问题与顺序有关，元素不允许重复，那么应考虑用排列的工具，如此等等，计算工具选准了，一般地说问题也就好解决了，现在把考虑的基本原则列表如下： 抽样方法 顺序 无放回抽样 有放回抽样 工具 考虑顺序 不考虑顺序 排列 组合 有重复的排列 有重复的组合 当然，我们并不排除对于某些问题用特殊的方法去解决。 3例1 袋中有a根红签，b根白签，它们除颜色不同外，其它方面没有差别，现有a+b个人依次无放回的去抽签，求第k个人抽到红签的概率。 解：这是一个古典概型问题，问题相当于把一根一根抽出来，求第k次抽到红签的概率。如考虑把签一一抽 排成一列，问题与顺序有关，是一个排列问题，就产生以下几种解法： 记Ak=“第k个人抽到一根红签”。 把a根红签和b根白签看作是不同的，若把抽出的签依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件总数就等于a+b根不同签的所有全排列的总数为！ 事件Ak包含的基本事件的特点是：在第k个位置上排列的一定是红签，有a种排法；在其它a+b-1个位置上的签的排列种数为！，所以Ak包含的基本事件数为a.！，所求概率为： P 𝐴𝑘 =𝑎. 𝑎+𝑏1 ！ 𝑎+𝑏 ！=𝑎𝑎+𝑏 把a根红签、b根白签均看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排列成一列，这是一个含有相同元素的全排列，每一个这样的全排列就是一个基本事件，基本事件总数就等于根含有相同签的全排列总数为 𝑎+𝑏 ！𝑎！.𝑏！。 事件Ak可看成在第k个位置上放红签，只有一种放法，在其余的a+b-1个位置上放余下的a+b-1根签，其中a-1根是没有区别的红签，b根是没有区别的白签，共有 𝑎+𝑏1 ！𝑎1 ！𝑏！种放法，所以Ak包含的基本事件数为 𝑎+𝑏1 ！𝑎1 ！𝑏！，所求概率为：P 𝐴𝑘 = 𝑎+𝑏1 ! 𝑎1 !𝑏! 𝑎+𝑏 !𝑎!𝑏!=𝑎𝑎+𝑏 1𝑘𝑎+𝑏 。