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免积分人教五年级下册数学知识点总结+习题练习 第一部分 知 识 梳 理 一、因数和倍数 1、如果a×bc，那么我们就说a和b是c的因数，c是a和b的倍数。因数和倍数是相互依存的。例如：3×824，3和8是24的因数，24是3和8的倍数。 2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 4、一个非零的自然数，既是它本身的倍数，又是它本身的因数。 5、找因数的方法： 列乘法算式： 例如：要写出18的所有因数，方法如下： 1×1818 2× 918 3× 618 1 / 25 所以，18的因数有：1、2、3、6、9、18共6个。 列除法算式： 例如：要写出24的所有因数，方法如下： 24÷124 24÷212 24÷3 8 24÷4 6 24÷54.8 所以，24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24共8个。 6、找倍数的方法： 用这个数分别乘1、2、3、4、5直到所乘的积接近所规定的限制范围为止，所乘得的积就是这个数的倍数。 例如：写出30以内4的倍数。 4×1 4 2 / 25 4×2 8 4×312 4×416 4×520 4×624 4×728 所以，30以内4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28。 二、2、5、3的倍数的特征 1、个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 2、个位上是0或5的数都是5的倍数。 3、一个数各个数位上的数相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4、 同时是2、5的倍数的数末尾必须是0。最小的两位数是10，最大的两位数是90。 同时是2、5、3的倍数的数末尾必须是0，而且各个数位上的数相加的和是3的倍数。最小的两位数是30，最大的两位数是90。 3 / 25 三、奇数和偶数 1、自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，偶数也叫双数。 如：0、2、4、6、8、10、12、14、16都是偶数。 2、自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，奇数也叫单数。 如：1、3、5、7、9、11、13、15都是奇数。 第三部分 知 识 梳 理 一、质数和合数 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。质数也叫素数。 例如：2，3，5，7，11都是质数。最小的质数是2。 2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 例如：4，6，8，9，10，12都是合数。最小的合数是4。 3、1既不是质数，也不是合数。 4 / 25 4、按因数个数的多少给自然数分类，可以分三类：质数、合数和1。 5、100以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。 6、质数中只有2是偶数，其它质数都是奇数。但奇数不完全是质数。如：9和15是奇数，却是合数。 7、除2外，所有的偶数都是合数，但合数不完全是偶数。如：45和51是合数，但不是偶数。 二、分解质因数 1、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。 例如：302×3×5，其中2，3，5本身是质数，又是30的因数，所以都是30的质因数。 2、把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。 例如：242×2×2×3叫做把24分解质因数。 3、只有合数才能分解质因数。分解质因数常用短除法。 5 / 25 三、互质数 1、只有公因数1的两个数叫做互质数。如：3和7的公因数只有1，3和7是互质数；6和13的公因数只有1，6和13是互质数。 2、两个数互质的几种情况： 两个不同的质数互质。如：11和19互质。 相邻的两个自然数互质。如：8和9互质。 1和任何一个自然数互质。如：1和18互质。 相邻的两个奇数互质。如：13和15互质。 一个质数和一个合数互质。如：11和15互质。 两个合数也可以互质。如：14和15互质。 第四部分 知 识 梳 理 一、公因数和最大公因数 1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个因数叫做它们的 6 / 25 最大公因数。 例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12。 30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。 12和30的公因数有：1，2，3，6，其中6是12和30的最大公因数。 2、求最大公因数的一般方法： 分解质因数：把各个数分别分解质因数，公有质因数的乘积，就是这几个数的最大公因数。 例如：求18和24的最大公因数。 182×3×3 242×2×2×3 18和24都含有质因数2和3，所以它们的最大公因数是2×36。 短除法：把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，然后把所有除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。 例如：求36，24，42的最大公因数。 7 / 25 2 36 24 42 3 18 12 21 6 4 7 此时4与7互质，这三个数的公因数只有1，停止短除。 36，24，42的最大公因数是2×36。 3、求两个数最大公因数的特殊情况： 当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。 互质的两个数最大公因数是1。 第五部分 知 识 梳 理 一、公倍数和最小公倍数 1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 例如：8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，72， 8 / 25 12的倍数有：12、24、36、48、60、72， 8和12的公倍数有：24，48，72， 其中24是8和12的最小公倍数。 