全等三角形证明经典50题(1).docx

全等三角形证明经典50题全等三角形证明经典50题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A B D C 解：延长AD到E,使AD=DE D是BC中点 BD=DC 在ACD和BDE中 AD=DE BDE=ADC BD=DC ACDBDE AC=BE=2 在ABE中 AB-BEAEAB+BE AB=4 即4-22AD4+2 1AD3 AD=2 2. 已知：D是AB中点，ACB=90°，求证：CD=A 1AB 2D C B 延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP DP=DC,DA=DB ACBP为平行四边形 又ACB=90 平行四边形ACBP为矩形 AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点，求证：1=2 A 1 2 B E C F D 证明：连接BF和EF BC=ED,CF=DF,BCF=EDF 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) BF=EF,CBF=DEF 连接BE 在三角形BEF中,BF=EF EBF=BEF。 ABC=AED。 ABE=AEB。 AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF, ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF 三角形ABF和三角形AEF全等。 BAF=EAF (1=2)。 4. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC A 1 2 F C D E B 过C作CGEF交AD的延长线于点G CGEF，可得，EFDCGD DEDC FDEGDC EFDCGD EFCG CGDEFD 又，EFAB ，EFD1 1=2 CGD2 AGC为等腰三角形， ACCG 又 EFCG EFAC 5. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2C A 证明：延长AB取点E，使AEAC，连接DE AD平分BAC EADCAD AEAC，ADAD AEDACD EC ACAB+BD AEAB+BD AEAB+BE BDBE BDEE ABCE+BDE ABC2E ABC2C 6. 已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE上取F，使EFEB，连接CF CEAB CEBCEF90° EBEF，CECE， CEBCEF BCFE BD180°，CFECFA180° DCFA AC平分BAD DACFAC ACAC ADCAFC ADAF AEAFFEADBE 7. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD A B D C 解：延长AD到E,使AD=DE D是BC中点 BD=DC 在ACD和BDE中 AD=DE BDE=ADC BD=DC ACDBDE AC=BE=2 在ABE中 AB-BEAEAB+BE AB=4 即4-22AD4+2 1AD3 AD=2 8. 已知：D是AB中点，ACB=90°，求证：CD=A 1AB 2D C B 解：延长AD到E,使AD=DE D是BC中点 BD=DC 在ACD和BDE中 AD=DE BDE=ADC BD=DC ACDBDE AC=BE=2 在ABE中 AB-BEAEAB+BE AB=4 即4-22AD4+2 1AD3 AD=2 9. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点，求证：1=2 A 1 2 B E C F D 证明：连接BF和EF。 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。 BF=EF,CBF=DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 EBF=BEF。 又 ABC=AED。 ABE=AEB。 AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF, ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。 三角形ABF和三角形AEF全等。 BAF=EAF (1=2)。 10. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC A 1 2 F C D E B 过C作CGEF交AD的延长线于点G CGEF，可得，EFDCGD DEDC FDEGDC EFDCGD EFCG CGDEFD 又EFAB EFD1 1=2 CGD2 AGC为等腰三角形， ACCG 又 EFCG EFAC 11. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2C A B D C 证明：延长AB取点E，使AEAC，连接DE AD平分BAC EADCAD AEAC，ADAD AEDACD EC ACAB+BD AEAB+BD AEAB+BE BDBE BDEE ABCE+BDE ABC2E ABC2C 12. 已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求证：AE=AD+BE 在AE上取F，使EFEB，连接CF CEAB CEBCEF90° EBEF，CECE， CEBCEF BCFE BD180°，CFECFA180° DCFA AC平分BAD DACFAC 又ACAC ADCAFC ADAF AEAFFEADBE 12. 如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 在BC上截取BF=AB，连接EF BE平分ABC ABE=FBE 又BE=BE ABEFBE A=BFE AB/CD A+D=180º BFE+CFE=180º D=CFE 又DCE=FCE CE平分BCD CE=CE DCEFCE CD=CF BC=BF+CF=AB+CD 13.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求证：F=C E D C F A B ABED，得：EAB+AED=BDE+ABD=180度， EAB=BDE， AED=ABD， 四边形ABDE是平行四边形。 得：AE=BD， AF=CD,EF=BC， 三角形AEF全等于三角形DBC， F=C。 14. 已知：AB=CD，A=D，求证：B=C A D B C 证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，。则： AED是等腰三角形。 AE=DE 而AB=CD BE=CE (等量加等量，或等量减等量） BEC是等腰三角形 B=C. 15. P是BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB C A P B D 在AC上取点E， 使AEAB。 AEAB APAP EAPBAE， EAPBAP PEPB。 PCECPE PCPB PCPBACAB。 16. 