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优等生数学 优等生数学 圆心角、圆弧和弦 1. 如图18-1所示，在AOB中，AOB=100°，A=15°,以O为圆心，OB为半径的圆交AB、AO边分别于C、D。求证：BC=CD。 2. 在平行四边形ABCD中，D=50°，以钝角的顶点为圆心，AB长为半径画圆，分别交AD、BC于F、G，交BA的延长线于E，求劣弧EG的度数. 3.如图所示，ABC是等边三角形，以边AB为直径的圆O交BC边于D，交AC边于E。求证:(1)弧BD=弧DE=弧EA； BD=DC，CE=EA。 4.如图所示，AB为圆O的一条直径，自上半圆上一点C作弦CDAB，设OCD的角平分线交圆O于P。求证：当C点在上半圆上移动时，点P的位置不变。 垂径定理 经典例题 如图所示，AB是圆O的弦，P是AB上一点，AB=10，OP=5，圆O的半径是7，求AP。 举一反三 1. 如图所示，AB是一个圆的一条弦，C是弧AB的中点，CDAB，已知AB=16，CD=4，求此圆的半径。 2. 圆的半径为13，它的两条平行弦的长度分别为10和24，求这两条弦之间的距离。 3. 如图所示，AB是圆的直径，CD是圆O的弦，ECCD，FDCD。证明：AE=BF。 4. 如图所示，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB与CD相交于E，ÐAEC=45°，圆O的半径为1，求证EC2+ED2=2。 圆周角 经典例题 如图所示，在圆O中，ÐACD=30°，AB=BC=CD。求ÐP的度数。 举一反三 1. 如图所示，在圆O中，弦AB=1，圆周角ÐACB=30°，求圆O的直径。 2. 如图所示，A、B、C是圆O上三点，ÐACB的角平分线CD交圆O于点D，过D作DEAC，证明：DE=BC。 3. 如图所示，AD、BC是圆O中两条弦，OAOB，ACBD。求证ADBC。 4. 如图所示，直角ABC中，ÐBAC=90°，D是BC的中点，圆O过A、D两点交AB于E，过E作弦EFBC。求证：EF=AD。 直径所对的圆周角 经典例题 如图所示，等腰ABC中，ÐBAC=50°，AB=AC.以AB为直径的半圆与AC交于点D，与BC交于点E，求证BE=EC，并求ÐCBD的度数。 举一反三 1. 如图所示，AB和CD为圆O的两条直径，弦CEAB，弧CE的度数是40°，求ÐBOC的度数。 2. 如图所示，AB是圆O的直径，AB=6，C、D是圆上两点，且位于AB的两旁，使得ÐBAC=ÐADC，求AC的长。 3. 如图所示，AB、BC是圆的两条弦，AB=a，OA=r，BC平行OA。求AC的长。 4. 如图所示，AD是圆O的直径，AB、BC是弦，已知AD=4，AB=BC=1，求CD的长。 圆内接四边形 经典例题 如图所示，圆O的弦AD及BE的延长线交于C点，AB=AC。弦DB平分ÐABC。求证：AD=EC。 举一反三 1. 如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，P是圆O2上一点，连结PA、PB并延长交圆O1于D、C两点。已知ÐAPB=x°，ÐABC=y°，求ÐBCD 2. 如图所示，设圆O1与圆O2相交于A、B两点，过A、B分别引直线PAQ、CBD交圆于P、Q、C、D。证明：PCQD。 3. 如图所示，ABCD是圆内接四边形，AD平分ÐEAC。求证：BD=CD。 4. 如图所示，设圆O的弦AB=AC，延长CA至D，使AC=AD，连结DB并延长交圆O于E。证明：CE是圆O的直径。 点与圆的位置关系 经典例题 如图所示，在ABC中，ÐA=90°，AD是斜边BC上的中线，ÐDAE=ÐDEA。证明：A、B、C、E在同一圆上。 举一反三 1. ABC中，BD和CE分别是AC、AB边上的高，求证：B、C、D、E四点在同一个圆上。 2. ABC中，ÐB=90°，BDAC于D点，试判断A点与BDC的外接圆的位置关系，说明理由。 3. 已知圆O的半径为12，AB是一条长为16的弦，其端点A、B在圆周上滑动。试确定AB的中点形成怎样的图形。 4. 一个等腰三角形的腰长为5，底边长为6。求这个三角形的外接圆半径。 直线与圆的位置关系 经典例题 等边ABC的边长为2，D是BC边的中点，以D为圆心，分别以半径作圆。试确定直线AC与圆D的位置关系。 举一反三 1. 圆O的半径是6，其一条弦AB长为63，试判断以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系。 2. 在ABC中，ÐC=90°，AC=3，BC=4.设圆C的半径为r，若圆C与斜边AB有两个交点，求r的取值范围。 3. 在ABC中，ÐC=90°，AC=3，BC=4.设圆C的半径为r，若圆C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围。 4. 在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，AFBC于F点，且DE=AF。试确定以DE为直径的圆与BC的位置关系。 33，,3为42切线的判定 经典例题 如图所示，直角ABC中，ÐA=90°，以直角边AB为直径作圆O，交斜边BC于P点，Q是AC的中点。证明：PQ是圆O的切线。 举一反三 1. 如图所示，圆O2经过圆O1的圆心，与圆O1相交于A、B两点，直线O1O2交圆O2于点C。证明：AC是圆O1的切线。 2. 如图所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，且ÐCAB=30°，D在AB延长线上，且BD=OB。证明：DC是圆O的切线。 3. 如图所示，ABC中，AB=AC，D为BC的中点。以D为圆心的一个圆与AB相切于E。证明：AC与圆D也相切。 4. 如图所示，ABCD是直角梯形，ÐA=ÐB=90°，具有性质：ÐC=ÐD的平分线相交于AB于AB上一点E。证明：以AB为直径的圆与CD相切，以CD为直径的圆与AB相切。