债券定价定理证明.docx

债券定价定理证明P=cccF +L+2NN1+i(1+i)(1+i)(1+i)cé1ùFP=ê1- +úNNiêë(1+i)úû(1+i)将式写为， P=cF-ci +Ni(1+i)c，则当i=i0时，P=F。 Fc故，当i>i0时，<F，P<F； ic 当i<i0时，>F，P>F。 i定理一： 债券的价格与债券的收益率成反比例关系。换句话说，当债券价格上升时，债券的收益率下降；反之，当债券价格下降时，债券的收益率上升 证明： 定义i0º¶Pc2cNcNF=-L-<0 23N+1N+1¶i(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)定理二： 当市场预期收益率变动时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度成正比关系。换言之，到期时间越长，价格波动幅度越大；反之，到期时间越短，价格波动幅度越小。 证明：要计算¶P(i)-P(i0)¶N，而¶P(i0)¶P(i)=0，故仅需计算。将式写¶N¶N为P=c-Næcö-(1+i)ç-F÷，有 ièiø¶Pæc-Nö=ç-F÷(1+i)ln(1+i) ¶Nèiøc¶P>0； >F，P>F，¶Nic¶P<0。 当i>i0时，<F，P<F，¶Ni 考虑的是价格波动幅度。 定理三： 随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。 当i<i0时，2¶2P-Nécù证明：由式， =-Fln1+i1+iéù()()ëûêú¶N2iëû¶2P<0； 当i<i0时，2¶N¶2P>0。 当i>i0时，2¶N定理四： 对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。换言之，对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。 ¶2P证明：要证2>0。由有， ¶iN(N+1)cN(N+1)F¶2P2c2´3c+L+>0 2=34N+2N+2¶i(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)故P=f(i)的斜率随i的增大而变大，故i¢和i¢-Di对应的连线比i¢和i¢+Di要陡直，即。 定理五： 对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度成反比关系。换言之，息票率越高，债券价格的波动幅度越小。定理五不适用于一年期的债券和以统一公债为代表的无限期债券。 é¶Più¶êgú¶iPû>0证明: 要证ë，对于所有有限的N³2成立。 ¶c¶P-c(1+i)= 由式有，¶i 故， N+1N+1+c(1+i+Ni)-FNi22N+1i(1+i)2¶Pi-c(1+i)+c(1+i+Ni)-FNig= N+1¶iPc(1+i)-c(1+i)+Fi(1+i)N 令，D(N)=(1+i)éc(1+i)-c+Fiù，则有， ëû2FiNc(1+i)-c+Fiù(1+i)éëû2=Fi>0，对所有有限的N成立。 D(N)é¶Più¶êgúë¶iPû=Fié1+i+1+iNNi-1-iù ()()ûë¶cD(N) 当N=1时，等于0；当N³2时，为正。 下证当N³2时，为正。 记F(N)=é1+i+(1+i)Në (Ni-1-i)ùû当N=2时，F(N)=i2+i3>0，对所有i>0成立。 i(+1)+i F(N+1)=1+N(1)(+iNi)1- N2 =F(N)+Ni(1+i) 所以，"N>0，i>0，F(N+1)>F(N)。 即，对所有N³2时，为正。 当N®¥时，Fi式趋于0。 ®0，D(N)以直接债券推导久期公式。 æcö1+y+Tç-y÷1+yèAø D=-céTy1+y)-1ù+y(ûAë