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2010年MBA联考辅导资料(一):MBA线性代数复习提纲(尤承业)上篇目录第一章 线性代数中最基本的概念1. 矩阵 (1) 基本概念 (2) 线性运算和转置 (3) n阶矩阵和几个特殊矩阵 (4) 初等变换和阶梯形矩阵2. 向量 (1)基本概念 (2) 线性运算和线性组合3线性方程组 (1) 基本概念 (2) 同解变换与矩阵消元法第二章 行列式1.1 形式与意义1.2 定义(完全展开式)1.3 性质1.4 计算1.5克莱姆法则第三章 矩阵乘法和可逆矩阵2.1 矩阵乘法的定义和性质2.2 n阶矩阵的方幂和多项式2.3乘积矩阵的列向量组和行向量组2.4 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)2.5 矩阵乘法的分块法则2.6 初等矩阵第四章 向量组的线性关系和秩3.1 向量组的线性表示关系3.2 向量组的线性相关性3.3 向量组的极大无关组和秩3.4 矩阵的秩第五章 线性方程组4.1 线性方程组的形式4.2 线性方程组解的性质4.3 线性方程组解的情况的判别4.4 齐次线性方程组基础解系 线性方程组的通解分析第六章 n阶矩阵的特征向量和特征值 5.1 特征向量和特征值第一章 线性代数中最基本的概念基础比较好的考生可不必看这部分内容,或者只用本部分的习题对自己进行一次测试.1.矩阵 (1)基本概念 矩阵是描写事物形态的数量形式的发展.由m´n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m´n型矩阵.这些数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0. 两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等. (2)线性运算和转置加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m´n的矩阵A与应该数c可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为先性运算,它们满足以下规律: 加法交换律: A+B=B+A. 加法结合律: (A+B)+C=A+(B+C). 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. 数乘结合律: c(d)A=(cd)A. cA=0Û c=0 或A=0.转置:把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A¢).有以下规律: (AT)T= A. (A+B)T=AT+BT. (cA)T=(cA)T. (3) n阶矩阵 几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.n阶矩阵A的相应的行列式记作|A|,称为A的行列式.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它的主对角线.(其上的运算行列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们但是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 主对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 主对角线外的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 主对角线外的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上(下)三角矩阵: 主对角线下(上)的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j, (i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上的元素一定都是0. (4) 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵的初等行变换有以下三种: 交换两行的上下位置. 用一个非0的常数乘某一行的各元素. 把某一行的倍数加到另一行上.类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: 如果它有零行,则都出现在下面. 每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.2. 向量 (1)基本概念向量是另一种描述事物形态的数量形式.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,¼ ,an的向量可表示成 a1 (a1,a2,¼ ,an)或 a2 , an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1´n矩阵,右边n´1是矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.请注意它与矩阵的行向量和列向量的区别.一个m´n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为a1, a2,¼ ,an时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(a1, a2,¼ ,an).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如向量的相等,零向量等等.这里从略.(2) 线性运算和线性组合向量也有加减法和数乘这两种线性运算,并且也有完全一样的运算规律,这里也不来复述了.向量组的线性组合:设a1, a2,¼ ,as是一组n维向量, c1,c2,¼ ,cs是一组数,则称 c1a1+ c2a2+¼ ,+csas为a1, a2,¼ ,as的(以c1,c2,¼ ,cs为系数的)线性组合.它也是n维向量.3线性方程组(1) 基本概念线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+¼ +a1nxn=b1, a21x1+a22x2+¼ +a2nxn=b2, ¼ ¼ ¼ ¼ am1x1+am2x2+¼ +amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.分别称矩阵 a11 a12 ¼ a1n a11 a12 ¼ a1n b1 A= a21 a22 ¼ a2n 和(A|b)= a21 a22 ¼ a2n b2¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼am1 am2 ¼ amn am1 am2 ¼ amn bm为方程组的系数矩阵和增广矩阵. 如果b1=b2=¼=bm=0,则称为齐次线性方程组.