全等三角形中档题.docx

全等三角形中档题倍长中线造全等 1、已知：如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且 AE=EF，求证：AC=BF AFEBDC 分析：要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故延长AD到G，使DG=AD，连BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。 2、已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF AEFBDC提示：倍长AD至G，连接BG，证明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形 3、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_. ABDC4、在ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A、1<AB<29 B、4<AB<24 C、5<AB<19 D、9<AB<19 5、已知：AD、AE分别是ABC和ABD的中线，且BA=BD， 求证：AE=12AC ABEDC6、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. ABDEC7、已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：C=BAE ABEDC提示：倍长AE至F，连结DF 证明ABEFDE 进而证明ADFADC 8、如图23，ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点， DEDF，交AB于点E，连结EG、EF. 求证：BG=CF 请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。 1 9、如图，AD为DABC的中线，DE平分ÐBDA交AB于E，DF平分ÐADC交AC于F. 求证：BE+CF>EF AEFBDC第 14 题图 方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG 证明BDEGDE DCFDGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2：倍长ED至H，连结CH、FH 证明FH=EF、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边 10、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. AEFBDC11、已知：如图，在DABC中，AB¹AC，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF/BA交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分ÐBAC AFBDEC方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH 截长补短 7.9作业：已知，四边形ABCD中，ABCD，12， 34。求证：BCABCD。 ED A1423 B C 1、如图，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB. 求证：CD=AD+BC. D A ECB证明：在CD上截取CF=BC 在FCE与BCE中， ìïCF=CBíÐFCE=ÐBCEïîCE=CE DFCEBCE, A2=1. 又ADBC， ADC+BCD=180°， 43FDCE+CDE=90°， E22+3=90°，1+4=90°， 13=4. C在FDE与ADE中， B ìïÐFDE=ÐADEíDE=DEïîÐ3=Ð4 FDEADE， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC. 2 2、已知：如图，在ABC中，C2B，12. 求证：AB=AC+CD. A124、如图，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD ABDCEOBDC证明：方法一 延长AC到E，使DC=CE，则CDECED， ACB2E， ACB2B， ABE， 12在ABD与AED中, ìÐ1=Ð2ïíÐB=ÐEïAD=ADî ABDAED, AB=AE. 又AE=AC+CE=AC+DC， AB=AC+DC. 方法二 AB上截取AF=AC， 在AFD与ACD中, BDCEB5、已知DABC中，ÐA=60，BD、CE分别平分ÐABC和.ÐACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 AE DO C 06、如图，已知在ABC内，ÐBAC=60，ÐC=40，0P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是ÐBAC，A12FìAF=ACïíÐ1=Ð2ïAD=ADî ÐABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP ABDCBQPAFDACD, DF=DC，AFDACD. 又ACB2B， FDBB， FD=FB. AB=AF+FB=AC+FD， AB=AC+CD. 3、如图，在ABC中，BAC=60°， AD是BAC的平分线，且AC=AB+BD，求ABC 的度数 AC7、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC A1P2BDCBDC3 8、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作ÐDMN=60°，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? D N AMBE角平分线上的点向角两边引垂线段 1、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD， 求证：BAD+C=180° ADBC2、如图，四边形ABCD中，AC平分BAD， CEAB于E，AD+AB=2AE，则B与ADC互补. 为什么？ D C A E B 3、如图4，在ABC中，BD=CD，ABD=ACD,求证AD平分BAC. A D B C 4、如图，在ABC中，ABC=100°，ACB=20°，CE平分ACB，D是AC上一点，若CBD=20°，求ADE的度数. 7.5作业：已知，ABAD，12，CDBC。 求证：ADCB180°。 A12DBC图九7.6作业：如图，在ABC中ABC,ACB的外角平分线交P.求证:AP是BAC的角平分线 AB3C412P7.6作业：如图,图十一B=C=90°,AM平分DAB,DM平分ADC求证:点M为BC的中点 4 连接法 7.9作业：已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AEAF。 D E A CF B 1、如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC求证：CO=DO CDOAB2、已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AFCD求证：B=E ABECFD3、如图 11-30，已知ABAE，BE，BCED，点F是CD的中点.求证：AFCD. ABECFD4、在正DABC内取一点D，使DA=DB，在DABC外取一点E，使ÐDBE=ÐDBC，且BE=BA，求ÐBED. A E D BC5、如图所示，BD=DC,DEBC,交BAC的平分线于E，EMAB,ENAC,求证：BM=CN A M B D C N E 6、如图，在ABD和ACD中，证： AB=AC，B=C求ABDACD ABCD全等+角平分线性质 1、如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求证：EB=FC 2、已知：如图所示，BD为ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PMAD于M，PNCD于N，判断PM与PN的关系 AMDPNCB5 全等+等腰性质 1、如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O. 