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全国联赛第一讲集合集合 第一讲： 集 合 集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1集合的概念 集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征： 确定性 设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即aA与aÏA仅有一种情况成立。 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素. 无序性 2集合的表示方法 主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：N,Z,Q,R应熟 记。 3实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。 4子集、真子集及相等集 AÍBÛAÌB或AB； AÌBÛAÍB且AB； ABÛAÍB且AÊB。 5一个n阶集合有2个不同的子集，其中有21个非空子集，也有21个真子集。 6集合的交、并、补运算 nnnAIB=x|xÎA且xÎB AUB=x|xÎA或xÎB A=x|xÎI且xÏA 要掌握有关集合的几个运算律： 交换律 AUBBUA，AIBBIA； 结合律AUUC， AI(AIB)IC； 分配律 AUI AI (AIB) U 01律 AUfA，AIIA AUII，AIff 等幂律 AUAA，AIAA 吸收律 AU(AIB)A，AIA 求补律 AUAI，AIAf 第1页 集合 反演律 AUB=AIB,AIB=AUB 7有限集合所含元素个数的几个简单性质 设n(X)表示集合X所含元素的个数 n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AIB) 当n(AIB)=f时，n(AUB)=n(A)+n(B) n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C) n(AIB)-n(AIC)-n(BIC)+n(AIBIC) 8映射、一一映射、逆映射 映射 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的 任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：AB。上述映射定义中的A、B，可以是点集，数集，也可以是其他集合。 和A中元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的。 一一映射 设A、B是两个集合，f：AB是从集合A到集合B的映 射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。 逆映射 设f：AB是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中的 每一个元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样所得映射叫做映射 f：AB的逆映射，记作f-1：BA。 注意：只有一一映射，才有逆映射。 要能够根据这三个概念的定义，准确地判断一个给定的对应是不是映射，是不是一一映射，并能求出一一映射的逆映射。 解题指导 元素与集合的关系 221设Aa|ax-y,x,yÎZ，求证：2k-1A(kÎZ)； 4k-2ÏA (kÎZ) 分析：如果集合Aa|a具有性质p，那么判断对象a是否是集合A的元素的基本方法就是检验a是否具有性质p。 22解：k,k-1Z且2k-1k-(k-1),故2k-1A； 第2页 集合 假设4k-2ÎA (kÎZ)，则存在x,yÎZ，使4k-2x2-y2 即(x-y)(x+y)=2(2k-1) (*) 由于x-y与x+y具有相同的奇偶性，所以式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，式右边只能被4除余2的数，故式不能成立。由此，4k-2ÏA (kÎZ)。 2设集合A。已知x,yÎN，xy,x3+19y=y3+19x,判断 alog1(x+y)与集合A的关系。 2分析：解决本题的关键在于由已知条件确定x+y的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定alog1(x+y)的范围。 2解：因为x3-y3=19(x-y)且x,yÎN，xy，所以 x2+xx2+xy+y2=19<3x2 由此及xÎN得x=3,从而y=2. 所以3alog1(3+2)=log15=-2,即aA。 223以某些整数为元素的集合P具有下列性质：P中的元素有正数，有负数； P中的元素有奇数,有偶数；1ÏP；若x，yP,则xyP试判断实数0和2与集合P的关系。 解：由若x，yP,则xyP可知，若xP，则kxÎP (kÎN) 由可设x，yP，且x0，y0，则yx|y|x (|y|N) 故xy,yxP,由,0(yx)+xyP。 2ÏP。若2P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当P时，12kP，与矛盾。于是，由知P中必有正奇数。设-2m,2n-1ÎP (m,nÎN)，我们取适当正整数q，使 q×|-2m|>2n-1，则负奇数-2qm+(2n-1)ÎP。前后矛盾。 4设S为满足下列条件的有理数的集合：若aS，bS，则a+bS， abÎS；对任一个有理数r，三个关系rS，rS，r0有且仅有一个成立。证明：S是由全体正有理数组成的集合。 证明：设任意的rQ，r0,由知rS，或rS之一成立。再由，若S，则rÎS；若2rS，则r=(-r)×(-r)ÎS。总之，rÎS。 2r2取r=1，则1S。再由，2=1+1S，3=1+2S，可知全体正整数都属于S。 第3页 集合 设p,qÎS，由pqÎS，又由前证知p11，所以S。因此，S含有全体正有理ÎS=pq×22qqq数。 再由知，0及全体负有理数不属于S。即S是由全体正有理数组成的集合。 两个集合之间的关系 在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。 5设函数f(x)=x2+ax+b (a,bÎR)，集合A=x|x=f(x),xÎR， B=x|x=ff(x),xÎR。 证明：AÍB； 当A=-1,3时，求B。 当A只有一个元素时，求证：A=B 解：设任意x0A，则x0f(x0).而ff(x0)=f(x0)=x0 故x0B,所以AÍB. 因A=-1,3，所以 ì(-1)2+a×(-1)+b=-1 解得a=-1,b=-3 í2î3+a×3+b=3 故 f(x)=x2-x-3。由x=ff(x)得 (x2-x-3)2-(x2-x-3)-x-3=0 解得 x=-1, 3, ±3 B-1,3,-3,3。 6S1,S2,S3为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列i,j,k，若xÎSi,yÎSj，则x-yÎSk 证明：三个集合中至少有两个相等。 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？ 证明：若xÎSi,yÎSj，则 y-xÎSk,(y-x)-y=-xÎSi 所以每个集合中均有非负元素。 当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。 否则，设S1,S2,S3中的最小正元素为a，不妨设aÎS1，设b为S2,S3中最小的非负元素，不妨设第4页 集合 bÎS2,则baS3。 若b0,则0bab，与b的取法矛盾。所以b=0。 任取xÎS1,因0S2,故x0xS3。所以S1ÍS3，同理S3ÍS1。 所以S1=S3。 可能。例如S1=S2=奇数，S3=偶数显然满足条件，S1和S2与S3都无公共元素。 7已知集合： A=(x,y)|ax+y=1,B=(x,y)|x+ay=1,C=(x,y)|x2+y2=1问 当a取何值时，(AUB)IC为含有两个元素的集合？ 当a取何值时，(AUB)IC为含有三个元素的集合？ 解：(AUB)IC=(AIC)U(BIC)。AIC与BIC分别为方程组 íìax+y=1ìx+ay=1 íx2+y2=1 22x+y=1îî2a1-a2的解集。由解得=；由解得 221+a1+a2a1-a2=， 1+a21+a2使(AUB)IC恰有两个元素的情况只有两种可能： ì2aì2a=0=1ïïï1+a2ï1+a2í í 221-a1-aïï=1=02ïïî1+aî1+a2由解得a=0；由解得a=1。 故a=0或1时，(AUB)IC恰有两个元素。 2a1-a2使(AUB)IC恰有三个元素的情况是：= 1+a21+a2解得a=-1±2，故当a=-1±2时，(AUB)IC恰有三个元素。 8 设nÎN且n15，A,B都是1，2，3，n真子集，AIB=f，且 AUB=1，2，3，n。证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。 第5页 集合 证明：由题设，1，2，3，n的任何元素必属于且只属于它的真子集A,B之一。 假设结论不真，则存在如题设的1，2，3，n的真子集A,B，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。 2 不妨设1A，则3ÏA，否则1+3=2，与假设矛盾，所以3B。同样6ÏB，所以6A，这时210ÏA，即10B。因n15，而15或者在A中，或者在B中，但当15A时，因1A，1+15=4，矛盾；当15B时，因10B，于是有10+15=5，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。 2 第6页