把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,¼ ,kn),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.n维零向量总是齐次线性方程组的解,因此齐次线性方程组的解情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).(2) 同解变换与矩阵消元法线性方程组的同解变换有三种: 交换两个方程的上下位置. 用一个非0的常数乘某个方程. 把某方程的倍数加到另一方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组的基本求解方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法:写出方程组的增广矩阵(对齐次方程组用系数矩阵),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵,再写出所代表的阶梯形方程组 (它是原方程组的同解方程组),用它求解.第二章 行列式1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式.如果行列式的列向量组为a1, a2,¼ ,an,则此行列式可表示为|a1, a2,¼ ,an|.意义:是一个算式,把n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式: a11 a12 a21 a22 = a11a22-a12a21 .a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32-a13a22a31- a11a23a32+ a12a21a33.a31 a32 a33一般地,一个n阶行列式 a11 a12 ¼ a1na21 a22 ¼ a2n¼ ¼ ¼ an1 an2 ¼ ann的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:,这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2¼jn构成1,2, ¼,n的一个全排列(称为一个n元排列),一共有n!个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定t(j1j2¼jn)为全排列j1j2¼jn的逆序数(即小数排列在大数后面的现象出现的个数,例如6元排列231645有4个逆序:21,31,64,65,因此 t(231645)=4),则所乘的是于是 a11 a12 ¼ a1na21 a22 ¼ a2n =¼ ¼ ¼ an1 an2 ¼ ann 这里表示对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式的完全展开式.3.性质行列式有以下性质: 把行列式转置值不变,即|AT|=|A| . 某一行(列)的公因子可提出. 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量a=b+g ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量a换为b或g 所得到的行列式. 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号. 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. 如果把一个行(列)向量的倍数加到另一个行(列)向量上,则行列式的值不变.把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素aij的余子式,记作Mij.称Aij=(-1)i+jMij为aij的代数余子式. 行列式可对某一行(列)展开,即行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和. 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. 如果A与B都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A|+|B|. O B * B范德蒙行列式:形如 1 1 1 ¼ 1 a1 a2 a3 ¼ an a12 a22 a32 ¼ an2 ¼ ¼ ¼ a1n-i a2n-i a3n-i ¼ ann-i的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,¼,an所决定,它的值等于 因此范德蒙行列式不等于0Û a1,a2 ,a3,¼,an两两不同. 4.计算行列式的核心问题是值的计算.(1)用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.(2)化零降阶法:取定一行(列),先用性质把这行(列)的元素消到只有一个或很少几个不为0,再用,对这行(列)展开.例如设4阶行列式 1 1 1 1 D= -2 x 3 1 , 2 2 x 4 3 3 4 x取第1行,把第2,3,4行各减去第一行,得到1 0 0 0 x+2 5 3 x-2 2 D= -2 x+2 5 3 = 0 x-2 2 =(x+2) 1 x-3 =(x+2)(x-2)(x-3)-2=(x+2)(x-1)(x-4). 2 0 x-2 2 0 1 x-3 3 0 1 x-3(3)利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式,包括n阶行列式. 5.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)时,如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,¼,Dn/D),这里D是系数行列式的值, Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.两点说明: 按法则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上.(实际求解方法:对增广矩阵(A|b)作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时b变为解.) 法则的改进,事实上系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.练习题一1计算行列式 (1) 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 a a a a a 2 . (2) 1 4 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 25 36 49 . 2. (1) a 0¼0 b (2) a1 0 a2 0 0 0 0 b1 0 b20 0 c1 0 c2 0 c 0¼0 d . 0 d1 0 d2 . 3. 