已知ABC=3C，1=2，BEAE，求证：AC-AB=2BE 证明： 在AC上取一点D，使得角DBC=角C ABC=3C ABD=ABC-DBC=3C-C=2C； ADB=C+DBC=2C; AB=AD AC AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线， AE垂直BD BEAE 点E一定在直线BD上， 在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD 点E也是BD的中点 BD=2BE BD=CD=AC-AB AC-AB=2BE 17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC D C B F A E 作AGBD交DE延长线于G AGE全等BDE AG=BD=5 AGFCDF AF=AG=5 DC=CF=2 18如图，在ABC中，BD=DC，1=2，求证：ADBC 解：延长AD至BC于点E, BD=DC BDC是等腰三角形 DBC=DCB 又1=2 DBC+1=DCB+2 即ABC=ACB ABC是等腰三角形 AB=AC 在ABD和ACD中 AB=AC 1=2 BD=DC ABD和ACD是全等三角形 BAD=CAD AE是ABC的中垂线 AEBC ADBC 19如图，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B为垂足，AB交OM于点N 求证：OAB=OBA 证明： OM平分POQ POMQOM MAOP，MBOQ MAOMBO90 OMOM AOMBOM OAOB ONON AONBON OAB=OBA，ONA=ONB ONA+ONB180 ONAONB90 OMAB 20如图，已知ADBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D求证：AD+BC=AB P CE D做BE的延长线，与AP相交于F点， PA/BC BAPAB+CBA=180°，又，AE，BE均为PAB和CBA的角平分线 EAB+EBA=90°AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AEBF，且AE为FAB的角平分线 三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中， EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB， 三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC 21如图，ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：C=2B A CDB延长AC到E 使AE=AC 连接 ED AB=AC+CD CD=CE 可得B=E CDE为等腰 ACB=2B 22如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M 求证：MB=MD，ME=MF 当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 连接BE，DF DEAC于E，BFAC于F， DEC=BFA=90°，DEBF， 在RtDEC和RtBFA中， AF=CE，AB=CD， RtDECRtBFA， DE=BF 四边形BEDF是平行四边形 MB=MD，ME=MF； 连接BE，DF DEAC于E，BFAC于F， DEC=BFA=90°，DEBF， 在RtDEC和RtBFA中， AF=CE，AB=CD， RtDECRtBFA， DE=BF 四边形BEDF是平行四边形 MB=MD，ME=MF 23已知：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点， 求证：AEDEBC 观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形： A D O C证明： DCAB CDEAED DEDE，DCAE AEDEDC E为AB中点 AEBE BEDC DCAB DCEBEC CECE EBCEDC AEDEBC 24如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F 求证：BD=2CE F AEBED 证明： BCCEB=CAB=90° ABCE四点共元 AB E=CB E AE=CE ECA=EAC 取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG GAB=ABG 而：ECA=GBA (同弧上的圆周角相等） ECA=EAC=GBA=GAB 而：AC=AB AECAGB EC=BG=DG BE=2CE 25、如图：DF=CE，AD=BC，D=C。求证：AEDBFC。 DEFCAB证明：DF=CE， DF-EF=CE-EF， 即DE=CF， 在AED和BFC中， AD=BC， D=C ，DE=CF AEDBFC 26、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF。 求证：AM是ABC的中线。 AFBEMC证明： BECF E=CFM，EBM=FCM BE=CF BEMCFM BM=CM AM是ABC的中线. 27、如图：在ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BDAC。 ADBCABD和BCD的三条边都相等 ABD=BCD ADB=CD ADB=CDB=90° BDAC 28、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF ADBCF在ABD与ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD ABDACD ADB=ADC BDF=FDC 在BDF与FDC中 BD=DC BDF=FDC DF=DF FBDFCD BF=FC 29、如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。 AFBECDAB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ABE=CDF DCB=ABF AB=DC BF=CE ABF=CDE AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BECF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上. 证明：连接EF ABCD B=C M是BC中点 BM=CM 在BEM和CFM中 BE=CF B=C BM=CM BEMCFM CF=BE 31已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF求证：ABECDF AF=CE,FE=EF. AE=CF. DF/BE, AEB=CFD BE=DF ：ABECDF 32.已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： D E A CF B 连接BD； AB=AD BC=D ADB=ABD CDB=ABD;两角相加，ADC=ABC； BC=DC EF是中点 DE=BF； AB=AD DE=BF ADC=ABC AE=AF。 AEAF。 