求证：(1) ABCAED； (2) OBOE . A DC O BE2、.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC 求证：OAOD 两次全等 7.4作业：AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF ADBCF1、如图，D、E、F、B在一条直线上AB=CD, B=D，BF=DE. 求证：AE=CF; AECF AFE=CEF A B E F D C 2、如图：A、E、F、B四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD。 求证：ACFBDE DAFEBC 3、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 DA1532E64CB4、已知如图，E、F在BD上，且ABCD，BFDE，AECF 求证：AC与BD互相平分 A B O F D E C 由BFDF，得BEDF ABECDF，BD 再证AOBCOD，得OAOC，OBOD 即AC、BD互相平分 5、如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=90°DEAC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.求证：BG=FG A D F B G C E 6 直角三角形全等 作业：如图，在等腰RtABC中，C90°，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G 求证：BDCG 1、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程 解：全等三角形为：ACDCBE 证明如下： 由题意知CAD+ACD=90°， ACD+BCE=90°， CAD=BCE 在ACD与CBE中， ADC=CEB=90° CAD=BCE AC=BC ， ACDCBE 2、如图，ABC90°，ABBC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F 求证：EFCFAE A E D F B C 证ABEBCF，得BECF，AEBF， EFBEBFCFAE 3、在ABC中，ÐACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证： DADCDCEB；DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 4、如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。 求证：AM=AN；AMAN。 NA43FE1M2BC 作平行线 1、已知ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G求证：EG=GF AEBGCF2、如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于点E 求证：CD=12BE A D 1 3 5 B 2 4 F E C 7 证明：过点D作DFAB交BC于点F BD平分ABC，1=2 DFAB，1=3，4=ABC 2=3，DF=BF DEBD，2+DEF=90º，3+5=90º DEF=5DF=EF AB=AC，ABC=C 4=C，CD=DF CD=EF=BF，即CD=12BE 延长角平分线的垂线段 1、如图，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E 求证：ACE=B+ECD AFEDCB分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形 证明：延长CE交AB于点F AD平分BAC， FAE=CAE CEAD， FEA=CEA=90º 在FEA和CEA中， FAE=CAE， AE=AE， FEA=CEA FEACEA ACE=AFE AFE=B+ECD， ACE=B+ECD 2、如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F 求证：BD=2CE FAEDBC3、如图：BAC=90°，CEBE，AB=AC ，BD是ABC的平分线，求证：BD=2EC AEDBC4、已知，如图34，ABC中，ABC=90º， AB=BC，AE是A的平分线，CDAE于D 求证：CD=12AE ACEBD面积法 例1 如图1，在ABC中，BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC. 8 分析：根据已知可知AD是BAC的平分线，可通过点D作BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明. 证明： 过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F. 因为DA为BAC的平分线，所以DE=DF. 又因为AD平分BC，所以BD=CD， 所以SABD=SACD， 又SABD=12AB·DE，S1ACD=2AC·DF， 所以AB·DE=AC·DF， 所以AB=AC. 2、如图所示,已知D是等腰ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CMAB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明. AMFEBDC 3、己知，ABC中，AB=AC，CDAB，垂足为D，P是BC上任一点，PEAB，PFAC垂足分别为E、F， 求证： PE+PF=CD. PE P F=CD. A D E G F B P C A E D G B C P F 旋转型 1、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。 求证： BCGDCE BHDE A D G H F B C E 2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC 请找出图2中的全等三角形，并给予证明； 证明：DCBE D A B C E 图1 图2 3、如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小； C B E D O A 图7 如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转，求AEB的大小. B C E O A D 图8 9 4、如图，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E， 求证：BD=CE；BDCE 证明：AEAB，ADAC BAE=CAD Þ BAD=CAE而AB=AE，B=E， ABDAECBD=CE 由ABDAEC知B=E 而AGB=EGF，EFG=EAB=90°，BDCE 5、如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。 求证： EC=BF；ECBF F E A M B C 6、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. ADFBEC7、D为等腰RtDABC斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 当ÐMDN绕点D转动时，求证DE=DF。 若AB=2，求四边形DECF的面积。 B AE MCFAN8、如图，DABC是边长为3的等边三角形，DBDC是等腰三角形，且ÐBDC=1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求DAMN的周长。 ANMBCD9、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求证：AD平分CDE ABECDAFBECD10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90°，求五边形ABCDE的面积 10