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优化设计习题机械优化设计复习题 一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最优解时，设X方向为 。 -0.5,0.5T，第一步迭代的搜索2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是 ，二是 。 3、当优化问题是_的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 趋势。 5、包含n个设计变量的优化问题，称为 维优化问题。 6、函数 1TXHX+BTX+C的梯度为 。 27、设G为n×n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d0)TGd1=0，则d0、d1之间存在_关系。 8、与负梯度成锐角的方向为函数值 方向，与梯度成直角的方向为函数值 方向。 将函数f(X)=x12+2x22-3x1x2 -10x1-5x2+60用矩阵和向量的形式表示 9、 、 、 是优化设计问题数学模型的基本要素。 10、对于无约束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是 ，充分条件是 。 11、 条件可以叙述为在极值点处目标函数的负梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 12、用黄金分割法求一元函数f(x)=x-10x+36的极小点，初始搜索区间a,b=-10,10，经第一次区间消去后得到的新区间为 。 13、优化设计问题的数学模型的基本要素有 、 、 。 14、牛顿法的搜索方向dk= ，其计算量 ，且要求初始点在极小点 位置。 15、将函数f(X)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成21TXHX+BTX+C的形2式 。 16、存在矩阵H，向量 d1，向量 d2，当满足 ，向量 d1和向量 d2是关于H共轭。 17、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r数列，具有 特点。 18、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 。 二、选择题 1、下面 方法需要求海赛矩阵。 A、最速下降法 B、共轭梯度法 C、牛顿型法 D、DFP法 2、对于约束问题 2minf(X)=x12+x2-4x2+42 g1(X)=x1-x2-1³0 g2(X)=3-x1³0 g3(X)=x2³0根据目标函数等值线和约束曲线，判断X为 。 A内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点 (1)512=1,1T为 ，X()=,T223、内点惩罚函数法可用于求解_优化问题。 A 无约束优化问题 B只含有不等式约束的优化问题 C 只含有等式的优化问题 D 含有不等式和等式约束的优化问题 4、拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法，它是一种_。 A、降维法 B、消元法 C、数学规划法 D、升维法 5、对于一维搜索，搜索区间为a，b，中间插入两个点a1、b1，a1<b1，计算出f(a1)<f(b1)，则缩短后的搜索区间为_。 A a1，b1 B b1，b C a1，b D a，b1 6、_不是优化设计问题数学模型的基本要素。 A设计变量 B约束条件 C目标函数 D 最佳步长 7、变尺度法的迭代公式为xk+1=xk-kHkf(xk)，下列不属于Hk必须满足的条件的是_。 A. Hk之间有简单的迭代形式 B.拟牛顿条件 C.与海塞矩阵正交 D.对称正定 8、函数f(X)在某点的梯度方向为函数在该点的 。 A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向 9、下面四种无约束优化方法中，_在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。 A 梯度法 B 牛顿法 C 变尺度法 D 坐标轮换法 10、设f(X)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(X)在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处 。 A 正定 B 半正定 C 负定 D 半负定 11、通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是 A 牛顿法 B 梯度法 C 共轭梯度法 D 变尺度法 12、 一维搜索试探方法黄金分割法比二次插值法的收敛速度 。 A、慢 B、快 C、一样 D、不确定 13、下列关于最常用的一维搜索试探方法黄金分割法的叙述，错误的是 ，假设要求在区间a，b插入两点1、2，且1<2。 A、其缩短率为0.618 B、1=b- C、1=a+ D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。 14、与梯度成锐角的方向为函数值 方向，与负梯度成锐角的方向为函数值 方向，与梯度成直角的方向为函数值 方向。 A、上升 B、下降 C、不变 D、为零 15、二维目标函数的无约束极小点就是 。 A、等值线族的一个共同中心 B、梯度为0的点 C、全局最优解 D、海塞矩阵正定的点 16、最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+1必为 向量。 A 相切 B 正交 C 成锐角 D 共轭 17、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是 。 A 需要求海赛矩阵 B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度 C 共轭梯度法具有二次收敛性 D 第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度 18、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是 。 A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。 B 惩罚因子是不断递减的正值 C初始点应选择一个离约束边界较远的点。 D 初始点必须在可行域内 三、问答题 1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区别？ 2、共轭梯度法是利用梯度求共轭方向的，那共轭方向与梯度之间有什么关系？ 3、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？ 4、与最速下降法和牛顿法比较，试述变尺度法的特点。 5、在变尺度法中，为使变尺度矩阵Hk与Gk-1近似，并具有容易计算的特点，Hk必须附加哪些条件？ 6、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。 7、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。 8、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。 9、变尺度法的搜索方向是什么？变尺度矩阵应满足什么条件？变尺度矩阵在极小点处逼近什么矩阵？并写出其初始形式。 10、什么是共轭方向？满足什么关系？共轭与正交是什么关系？ 11、请写出应用MATLAB优化工具箱处理约束优化设计问题的基本步骤。 四、解答题 1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x12+0.5x22- x1x2-2x1的最优解，设初始点x(0)=-2，4T,选代精度=0.02。 将函数f(X)=x12+2x22-3x1x2 -10x1-5x2+60用矩阵和向量的形式表示 2、试用牛顿法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最优解，设初始点x(0)=2,1T。 3、设有函数 f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，试利用极值条件求其极值点和极值。 4、求目标函数f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的极值和极值点。 5、试证明函数 f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点1，1，-2T处具有极小值。 6、给定约束优化问题 min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2 s.t. g1(X)=x12+x22-50 g2(X)=x1+2x2-40 g3(X)=-x10 g4(X)=-x20 TKuhn-Tucker条件成立。 验证在点X=2，7、设非线性规划问题 min2f(X)=(x1-2)2+x2s.t.g1(X)=-x1£0g2(X)=-x2£02g3(X)=-x12+x2-1£0用K-T条件验证X*=1,0为其约束最优点。 T8、用共轭梯度法求函数f(x1,x2)=3212x1+x2-x1x2-2x1的极小点。 229、已知目标函数为f(X)= x1+x2，受约束于： g1(X)=-x12+x20 g2(X)=x10 写出内点罚函数。 10、已知目标函数为f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2 受约束于：g1(X)=-x2-x1-10 g2(X)=2-x1-x20 g3(X)=x10 g4(X)=x20 试写出内点罚函数。 11、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 12、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 13、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 14、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 15、薄铁板宽20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解。 16、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c，高度为h，面积A=64516mm2，斜边与底边的夹角为，见图1。管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系。试按照使液体流速最大确定该管道的参数。写出这一优化设计问题的数学模型。并用matlab软件的优化工具箱求解。 17、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。力缆每米需用材料9kg，3个工时，消耗电能4kW·h，可得利润60元；话缆每米需用材料4kg，10个工时，消耗电能5kW·h，可得利润120元。若每天材料可供应360kg，有300个工时消耗电能200kW·h可利用。如要获得最大利润，每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。 题目： 1、容量最大，用料最少的金属容器是什么形状？ 2、如果是圆柱形容器，它的高度和直径成什么关系，使得容量最大、用料最少。