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仅圆规作图无尺之圆第三十八届中小学科学展览会 作品说明书封面 科 别：数学科 组 别：国中组作品名称：关 键 词：圆规作图、编 号： 无尺之图只用圆规的作图 compass alone 无尺之图只用圆规的作图 摘要： 数学课本在标尺作图之后，提到了拿破仑用圆规四等分圆周，老师又说标尺作图可以作的事，圆规作图也可以作出来。我实在非常惊讶所以便开始进行圆规作图的研究。 我先将搜集到的资料中已经研究过的圆规作图，依序模拟研究一遍，并加以证明。再将平常标尺作图的一些图，只用圆规在绘图软件GSP上作图。 借着实际作图，我验证了圆规作图的可行性。不过也体会圆规作图的复杂，所以每次挑战出一种图形之后，实在太有成就感！整个研究提升了我的几何功力，这是我最大的收获。 壹、研究动机： 康轩课本二下介绍完标尺作图之后，有一页提到拿破仑只用圆规将一给定圆的圆周四等分，他的作法非常特别，吸引了我们的兴趣。加上老师又说数学家已经研究出标尺作图可以作的事，圆规作图也可以作出来。我们实在非常惊讶所以便开始进行圆规作图的研究。 貳、研究目的： 将我们课程中常作的标尺作图，不用尺只用圆规作出来！(若结果为一直线，则只须找出此直线上的任意两点即可) 參、研究器材： 圆规、笔、纸、Cabri(展示用软件)、GSP(书面报告绘图用软件)、一颗清楚的头脑 1 肆、研究大纲： 我们先将资料中已经研究过的圆规作图，依以下顺序仿真研究一遍： 一、等线段作图 二、对称点作图 三、垂直作图 四、平行四边形作图 五、反演点作图 六、等分线段作图 七、第四比例项作图 八、弧中点作图 九、圆与直线交点作图 十、两直线交点作图 上列的十项作图法，已经完成所有标尺作图可以做到的图，接着我们研究课程中常做的作图： 十一、找在线其他点 十二、找圆心 十三、作垂足 十四、作角平分线 十五、作正方形 十六、作垂心 十七、作重心 十八、作内心 十九、作外心 二十、作五边形 二十一、作九点圆 2 伍、研究过程： 我们先订定A(BC)为以A为圆心，BC为半径的圆。 一、给定A,B两点，做出AB的任意整数倍。 (一)方法：做B(AB)和A(AB)交于一点C 做B(AB)和C(BC)交于一点D 做B(AB)和D(BD)交于一点E 则AE=2AB 将B当做原A，E当做原B， 则可做出AB的任意整数倍。 (二)证明：AB=AC=BC=BD=CD=BE=DE ABC= CBD= DBE=60° ABC+ CBD+ DBE=180° ABE三点共线，AE=2AB 如此类推，可做出AB的任意整数倍。 二、给定A,B,C两点，C在AB外，做出C对AB的对称点。 (一)方法：做A(AC)和B(BC)交于另一点D， D即为所求 (二)证明：设AB和CD交于E AC=AD ACD= ADC AC=AD，BC=BD，AB=AB ABC ABD BAC= BAD AE=AE ADE ACE CE=DE， CEA= DEA CEA+ DEA=180° CEA= DEA=90° D为C对AB的对称点 3 三、给定A,B两点，做出C点，使ACAB。 (一)方法：做B(AB)和A(AB)交于一点D， 做BD往D方向延长一倍到C(作图法1)， C即为所求。 (二)证明：AB=AD=BD B= BAD= ADB CD=BD=AD ACD= CAD=(180°- ADC/2) =(180°-(60°+60°)/2)=30° CAB= CAD+ BAD=90° ACAB 四、给定A,B,C为不共线三点，做出D点，使ABCD成为一平行四边形。 (一)方法：做C(AB)和A(BC)交于一点D，D位于 ABC内侧， D即为所求。 (二)证明：AB=CD，AD=BC ABCD成为一平行四边形。 五、作图法6给定圆外一点A及O(OB)，做A对O(OB)的反演点D(即满足若OA交O(OB)于C，则OC2=OD*OA) (一)方法：做A(AO)交O(OB)于E,F 做E(OE)，F(OF)交于另一点D， D即为所求。 (二)证明：EO=FO=ED=FD OD为EF的中垂线 AE=AF A在EF的中垂在线 A,O,D三点共线 4 AE=AO，OE=DE AEO= AOE= DOE= ODE AEO» EOD AE:EO=EO:OD EO2=AE*OD AE=AO，EO=OC CO2=AO*OD 六、给定A,B两点，做C使nAC=AB(n为正整数,n2) (一)方法：做AD=nAB(作图法1) 做D对A(AB)的反演点C(作图法5) C即为所求 (二)证明：AC*AD=AC*nAB=AB2 nAC=AB 七、给定A,B,C,D,E,F六点，做G,H，使AB/CD=EF/GH (一)方法：若EF<2AB，则在平面上任取一点O 做O(AB)，O(CD) 在O(AB)上取一点I 做I(EF)交O(AB)于一点J， 以适当长s为半径，做I(s)，J(s)，使这两 圆皆交O(CD)于两点 设I(s)交O(CD)于G，使G位于 IOJ内， 设J(s)交O(CD)于H，使H位于 IOJ外， GH即为所求 若EF2AB，则作nAB，使nAB>EF(作图法1) 用nAB，nCD代替AB,CD，用上述方法可做出 5 (二)证明：IO=JO，IG=JH，OG=OH OGI OHJ IOG= JOH IOJ= GOH IO:JO=GO:HO=1 IOJ» GOH IO:OG=IJ:GH AB:CD=EF:GH 八、给定O(OA)及圆上另一点B，做弧AB中点F (一)方法：做平行四边形ABOC，ABDO(作图法4) 做C(CB)，D(AD)交于E 做C(OE)交AB于F F即为所求 (二)证明：设r=OA，a=OC，b=AD，h=OE COAB，ODAB C,O,D三点共线 CE=ED COE=90°，OC=OD CE2=OC2+OE2 b2=h2+a2 AD2+OB2=2AO2+2DO2 (平行四边形对角线平方和等于四边平方和) b2+r2=2r2+2a2 h2+a2+r2=2r2+2a2 h2=r2+a2 6 OFCD OFAB OF通过O且垂直于AB，F在O(AO)上 F为AB中点 九、给定O(OA)及两点B,C，做O(OA)和BC的交点M,N (一)方法：(1)若O在BC外 做O对BC的对称点O'(作图法2) 做O(OA)，O'(OA)交于M,N M,N即为所求(若此两圆没有交点，则O(OA)和BC没有交点。) (1)若O在BC上 在圆上找一点D，做D对AB对称点E(作图法2) 做DE的中点M,N(作图法8) M,N即为所求 7 (二)证明：(1)OM=ON=O'M=O'N MN为OO'的中垂线 BC为OO'的中垂线 M,N在BC上 M,N也在O(OA)上 M,N为O(OA)和BC的交点 (2)AB为DE的中垂线 OD=OE，E也在O(OA)上 一弧的中点及圆心联机为所对的弦的中垂线 M,N在DE的中垂线AB上 8 十、给定A,B,C,D四点，做AB和CD的交点F (一)方法：作C,D对AB的对称点C',D'(作图法2) 做E使CC'D'E为平行四边形(作图法4) 做x使得D'E/DD'=C'D'/x(作图法7) 做D(x)和D'(x)交于F F即为所求 (二)证明：CC'AB，DD'AB，DECC' DD'CC'，D,D',E三点共线 C'D':C'E:ED'=D'F:FD:D'D=1:1:(DD'/x) » DD'F FD'D= C'D'E， FDD'= C'ED'= DCC' F在CD，C'D'上 DF=D'F F在DD'的中垂在线 F在AB 9 C'D'E 十一、给定点A,B，作出AB上的其他点 (一)方法：作B(AB)与A(AB)交于E,F 分别以E,F为圆心，任意长为半径， 画圆交于C,D两点 C,D皆在AB上 (二)证明：AB=AE=AF=BE=BF AB为EF的中垂线 DE=DF=CE=CF CD为EF的中垂线 A,B,C,D共线 十二、给定一圆c，求此圆之圆心 (一)方法：在c上任选两点B,C(BC要够大) 作B(BC)与c交于D 作B(BC)与D(CD)交于F 作F(CF)与C(BC)交于E,G 作E(CE)与G(CG)交于A A即为所求 (二)证明：设c的圆心为A'，BC=BF=CD=DF=AE=AG=a，CF=EF=FG=b BCA'=CBA'，BCF=BFC BCA'»CFB A'D=A'C=A'B=a2/b CGF=GCF，GCA=GAC CGF»CAG AB=AD=AC= a2/b A即为A' 10 十三、给定A,B,C三点，作C对AB的垂足D (一)方法：作C对AB的对称点E(作图法2) 作CE中点D(作图法6) D即为所求 (二)证明：根据对称性质可知，对称点联机垂直于对称轴且被对称轴平分 十四、已知点A,B,C，求点D，使BD平分ABC (一)方法：作B(AB)与BC交于E(作图法9) 作E(BE)和A(AB)交于D D即为所求 11 十五、给定点A,B，作一以AB为一边的正方形 (一)方法：作B(AB)与A(AB)交于C 作C(AB)与A(AB)交于D 作D(AB)与A(AB)交于E 作E(CE)与B(BD)交于F 作E(AF)与A(AB)交于G 作G(AG)与B(AB)交于H ABHG即为所求 (二)证明：设AB为1 GA=AC=BC=AD=CD=DE=AE=AB=1 EF=CE=BE2-BC2=3 AF=GE= BG=EF2-AE2=2 AB2+AG2=BG2 GAAB AG=AB=BH=GH ABHG为正方形 12 十六、给定A,B,C三点，作ABC的垂心 (一)方法：作AD,BE分别垂直于BC,AC(作图法13) 作AD,BE的交点H(作图法10) H即为所求 十七、给定A,B,C三点，作ABC的重心 (一)方法：作AB中点E(作图法6) 作DE=1/3AB D即为所求 13 十八、给定A,B,C三点，作ABC的内心 (一)方法：作BAC, BCA的角平分线并交于I(作图法10,14) I即为所求 十九、给定A,B,C三点，作ABC的外心 (一)方法：作A(AC),C(AC)交于D,E 作B(BC),C(BC)交于F,G 作DE,FG交于O O即为所求 14 二十、给定B(AB)，作一个圆内接正五边形 (一)方法：作B(AB)与B(AB)交于C 作C(AB)与B(AB)交于D 作D(AB)与B(AB)交于E 作E(CE)与A(AD)交于F 作E(BF)与B(AB)交于G,H 作L(HE)与D(GE)交于圆内一点I 以GI为半径，在B(AB)上依次截取J,K,L,M四点 GJKML即为所求 (二)证明：设AB为1 GB=AC=BC=BD=CD=DE=BE=AB=1 EF=CE=BF=AE2-AC2=3 DI=IL=GE= BF=EF2-BE2=2 BI=22-(325-12)-12=2 GI=GB2+BI2=10-252 10-25半径为1的圆内接正五边形的边长：2cos54°=2 15 二十一、给定A,B,C三点，作ABC的九点圆 (一)方法：作出ABC三高的垂足(作图法13) 作出垂心H到三顶点的中点(作图法6,16) 作出三边的中点(作图法6)(设其中之一为N) 作出ABC三高的垂足的内心X(作图法18) X(NX)即为所求 16 陸、讨论： 本研究中的前十项作图法，是为了以圆规作图来达到与标尺作图相同的目标，分别讨论如下: 在只用圆规作图时，因为没有尺，于是我们必须利用第9及第10项的两个作图法来解决它。 但是从作图法18的图可知，圆规作图是多么的复杂！ 下列是我们尝试用不同方法做作图法18的图： 一、标尺作图： 二、GSP作图 17 三、Cabri作图 柒、结论： 将所有标尺作图的步骤展开，都在重复做下列三件事： (A)做两圆交点 (B)做圆与直线交点 (C)做两直线交点 其中(A)项很容易只用圆规作图得到， (B)项在作图法9中解决了， (C)项在作图法10中解决了， 所以，所有标尺作图可以做到的图，圆规作图都能做得到！ 捌、参考数据： 一、名人趣题妙解 九章出版社 二、陈创义个人网页-标尺作图 http:/www.math.ntnu.edu.tw/cyc/_private/m1102.doc 三、Geometric Construction with the Compass Alone http:/www.cut-the- 四、国中数学康轩版二下 18