信号与系统的公式汇总分类.docx

信号与系统的公式汇总分类1连续傅里叶变换 F(jw)=f(t)=线性 时移 2连续拉普拉斯变换(单边) F(s)=òf(t)edt0-¥-st3离散Z变换(单边) F(z)=åf(k)z-kk=0¥4离散傅里叶变换 F(e)=f(k)=线性 时移 jqò¥12p-¥¥f(t)e-jwtdtF(jw)ejwtdw线性 时移 òf(t)=-¥1stF(s)eds2pjòs-j¥s+j¥k=-¥åf(k)eòpF(e2¥-jqk)ejqkdqf(k)=线性 时移 1F(z)zk-1dz,k³0ò2pjL12pjqaf1(t)+bf2(t)«aF1(jw)+bF2(jw) f(t±t0)«e±jwt0F(jw) e±jw0tf(t)«F(j(wmw0) af1(t)+bf2(t)«aF1(s)+bF2(s) f(t±t0)«e±st0F(s) e±s0tf(t)«F(sms0) af1(k)+bf2(k)«aF1(z)+bF2(z) f(k±m)«z±mF(z) jqjqaf1(k)+bf2(k)«aF1(e)+bF2(e) f(k±m)«e±jqmF(ejq) 频移 尺度 变换 反转 时域 卷积 频域 卷积 时域 微分 频域 微分 时域 积分 频域 积分 对称 帕斯 瓦尔 频移 尺度 变换 反转 时域 卷积 频移 尺度 变换 反转 时域 卷积 e±jw0kf(k)«F(emjw0z) zakf(k)«F a频移 尺度 变换 反转 时域 卷积 频域 e±jkq0f(k)«F(ej(qmq0) ìf(k/n)f(n)(k)=í«F(ejnq) î01jawwf(at+b)«eF(j) |a|ab1assf(at+b)«eF|a|abf(-t)«F(-jw) f1(t)*f2(t)«F1(jw)F2(jw) 1F1(jw)*F2(jw) 2pf(-t)«F(-s) f1(t)*f2(t)«F1(s)F2(s) f(-k)«F(z-1) f(-k)«F(e-jq) f1(t)*f2(t)«F1(z)F2(z) f(k-1)«z-1F(z)+f(-1)f1(k)*f2(k)«F1(ejq)F2(ejq) f1(t)f2(t)«时域 微分 f¢(t)«sF(s)-f(0-)f¢¢(t)«sF(s)-sy(0-)-y¢(0-)2时域 差分 f¢(t)f(n)(t)«jwF(jw)(jw)nF(jw) dF(jw)dwdnF(jw)dwnf(k-2)«zF(z)+zf(-1)+f(-2)f(k+1)«zF(z)-zf(0)f(k+2)«zF(z)-zf(0)-zf(1)22-2-1卷积 时域 差分 频域 微分 f1(k)f2(k)«12pò2pF1(ejy)F2(ej(y-q)dyf(k)-f(k-1)«(1-ejq)F(ejq) dF(ejq)dqj0tf(t)(-jt)nf(t)«jtS域 微分 时域 积分 S域 积分 初值 tf(t)(-t)nf(t)«-F¢(s)tdnF(s)dsnZ域 微分 部分 求和 Z域 积分 初值 kf(k)«-zdF(z)dzkf(k)«j¥ò-¥F(jw)f(x)dx,f(-¥)=0«+pF(0)d(w) jwf(t)«(-jt)ò-¥F(s)f(-1)(0-)f(x)dx«+ss¥f(t)«F(h)dhstzf(k)*e(k)=f(i)«z-1i=-¥åk时域 累加 k=-¥åf(k)«1-ejqz®¥¥F(ejq)+pF(e)k=-¥åd(q-2pk) pf(0)t+ò-¥wF(jt)dt,F(-¥)=0 òf(k)«zmk+mòzhm+1dh z®¥¥F(h)f(0)=limF(z),f(1)=limzF(z)-zf(0) z®¥F(jt)«2pf(-w) ¥f(0+)=limsF(s),F(s)为真分式 s®¥f(M)=limzMF(z),f(M+1)=limzM+1F(z)-zf(M) z®¥E=ò-¥|f(t)|2dt=12pò-¥¥|F(jw)|2dw 终值 f(¥)=limsF(s),s=0在收敛域内 s®0终值 f(¥)=lim(z-1)F(z) z®1帕斯 瓦尔 k=-¥å|f(k)|2=2pò2p|F(ejq)|2dq ¥1信号与系统公式性质一览表 常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换对一览表 连续傅里叶变换对 拉普拉斯变换对 Z变换对 F(z)=åf(k)z-k