计算n阶行列式(1) 1 2 3 n-1 n -1 2 3 n-1 n -1 2 3 n-1 n -1 2 3 1-n n (2) 1 -2 -2 -2 -2 (3) 1 2 3 n (4) 1 a1 0 0 0 2 2 -2 -2 -2 2 1 2 n-1 -1 1-a1 a2 0 0 2 2 3 -2 -2 3 2 1 n-2 0 -1 1-a2 0 0 2 2 2 2 n n n-1 n-2 1 0 0 0 -1 1-an 4. 设4阶矩阵A=(a, g1, g2 ,g3),B=(b, g1, g2 ,g3),|A| =2, |B|=3 ,求|A+B| . 5. 一个三阶行列式的值为8，它的第二行的元素是1，2，a，它们的余子式依次为A21=2，A22=-1，A23=1，则a =( ).6. x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数，最高次项的系数和常数项. X+3 -1 3 3x2-2 9 x3 6 -6 7. x-2 x-1 x-2 x-3求多项式f(x)= 2x-2 2x-1 2x-2 2x-3 的次数. 3x-3 3x-2 4x-5 3x-5 4x 4x-3 5x-7 4x-38.已知 x-3 a -1 4 f(x)= 5 x-8 0 2 的根为x1, x2, x3, x4,求x1+x2+x3+x4.0 b x+1 12 2 1 x9. 求行列式 0 1 0 0 0 的全部代数余子式的和. 0 0 2-1 0 0 0 0 0 3-1 0 0 0 0 0 (n-1)-1 n-1 0 0 0 010 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3参考答案1.(1) 把各列都加到第1列上,提出公因子. 得(4a+2)(a-2)4. (2) 自下而上,各行减去上一行(作两次).得0.2.用换行(列)的方法.得 (1) (ad-bc)|B|.(3) (a1c2- a2c1)(b1d2-b2d1).3. (1)提示：把第一行加到其它各行 得2n-1n! (2) 第3到n行各减第二行 得(n+2)!/4 (3) 提示：自下而上各行减去上行 得(-1)n-12 n-2(n+1) (4) 提示：从第2行起，自上而下各行加上行 得1 4. 得40.5. 得8.6. 最高次只出现在下面划线的4个元素的乘积一项中,常数项即f(0).得9 ,6, 0.7. 2.8. 提示:利用特征值的性质.得10.9. 提示:利用伴随矩阵.得(-1)n-1(n+1)/2(n-1)!.10.x=0,y=3,z=-1.第三章 矩阵乘法和可逆矩阵 1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: 矩阵乘法有条件. 矩阵乘法无交换律. 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A=0推不出或B=C.(无左消去律)由BA=CA和A=0推不出或B=C. (无右消去律)把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来,这是常见错误. 矩阵乘法适合以下法则: 加乘分配律 A(B+C)= AB+AC, (A+B)C=AC+BC. 数乘性质 (cA)B=c(AB). 结合律 (AB)C= A(BC). (AB)T=B TA T.2.n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.(1)行列式性质 |AB|=|A|B|.(2)如果AB=BA,则说A和B可交换.(3)方幂 设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则: A kA h= A k+h. (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k¹A kB k.(3) n阶矩阵的多项式 乘法公式设f(x)=amxm+am-1xm-1+¼+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=amA m+am-1A m-1+¼+ a1A +a0 E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如(A±B)2=A2±2AB+B2Û A和B可交换.(A+B)(A-B)=A2-B2Û A和B可交换. A和B可交换Þ(不是Û!)有二项公式: 中篇3. 乘积矩阵的列向量组和行向量组,设A是m´n矩阵B是n´s矩阵. A的列向量组为a1, a2,¼ ,an,B的列向量组为b1, b2,¼ ,bs, AB的列向量组为g1, g2,¼ ,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出: AB的每个列向量组为gi=Abi,i=1,2,¼,s.即A(b1, b2,¼ ,bs)= (Ab1,Ab2,¼ ,Abs). b=(b1,b2, ¼,bn)T,则Ab= b1a1+b2a2+ ¼+bnan.应用这两个性质可以得到:乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组为a1, a2,¼ ,an的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量bI的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出.然而它们无论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的.请读者注意例题中对它们的应用.下面是几个简单推论.用对角矩阵L从左侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵L从右侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂. 4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程. (I) AX=B. (II) XA=B.其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵,这样这两个方程都是唯一解.当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它是唯一解.设B有s列, B=(b1, b2,¼ ,bs),则 X也有s列,记X=(c1, c2,¼,cs).得到Aci=bi,i=1,2, ¼,s,这些方程组都是唯一解,从而AX=B唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A边为单位矩阵,此时B边为解X.(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,转置得X.矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵定义 设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.