2、求最小公倍数的一般方法： 分解质因数：先把每个数分解质因数，再把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，积就是它们的最小公倍数。例如：求12和30的最小公倍数。 122×2×3 302×3×5 12和30公有的质因数有2和3，独有的质因数有2和5。 所以12和30的最小公倍数是2×3×2×560。 短除法：用这几个数公有的质因数作除数，连续去除这几个数，直到得出的商两两互质为止，然后把所有的除数和商边乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。 例如：求8，12，18的最小公倍数。 2 8 12 18 9 / 25 2 4 6 9 3 2 3 9 2 1 3 此时，2，1，3这三个数两两互质了，除到此为止。 8，12，18的最小公倍数是：2×2×3×2×1×372， 也可以写为8，12，1872 3、求两个数最小公倍数的特殊情况： 当两个数成倍数关系时，较大数就是这两个数的最小公倍数。 当两个数是互质数时，这两个数的积就是它们的最小公倍数。 第六部分 知 识 梳 理 一、分数的意义 1、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 例如：1134 的意义表示把单位“1”平均分成4份，表示这样的一份，叫做4310 10 / 25 10 。 千克的意义表示把1千克平均分成10份，表示这样的3份，或把3千克平均分成10份，表示这样的1份是 千克。 2、分数是由分子、分数线、分母三部分组成的。分数线表示平均分，分母表示把单位“1”平均分成多少份，分子表示有这样的几份。 3、把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。 例如： 的分数单位是 ； 的分数单位是 。 4、一个分数的分母越小，分数单位越大；分母越大，分数单位越小。 3131 读作：七分之三；是把单位“1”平均分成7份，表示其中3份的数；分数单7777位是 ， 含有3个 。 二、分数与除法 1、分数可以看作两个数相除，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数被除数线相当于除号，分数值相当于商。 除数34154818ab被除数÷除数 ，用字母表示：a÷b 11 / 25 除法算式中除数不能是0，在分数中分母也不能为0。 3例如： 可以理解为把单位“1”平均分成8份，表示其中3份的数；也可以理8解为把3平均分成8份，表示这样的一份的数。 2、一个分数的分子除以分母所得的商是这个分数的分数值。 33 例如： 3÷40.75，0.75就是分数 的分数值。 443、求一个数是另一个数的几分之几的解题方法： 一个数一个数÷另一个数 ，得到的商表示的是两个数的关系，没有单位另一个数名称。 三、分数的分类 1、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。如： ， ， 。 2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。如： ， ， 。 3、带分数：由整数和真分数合成的分数叫做带分数。 116如： 可以写成 3 。 55四、分数的转化方法 12 / 25 3551389738341151、整数化成假分数：用指定的分母做分母，用整数与分母的积做分子。 2、假分数化成整数或带分数的方法： 用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数。 如： 16÷44 用分子除以分母，分子不是分母的倍数时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。 133 如： 13÷52 551643、带分数化成假分数：用原分母做分母，用分母与整数的乘积再加是原来的分子做分子。 例如：8 第七部分 知 识 梳 理 一、分数的基本性质 1、分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数，分数的大小不变，这就278´7+27587141´24´228 13 / 25 是分数的基本性质。 例如： 24 24¸ 12 2 3636¸1232、利用分数的基本性质应明确以下要点： 分数的大小不变。 分子、分母进行同一种运算，只能是乘或除。 分子、分母乘或除以的是相同的数，而且必须是同时运算。 分子、分母乘或除以的数不能是0。 3、利用分数的基本性质，可以把不同分母的分数化成同分母分数，也可以把一个分数化为指定分母的分数。 例如：把和 化成分母是12而大小不变的分数。 2 10 3248510¸222´410 3 24 24 ¸ 2 12 3´412二、约分 14 / 25 34791、分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。例如： ， 是最简分数。 2、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 3、约分的方法：用分子和分母的公因数去除分子、分母。通常要除到1818¸63得出最简分数为止。 2424¸64 例如： 4、约分的技巧： 当分数的分母是分子的倍数时，约分时分母和分子同时除以分子，约分后分子是1。 当分数的分母和分子都是整十、整百数时，约分时可以先划去分子、分母末尾同样多的0后再约分。 当分数的分子和分母都是偶数时，可以先用2去除。 互质的两个数所组成的分数一定是最简分数。 如果遇到带分数约分时，只把它的分数部分约分，但约分后千万别丢掉它的整数部分。 15 / 25 5、特殊分数的约分： 分母是分子的整数倍，约分后是几分之一。 分子、分母末尾有0的，先划去同样多的0，再约分。 对于假分数，可以把假分数约分后，再化成带分数；也可以先把假分数化成带分数，再约分。但注意不要漏写整数部分的数。 第八部分 知 识 梳 理 一、通分 1、公分母：把异分母分数化成同分母分数，这个相同的分母叫做它们的公分母，最小的一个叫做最小公分母。 2、通分的意义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 3、通分的方法：先求出几个分数分母的最小公倍数，用它作为这几个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 723例如：把 和 通分。先求出3，5，10的最小公倍数是30。 3 5 ， 1077´32122´102033´618 16 / 25 1010´3303055´63033´10 4、通分时的几种情况： 几个分数的分母互质时，分母的乘积就是公分母。 31 例如：把 4 和 通分，3与4互质，因此公分母是3×412。 