k=0¥F(jw)=òf(t)e-¥¥-jwtdt F(s)=ò函数 f(t) ¥0-f(t)edt -st函数 f(t) d(t)1 d¢(t)d(n)(t) 傅里叶变换 F(jw) 12pd(w) 象函数 F(s) 函数 f(k),k³0 象函数 函数 f(k),k³0 象函数 d(t) 1 s d(k) 1 z z-1d(k-m),m³0 e(k-m),m³0 z-m jw(jw)n d¢(t) e(t) 1 e(k) z×z-m z-1z2+z(z-1)3z2(z-a)2e(t) te(t) 1+pd(w) jwjpd¢(w)-1a+jw1s1s21s+an!sn+11z z-1z(z-1)2ke(k)21w21te(t)te(t) nke(k) (k+1)ae(k) ke-ate(t)te-ate(t),a>0 (a+jw)2e-ate(t)te-ate(t) (s+a)s2ake(k) zz-azz-ezz-ejbzz2-a2zakak-1e(k) z(z-a)2cos(w0t)sin(w0t)pd(w+w0)+d(w-w0)jpd(w+w0)-d(w-w0)-jpsgn(w) 2cos(bt)e(t) sin(bt)e(t) cosh(bt)e(t) sinh(bt)e(t) s+b22eake(k) kake(k) az(z-a)21 tbs2+b2ss2-b2ejbke(k) ak-(-a)ke(k) 2ak2ake(k) ak+(-a)ke(k)2aaz2+a2z(z-a)3|t| -w2z2z2-a2z2(z-1)3e±jw0t 2pd(wmw0) jw+a(jw+a)2+b2bs2-b2s+ak(k-1)e(k) 2ak-bke(k) a-b(z-1)3(k+1)ke(k) 2ak+1-bk+1e(k)a-be-atcos(bt)e(t) e-atcos(bt)e(t) (s+a)2+b2z(z-a)(z-b)z(z-cosb)z-2zcosb+12z2(z-a)(z-b)e-atsin(bt)e(t) b(jw+a)2+b2e-atsin(bt)e(t) b(s+a)+b22cos(bk)e(k) sin(bk)e(k) zsinbz-2zcosb+12e-a|t|e(t),a>0ttn2aa2+w2b0(b0t+b1)e(t) b0b0+b1ss2cos(bk+q)e(k) z2cosq-zcos(b-q)z2-2zcosb+1sin(bk+q)e(k) z2sinq+zsin(b-q)z2-2zcosb+1 j2pd¢(w)2p(j)nd(n)(w) 2jwa1-(a-b1)e-ate(t)b1s+b0s(s+a)1akcos(bk)e(k) z(z-acosb)z-2azcosb+az(z-acoshb)z-2azcoshb+a2222aksin(bk)e(k) azsinbz-2azcosb+a22sgn(t) b12b3bt-sin(bt)e(t) s(s+b)1(s+b)222222akcosh(bk)e(k) aksinh(bk)e(k) azsinhbz-2azcoshb+a22atìï-e,t<0,(a>0) í-atïe,t>0î-j2wa+w221-bt)sin(bt)e(t) 3ake(k),k>0kæzölnç÷ èz-aøake(k) k!aezptìcos(t),|t|<ïït2f(t)=íï0,|t|>tï2îpt2¥cos(×wt2)2-222pwt2pT1tsin(bt)e(t) 2b1sin(bt)+btcos(bt)e(t) 2bs(s+b)222(lna)ke(k) k!1az1(2k)!cosh1zn=-¥å¥FnejnWt2pn=-¥¥åFnd(w-nW),W=s2(s+b)2221e(k) k+1æzözlnç÷ èz-1ø1e(k) 2k+11z+1 zln2z-1dT(t)=n=-¥å¥d(t-nT) dW(w)=W2pW=Tn=-¥åd(w-nW) tcos(bt)e(t) s2-b2(s+b)222b0-b1a-atb-b1b-bte+(0)ee(t)b-ab-ab1s+b0(s+a)(s+b)tì1,|t|<ïï2gt(t)=íï0,|t|>tï2îtSaçæwtö2æwtö÷=sinç÷è2øwè2ø(b0-b1a)t+b1e-atb1s+b0(s+a)2b0-b1a+b2a2-atb0-b1b+b2b2-bte+e(b-a)(g-a)(a-b)(g-b)b-bg+b2g2-gt+01ee(t)(a-g)(b-g)b0-b1b+b2b2b2s2+b1s+b0(s+a)(s+b)(s+g)Wsin(Wt)Sa(Wt)=pptWì1,|w|<ïï2F(jw)=íï0,|w|>Wï2îAe-atsin(bt+q)e(t),其中 