余弦定理的三种证明.docx

余弦定理的三种证明ABC中的三个内角A，B，C的对边，分别用a,b,c表示. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即 c2=a2+b2-2abcosC, b2=a2+c2-2accosB, a2=b2+c2-2bccosA 证明：按照三角形的分类，分三种情形证明之. (1)在RtDABC中，如图1-1 根据勾股定理: c=a+b 因为cosC=0,所以c=a+b-2abcosC 222222A a222,所以b=a+c-2accosB cb222因为cosA=,所以a=b+c-2bccosA c因为cosB=在锐角ABC中，如图1-2 作CDAB于点D，有 b c C a B C CD=asinB,BD=acosB，AD=AB-BD=c-acosB b a b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB 同理可证： A c B D c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bccosA 在钝角ABC中，如图1-3 作CDAB，交AB的延长线于点D，则 CD=asinÐCBD=asinB,BD=acosÐCBD=-acosB， AD=AB+BD=c-acosB C b2=CD2+AD2=(asinB)2+(c-acosB)2=a2+c2-2accosB 按照的方法可以证明： b a c2=a2+b2-2abcosC, a2=b2+c2-2bccosA 综上所述，在任意的三角形中，余弦定理总是成立. A c B D uuurruuurruuurr证明：在ABC中，令AB=c，AC=b，BC=a ruuuruuurrrruuua=BC=BA+AC=b-c rrr2r2rrr2rr2r2r|a|=(b-c)=b-2b×c+c=|b|-2|b|×|c|×cosA+|c|2 即a=b+c-2bccosA 同理可证：c=a+b-2abcosC, b=a+c-2accosB 证明：对于任意一个DABC，建立直角坐标系如图所示， 那么A(bcosC,bsinC)，B(a,0) 因为余弦定理中涉及到c，我们自然想到计算AB的长度。 根据两点间的距离公式，我们有： 2222222222A c B a b C c2=|AB|2=(bcosC-a)2+(bsinC)2=a2+b2-2abcosC， 即c=a+b-2abcosC y A b c 222O C a B x