3几个分数的分母间成倍数关系时，其中较大的分母就是公分母。 512 例如：把 和 通分，6是2，3的倍数，因此公分母就是6。 62 3 ，几个分数的分母间没有倍数关系，除了公因数1外，还有其他公因数，此时，137分母的最小公倍数就是公分母。 2418例如：把 和 通分，24和18的最小公倍数是72，因此72就是公分母。 5、约分与通分的相同点和不同点： 相同点：都是依据分数的基本性质，都要保持分数的大小不变。 不同点： 约分只对一个分数进行，而通分至少对两个分数进行。 约分是分子和分母同时除以一个相同的非零的数，而通分是分子和分母同时乘一个相同的非零的数。 17 / 25 约分的结果是最简分数，通分的结果是同分母分数。 二、分数大小的比较 1、分母相同的两个分数，分子大的分数比较大。 2、分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。 3、分子、分母都不相同的分数，可以先把这几个分数通分，化成分母相同的分数，再进行比较；也可以把这几个分数转化成同分子的分数，再比较大小。 三、分数和小数的互化 1、小数化分数：原来有几位小数，就在1后面写几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，化成分数后，能约分的要约分。 934251721例如：0.910 0.03 0.425 1.211 100 100040 1002、分数化小数： 分母是10，100，1000，的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母1后面有几个零，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。 34967例如： 0.67 2 2.049 10 0.3 1000100分母不是10，100，1000，的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，34725 18 / 25 29按“四舍五入”法保留几位小数。 例如： 3÷40.75 7÷250.28 2÷90.22 第九部分 知 识 梳 理 一、同分母分数加、减法 1、分数加法的意义：和整数加法的意义相同，都是把两个数合并成一个数的运算。 2、分数减法的意义：和整数减法的意义相同，已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3、同分母分数加、减法的计算方法：分母不变，分子相加、减。 二、异分母分数加、减法 1、异分母分数加、减法的计算方法：先通分，化成同分母分数，然后按照同分母分数加、减法的法则计算。 2、在分数计算中，计算结果如果是假分数要化成带分数或整数，如果结果不是最 19 / 25 1a1ba+bab简分数要化成最简分数。 3、分子是1的两个异分母分数相加，可以用分母的积作新分母，分母的和作新分子，即： 1a1babb-a4、分子是1的两个异分母分数相减，可以用分母的积作新分母，分母的差作新分子，即： 5、在计算时，有时会出现分数和小数的混合运算。如果分数能化成有限小数，把分数化成小数计算较简单；如果分数不能化成有限小数，应把小数化成分数再计算。 1例如： 1.02 0.25 1.02 1.27 1115 0.5 3 2 3 64三、分数加减混合运算 1、分数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的，按照从左到右的顺序进行计算；有括号的，先算括号里面的，然后算括号外面的。 第十部分 20 / 25 知 识 梳 理 一、长方体的认识 1、长方体的特征：长方体是由6个长方形围成的立体图形，相对的面完全相同；有12条棱，相对的4条棱长度相等；有8个顶点。 2、相交于同一顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 二、正方体的认识 1、正方体的特征：正方体的6个面完全相同，12条棱的长度完全相等，有8个顶点。 2、正方体可以说是长、宽、高都相等的特殊的长方体。 三、长方体和正方体的异同 1、相同点：都有6个面、12条棱、8个顶点。 不同点：长方体6个面都是长方形，相对的2个面完全相同。正方体6个面都是正方形，6个面完全相同。长方体相对的4条棱长度相等。正方体12条棱长度都相等。 21 / 25 四、长方体和正方体的棱长总和 1、长方体棱长总和×4 2、正方体棱长总和棱长×12 ×4 12a 五、长方体和正方体的表面积 1、表面积：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积：上、下面：长×宽×2 前、后面：长×高×2 左、右面：宽×高×2 长方体的表面积×2 长×宽×2长×高×2宽×高×2 S ×2 3、正方体的表面积棱长×棱长×6 S 6a2 22 / 25 3） 、立方分米、立方米。 3、1立方厘米：棱长为1 cm的正方体的体积是1 cm3。 1立方分米：棱长为1 dm的正方体的体积是1 dm3。 1立方米：棱长为1 m的正方体的体积是1 m3。 4、长方体的体积长×宽×高 Vabh®®®hV÷a÷b 正方体的体积棱长×棱长×棱长 Va3 长方体或正方体的体积底面积×高 VSh®®®SV÷h 5、一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的8倍。缩小时也同样如此。一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的8倍。缩小时也同样如此。 23 / 25 二、体积单位间的进率 1、常用的长度单位有米、分米、厘米、毫米，相邻长度单位间的进率是10； 常用的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米，相邻面积单位间的进率是100； 常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米，相邻体积单位间的进率是1000。 2、1 m31000 dm3 1dm31000 cm3 三、容积和容积单位 1、容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。常用的容积单位有：升和亳升。 2、计量容积，一般就用体积单位；计量液体的体积，就用容积单位升和毫升。 3、容积和体积的区别： 意义不同。 测量方法不同：求体积从物体外面测量长、宽、高，求容积从物体里面测量长、宽、高。 24 / 25 有容积的物体一定有体积，但有体积的物体不一定有容积。同一个物体，它的体积大于它的容积。 4、1L1000 ml 1L1dm3 1 ml1cm3 25 / 25