Aejq=b0-b1(a-jb)b1s+b0(s+a)2+b2b-at-e(a-b)2b0-b1b+b2a(2b-a)(b-a)2-btb0-b1a+b2a2+×te-atb-ae-atb2s2+b1s+b0(s+a)2(s+b)e(t)tì2|t|1-,|t|<ïït2fD(t)=íï0,|t|>tï2îtæwtöSa2ç÷ 2è4øb2e-at+(b1-2b2a)te+1(b0-b1a+b2a2)t2e-ate(t)2b2s2+b1s+b0(s+a)3b0-b1g+b2g2g+b22e-gt+Asin(bt+q)e(t) b2s2+b1s+b0(s+g)(s2+b2)其中Aejq=(b0-b2b)+jb1bb(g+jb)2ttì1(t+),|t|<ïït22f(t)=íï0,|t|>tï2îj-j1éêewêëwt2æwt-Saçè2ùöú÷ øúûìt1ï1,|t|<2ïït2|t|t1tf(t)=í(1-),<|t|<t22ït-t1ïtï0,|t|>2î«éw(t+t1)ùéw(t-t1)ùsinê´sinêúú44w(t-t1)ëûëû82b0-b1g+b2g2(a-g)+b22e-gt+Ae-atsin(bt+q)e(t) b2s2+b1s+b02其中Aejq=b0-b1(a-jb)+b2(a-jb)b(g-a+jb)(s+g)(s+a)2+b2)双边拉普拉斯变换与双边Z变换对一览表 双边拉普拉斯变换对 F(s)=ò¥双边Z变换对 F(z)=-¥f(t)edt -stk=-¥åf(k)z¥-k函数 象函数F(s)和收敛域 1，整个S平面 s，有限S平面 1,Res>0 s1,Res>0 s21,Res>0 snn函数 象函数F(z)和收敛域 1，整个Z平面 zn,|z|>0 (z-1)nz,|z|>1 z-1d(t) d(n)d(k) Dd(k) n(t) e(t) te(t) e(k) (k+1)e(k) (k+n-1)!e(k) k!(n-1)!z2,|z|>1 (z-1)2zn,|z|>1 (z-1)nz,|z|<1 z-1tn-1e(t) (n-1)!-e(-t) -te(-t) tn-1-e(-t) (n-1)!1,Res<0 s1,Res<0 s21,Res<0 sn-e(-k-1) -(k+1)e(-k-1) z2,|z|<1 (z-1)2zn,|z|<1 (z-1)nz,|z|>|a| z-a(k+n-1)!-e(-k-1) k!(n-1)!ake(k) (n+1)ae(k) ne-ate(t) 1,Res>Re-a s+ate-ate(t) 1,Res>Re-a (s+a)21,Res>Re-a (s+a)n1,Res<Re-a s+az2,|z|>|a| (z-a)2zn,|z|>|a| n(z-a)z,|z|<|a| z-atn-1-atee(t) (n-1)!(k+n-1)!nae(k) k!(n-1)!-ake(-k-1) -e-ate(-t) tn-1-at-ee(-t) (n-1)!cos(bt)e(t) 1,Res<Re-a (s+a)ns,Res>0 s2+b2(k+n-1)!n-ae(-k-1) k!(n-1)!zn,|z|<|a| (z-a)ncos(bk)e(k) sin(bk)e(k) acos(bk)e(k) aksin(bk)e(k) kz2-zcosbz2-2zcosb+1sin(bt)e(t) e-atbs2+b2,Res>0 zsinbz2-2zcosb+1z2-zacosbz2-2zacosb+1cos(bt)e(t) s+a,Res>Re-a (s+a)2+b2e-atsin(bt)e(t) e-a|t|b(s+a)+b22,Res>Re-a zasinbz-2zacosb+12,Rea>0 -2a,Rea>Res>Re-a 2s-a22s,Rea>Res>Re-a s2-a2a,|a|<1 asgn,|a|<1 |k|k|(a2-1)z1,|a|<|z|<| (z-a)(az-1)aa(z2-z)1,|a|<|z|<| (z-a)(az-1)ae-a|t|sgn(t),Rea>0