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余弦定理的证明方法大全余弦定理的证明方法大全(共十法) 一、余弦定理 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在DABC中,已知AB=c,BC=a,CA=b,则有 a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC. 二、定理证明 为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在DABC中,已知AB=c,AC=b,及角A,求证:a2=b2+c2-2bccosA. 证法一:如图1,在DABC中,由CB=AB-AC可得: CCB×CB=(AB-AC)×(AB-AC) =AB+AC-2AB×AC 22=b2+c2-2bccosA AB图1即,a2=b2+c2-2bccosA. 证法二:本方法要注意对ÐA进行讨论. (1)当ÐA是直角时,由b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos90°=b2+c2=a2知结论成立. (2)当ÐA是锐角时,如图2-1,过点C作CDAB,交AB于点D,则 在RtDACD中,AD=bcosA,CD=bsinA. 从而,BD=AB-AD=c-bcosA. 在RtDBCD中,由勾股定理可得: BC2=BD2+CD2 =(c-bcosA)2+(bsinA)2 =c2-2cbcosA+b2 AD图2-1BC即,a2=b2+c2-2bccosA. 说明:图2-1中只对ÐB是锐角时符合,而ÐB还可以是直角或钝角.若ÐB是直角,图中的第 1 页 共 4 页 点D就与点B重合；若ÐB是钝角,图中的点D就在AB的延长线上. (3)当ÐA是钝角时,如图2-2,过点C作CDAB,交BA延长线于点D,则 在RtDACD中,AD=bcos(p-A)=-bcosA,CD=bsin(p-A)=bsinA. 从而,BD=AB+AD=c-bcosA. 在RtDBCD中,由勾股定理可得: C BC=BD+CD =(c-bcosA)2+(bsinA)2 =c2-2cbcosA+b2 DA图2-2B222即,a=b+c-2bccosA. 综上(1),(2),(3)可知,均有a2=b2+c2-2bccosA成立. 证法三:过点A作ADBC,交BC于点D,则 BDAD在RtDABD中,sina=,cosa=. ccCDAD在RtDACD中,sinb=,cosb=. bbCD222A图3B由cosA=cos(a+b)=cosacosb-sinasinb可得: ADADBDCDAD-BD×CDcosA=×-×= cbcbbc2AD2-2BD×CDc2-BD2+b2-CD2-2BD×CD= 2bc2bcb2+c2-(BD+CD)2b2+c2-a2= 2bc2bc2整理可得a2=b2+c2-2bccosA. 证法四:在DABC中,由正弦定理可得abcc=. sinAsinBsinCsin(A+B)从而有bsinA=asinB, csinA=asin(A+B)=asinAcosB+acosAsinB. 将带入,整理可得acosB=c-bcosA. 将,平方相加可得a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA. 第 2 页 共 4 页 即,a2=b2+c2-2bccosA. 证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),再由两点间距离公式可得a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=c2-2cbcosA+b2. 即,a2=b2+c2-2bccosA. A(O)图4BxyC证法六:在DABC中,由正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 于是,a2=4R2sin2A=4R2sin2(B+C) =4R2(sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC) =4R2(sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC) =4R2(sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C) =4R2(sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA) =(2RsinB)2+(2RsinC)2-2(2RsinB)(2RsinB)cosA =b2+c2-2bccosA 即,结论成立. 证法七:在DABC中,由正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 于是,a2=b2+c2-2bccosA Û4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-8R2sinBsinCcosA Û2sin2A=2sin2B+2sin2C-4sinBsinCcosA Û2sin2A=2-cos2B+cos2C-4sinBsinCcosA Û2-2cos2A=2-2cos(B+C)cos(B-C)-4sinBsinCcosA 由于cos(B+C)=cos(p-A)=-cosA,因此 Ûcos2A=cos(B+C)cos(B-C)+2sinBsinCcosA ÛcosA=-cos(B-C)+2sinBsinC ÛcosA=-cosBcosC+sinBsinC=-cos(B+C). 这,显然成立. 第 3 页 共 4 页 即,结论成立. 证法八:如图5,以点C为圆心,以CA=b为半径作C,直线BC与C交于点D,E,延长AB交C于F,延长AC交C于G. 则由作图过程知AF=2bcosA, 故BF=2bcosA-c. 由相交弦定理可得:BA×BF=BD×BE, 即,c×(2bcosA-c)=(b+a)×(b-a), 整理可得:a=b+c-2bccosA. 222F2bcosA-cBaGbbCbEb-acAD图5证法九:如图6,过C作CDAB,交DABC的外接圆于D,则AD=BC=a,BD=AC=b.分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,则AE=BF=bcosA,故CD=c-2bcosA. 由托勒密定理可得AD×BC=AB×CD+AC×BD, 即,a×a=c×(c-2bcosA)+b×b. bCD整理可得:a=b+c-2bccosA. 证法十:由图7-1和图7-2可得a2=(c-bcosA)2+(bsinA)2, 整理可得:a2=b2+c2-2bccosA. AE222aac图6FBCEAbsinAaBCbsinADc-bcosAc-bcosAaBbcosAD余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询. 图7-1图7-2第 4 页 共 4 页