矩阵可逆性的判别: n阶矩阵A可逆Û|A|¹0. n阶矩阵A和B如果满足AB=E,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.(即 AB=EÛBA=E.)可逆矩阵有以下性质: 如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T. 当c¹0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k. 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1. 如果A可逆,则A在乘法中有消去律: AB=0ÞB=0. BA=0ÞB=0. AB=ACÞB=C. BA=CAÞB=C. 如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边): AB=CÛB=A-1C. BA=CÛB=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B ; (II) XA=B的解X= BA-1.这种解法自然好记,但是计算量必初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 逆矩阵的计算和伴随矩阵逆矩阵的计算有两种方法.初等变换法: A-1是矩阵方程AX=E的解,于是对(A|E)用初等行变换把化为E,则E化为A-1. 伴随矩阵法若A是n阶矩阵,记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为 A11 A21 ¼ An1 A*= A12 A22 ¼ An2 =(Aij)T.¼ ¼ ¼ A1n A2n ¼ Amn 规定伴随矩阵不要求A可逆.但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*= A*A= |A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1= A*/|A|, 或A*=|A| A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵 a b * d -b c d = -c a ,因此当ad-bc¹0时, a b -1 d -b c d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质: 如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*. |A*|=|A|N-1. (A-T)*=(A*)T. (cA)*=c n-1A*. (AB)*= B*A*; (Ak)*= (A*)k. (A*)*=|A|N-2 A.练习题二1.设a=(1,2,3,4)T,b=(1,1/2,1/3/1/4)T, A=abT, 求An . 1 1/2 0 2设A= 2 1 0 ，求An1 1/2 0 1 0 03设a=(1,0,1)T,b=(0,1,1)T,P= 1 1 0 , A= P-1ab TP,求A2003. 0 0 14. 设a=( 1,-1,2)T ,b=(2, 3, 2)T , -1 2 0 A = 0 1 1 ，B=Aab T ,求B5 3 0 -1 5 已知3阶行列式|a,b,g|=3，求|3a-b+2g,-a+b+g,2a+5b-7g|. 6已知 3 0 1 A= 1 1 0 ，AB=A+2B，求B 0 1 4 7 已知 0 1 0 1 -1 A= -1 1 1 ，B= 2 0 ，X=AX+B,求X. -1 0 -1 5 3 8已知 1 -2 0 B= 2 1 0 ，(A- E)B = A，求A. 0 0 2 9已知 1 1 -1 A= -1 1 1 ，A*X= A-1+2X，求X 1 -1 1 10已知 0 1 1 A= 1 0 1 ，A-1BA=6A+BA，求B 0 1 0 11. 1 0 0 设 A = -2 3 0 , B=(A+E)-1(A-E),则(B-E)-1= . 0 -4 512. A是一个3阶矩阵, 3维向量组g1, g2 ,g3线性无关,满足Ag1=g2+g3, Ag2=g1+g3, Ag3=g1+ g2 .求|A|.13. 设 1 0 0 1 0 0A = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11. 0 0 -1 2 1 114. 2 0 0 设 A =(1/2) 0 1 3 ,求(A*)-1. 0 2 515设n阶矩阵A满足A2+3A- 2E=0，证明A可逆，并求A-1和(A+E)-1 2222216.设n阶矩阵A 满足AK=0，(k为一个自然数)，证明E-A可逆.17设n阶矩阵A 满足A2-3A+2E=0， 并且A不是数量矩阵问a为什么数时A-aE可逆？18. 已知n阶矩阵A2=A, (A+B) 2=A2+B 2, 证明 AB=0 19设A，B，C都是n阶可逆矩阵，D=(ABAC)-1，证明BACD=CDAB20设A，B都是n阶矩阵，AB+E可逆证明BA+E也可逆，并且 (BA+E)-1=E-B(AB+E)-1A 21A，B都是n阶矩阵，并且B和E +AB都可逆，证明：B(E +AB)-1B-1= E-B(E + AB)-1A 22.设A,B是两个n阶矩阵，则（ ）是A,B 可交换的充分必要条件.(A) (A+B)3= A3+3A2B +3AB2+B3 .(B) A2与B2可交换.(C) A+B与A-B可交换. (D) (AB)2=A2B2.23设A,B是两个n阶矩阵,满足(AB)2=E,则( )成立.(A) AB=E.(B) |A|B|=1.(C) AB=BA.(D)(BA)2=E .24.设A,B是两个3阶矩阵,|A-1|=2,|B-1|=3,则|A*B-1-A-1B*|=( ).(A)36.(B)1/36.(C)-6.(D) 6.25已知3阶矩阵A满足:2 1 -3 -5 -3 9 A2= 1 1 -2 , A3= -3 -2 6 , 求A. -3 -2 6 9 6 17 26设A,B是两个n阶矩阵,则( )成立.(A) 如果A,B都可逆,则 AB= BA. (B)如果AB是非零数量矩阵,则AB= BA.(C) 如果A*B= BA*,则AB= BA. (D)如果(AB)2= A2B2,则AB= BA.27设a=(-1,-1,2), b=(1,1,0), A=2E+aTb ,B=E+3b Ta ,则AB-BA= . 参考答案 1. 4nA . 2 2 n-1A. 1 1 1 3A2003= A=-1 -1 -1 . 1 1 14. -6 -9 -9 B5=B=Aab T = 2 3 3 2 3 35 -135. 6 5 -2 -2 B= 4 3 2 . -2 2 3 7 3 -1 X= 2 0 . 1 -1 38 1 1/2 0A= -1/2 1 0 . 0 0 19 1 1 0 X=1/4 0 1 1 . 1 0 1 10 2 2 2 B=-3 1 3 2 . 1 1 2 11. (B-E)-1= -(A+E)/2. 12. 2.13. 设 1 0 0 1 0 0A = 0 0 0 , B= 2 -1 0 , X B = B A,求X和X11. 0 0 -1 2 1 114. (A*)-1=-4A.