33如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 DA125E6B34C 证明： 在ADC，ABC中 AC=AC，BAC=DAC，BCA=DCA ADCABC AB=AD，BC=CD 在DEC与BEC中 BCA=DCA，CE=CE，BC=CD DECBEC DEC=BEC 34已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF AD=DF AC=DF AB/DE A=EDF 又BC/EF F=BCA ABCDEF 35已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD C F E 证明： A D BDAC BDC=90° CEAB BEC=90° BDC=BEC=90° AB=AC DCB=EBC BC=BC RtBDCRtBEC AE=AF 在AEO与AFO中 EAO=FAO AO=AO AE=AF AEOAFO AOE=AOF=90° ADEF 37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的长？ A D E B ADAB BAC=ADE C 又ACBC于C，DEAC于E 根据三角形角度之和等于180度 ABC=DAE BC=AE，ABCDAE AD=AB=5 38如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC AEBMFC 证明： AB=AC B=C MEAB，MFAC BEM=CFM=90° 在BME和CMF中 B=C BEM=CFM=90° ME=MF BMECMF MB=MC 39.如图，给出五个等量关系：AD=BC AC=BD CE=DE ÐD=ÐC ÐDAB=ÐCBA请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论，并加以证明 已知：AD=BC，DAB=CBA 求证：DABCBA 证明：AD=BC，DAB=CBA 又AB=AB DABCBA 40在ABC中，ÐACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，求证： DADCDCEB；BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. ADC=ACB=BEC=90°， CAD+ACD=90°，BCE+CBE=90°，ACD+BCE=90° CAD=BCE AC=BC， ADCCEB ADCCEB， CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE ADC=CEB=ACB=90°， ACD=CBE 又AC=BC， ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CECD=ADBE 41如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：EC=BF；ECBF F E A M B C AEAB，AFAC， BAE=CAF=90°， BAE+BAC=CAF+BAC， 即EAC=BAF， 在ABF和AEC中， AE=AB，EAC=BAF，AF=AC， ABFAEC， EC=BF； 如图，根据，ABFAEC， AEC=ABF， AEAB， BAE=90°， AEC+ADE=90°， ADE=BDM， ABF+BDM=90°， 在BDM中，BMD=180°-ABF-BDM=180°-90°=90°， ECBF 42如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：AM=AN；AMAN。 NA4FE1BM2C3证明： BEAC，CFAB ABM+BAC=90°，ACN+BAC=90° ABM=ACN BM=AC，CN=AB ABMNAC AM=AN ABMNAC BAM=N N+BAN=90° BAM+BAN=90° 即MAN=90° AMAN 43如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF 在ABF和CDE中 ,AB=DE A=D AF=CD ABFCDE FB=CE 在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF 四边形BCEF是平行四边形 BCEF 44如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 在AB上取点N ,使得AN=AC CAE=EAN AE为公共, CAEEAN ANE=ACE 又AC平行BD ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180 ENB=BDE NBE=EBN BE为公共边 EBNEBD BD=BN AB=AN+BN=AC+BD 45、 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF 证明： AD是ABC的中线 BD=CD DF=DE BDE=FDC BDEFDC 则EBD=FCD BECF。 46、(10分)已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，DE=BF 求证：ABCD D F E A B C 证明： DEAC，BFAC CED=AFB=90º 又AB=CD，BF=DE RtABFRtCDE AF=CE BAF=DCE AB/CD 47、(10分)如图，已知1=2，3=4，求证：AB=CD AD.1324CB,3=4 OB=OC 在AOB和DOC中 1=2 OB=OC AOB=DOC AOBDOC AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在ACB和DBC中 AC=DB ,3=4 BC=CB ACBDBC AB=CD 48、 (10分)如图，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论. C D A B E CE>DE。当AEB越小，则DE越小。 证明： 过D作AE平行线与AC交于F，连接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且DFB为等腰三角形。 RTBAE中，AEB为锐角，即AEB<90° DF/AE FDB=AEB<90° DFB中 DFB=DBF=(180°-FDB)/2>45° RTAFB中，FBA=90°-DBF <45° AFB=90°-FBA>45° AB>AF AB=CE AF=DE CE>DE 49、 (10分)如图，已知ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE. A D AB=DC,AC=DB，BC=BC ABCDCB， B E C ABC=DCB 又BE=CE，AB=DC ABEDCE AE=DE 50如图9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE C F A 图9 E D B 作CGAB,交AD于H, 则ACH=45º,BCH=45º CAH=90º-CDA, BCE=90º-CDA CAH=BCE 又AC=CB, ACH=B=45º ACHCBE, CH=BE 又DCH=B=45º, CD=DB CFDBED ADC=BDE