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人教选修21椭圆测试椭圆测试题 1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 解析:由于|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|,故动点M的轨迹不表示椭圆,而是以F1,F2为两端点的一条线段. 答案:D 2. “1<m<3”是“方程A.充分不必要条件 C.充要条件 + + =1表示椭圆”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 所以1<m<3；选B.当方程=1表示椭圆时，必有但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，如当m=2时，方程变为x2+y2=1，它表示一个圆. 3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( ) A.13 B.33C.1 2D.3232解析:由题意知,2a=4b,又b2=a2-c2, 得到4c2=3a2,e2=34,e=2. 答案:D 4.已知ABC的顶点B、C在椭圆x3+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是( ) A.23 B.6 C.43 D.12 解析:由椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC的周长为4a=43. 答案:C 5如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A(0,+¥) B(0,2) C(1,+¥) D(0,1) y2x22=1,>2Þ0<k<1 解：D 焦点在y轴上，则+22kk6.过点(3,-2)且与x9+y4=1有相同焦点的椭圆是 ( ) 22yyyyxxxxA.15+10=1 B.225+100=1 C.10+15=1 D.100+225=1 22222222解析:椭圆的焦点坐标是(±5,0),焦点在x轴上,故排除C、D;代入坐标(3,-2)排除B. 答案:A 7.设a>b>0,k>0且k1,则椭圆C1:A.顶点 +=1和椭圆C2:+ =k具有相同的( ) D.长轴和短轴 B.焦点 C.离心率 +=k,即=. +=1, 选C.椭圆C2:离心率=8.若方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，则k的取值范围是( ) (-¥,-2)U(2,+¥) (B) (-2,-2)U(2,3) (C) (-2,-2)U(2,2)U(2,3) (D) (-2,3) 选C x2y20+=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF9F1,F2 是椭圆1F2=45，97则AF1F2的面积为 A7 B7775 C D 422解：C F1F2=22,AF1+AF2=6,AF2=6-AF1 AF22=AF12+F1F22-2AF1×F1F2cos450=AF12-4AF1+8 7(6-AF1)2=AF12-4AF1+8,AF1=, 21727S=´´22´= 222210.若直线mx+ny=4和O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( ) B.至多一个 C.1个 D.0个 A.2个 选A.若直线与圆没有交点, 则d=>2,解得m2+n2<4,即<1, 所以+<1, 所以点(m,n)在椭圆内部, 故直线与椭圆有2个交点,故选A. x2y2=1的左右焦点分别为F1,F2，弦AB过F1，若DABF2的内切圆周长11. 椭圆+2516为p，A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则y1-y2值为 A 选A. 12.如果椭圆+A.x-2y=0 53B10 3C520 D3 3=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则两式相减再变形得+k=0. 又弦中点为(4,2),故k=-, 故这条弦所在的直线方程为y-2=-(x-4), 整理得x+2y-8=0.故选D. 二填空题 x13.已知椭圆的标准方程为25+2y2m=1(m>0)并且焦距为6,则实数m的值为 . 解析:2c=6,c=3. 当焦点在x轴上时,a=25,m=16. 当焦点在y轴上时,b=25,m=34. 答案:16或34 14.已知椭圆的方程为x21622+m2=1(m>0).如果直线y=2y222x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率为_. 解析:设椭圆右焦点F(c,0),则M(c,ba). 又M在直线y=222222x上, c=ba. e=1-e2.e=22222. 答案: x2y2+=1的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时,点P横坐15椭圆94标的取值范围是 。 解：(-3535,) 可以证明PF1=a+ex,PF2=a-ex,且PF12+PF22<F1F22 555，则(a+ex)2+(a-ex)2<(2c)2,2a2+2e2x2<20,e2x2<1 3而a=3,b=2,c=5,e=x2<1113535,-<x<,即 -<e<2eee55+=1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是 . 16.过椭圆椭圆的左焦点为(-4,0),由得34x+200x+175=0,所以2x1+x2=-所以|AB|=,x1x2=×. =× =. 答案:三解答题 17.椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆长轴端点的最短距离为3,求此椭圆的标准方程. 解:当焦点在x轴上时, x设椭圆方程为a2+2y2b2=1(a>b>0), 由题意知a=2c,a-c=3, 解得a=23,c=3,所以b2=9, x所求的椭圆方程为12+2y29=1. 2同理,当焦点在y轴上时,所求的椭圆方程为x9+12=1. 18.已知P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2y+b0)上一点,若2=1(a>b>2y2uuuuuuuruuuuuuurPF1×PF2=0,tanÐPF1F2=2,求该椭圆的离心率. uuuuuuuruuuuuuur|PF2|PF1|解:由PF1F2=1PF2,tanÐPF1×PF2=0得PF又tanÐPF1F2=2. 故|PF2|=2|PF1|. 又|PF1|+|PF2|=2a, 故|PF1|=2. 2a3,|PF2|=24a3, 2|PF1|+|PF2|=|F1F2|, 即(23a)2+(43a)2=4c2, 所以e=ca=53. x2y2+=1的右焦点，在椭圆上求一点M， 19已知定点A(-2,3)，F是椭圆1612使AM+2MF取得最小值。 1x2y2+=1的a=4,c=2,e=，记点M到右准线的距离为MN 解：显然椭圆21612则1=e=,MN=2MF，即AM+2MF=AM+MN MN2MF当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时，AM+2MF取得最小值， x2y2+=1得Mx=±23 此时My=Ay=3，代入到1612而点M在第一象限，M(23,3) 20.已知椭圆C的焦点F1(-22,0)和F2(22,0),长轴长6,设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标. 解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c=22,a=3,从而b=1, 所以其标准方程是x9+y2=1. 2ìx9+y2=1,联立方程组 í îy=x+2,消去y得,10x2+36x+27=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), AB线段的中点为M(x0,y0), 那么x1+x2=-18 5,x29 所以y0=x0+2=1. x0=x1+52=-5,1也就是说线段AB的中点坐标为(-9. 5,5)221.已知椭圆的短轴长为23,焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0). (1)求这个椭圆的标准方程; (2)如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点,求m的取值范围. 解:(1)2b=23,c=1, b=3,a2=b2+c2=4. 椭圆的标准方程为x4+2y23=1. ìïy=x+m,(2)联立方程组 í2y2 xïî4+3=1,消去y并整理得7x+8mx+4m-12=0. 若直线y=x+m与椭圆x4+22222y23=1有两个不同的交点, 则有D=(8m)-28(4m-12)>0, 即m<7,解得-7<m<7. 222.已知椭圆x2a2+b2=1(a>b>0)的离心率e=y263,焦距是函数f(x)=x2-8的零点. (1)求椭圆的方程; (2)若直线y=kx+2(k¹0)与椭圆交于C、D两点,|CD|=652,求k的值. 解:(1)由题意,令x-8=0得x=±22,c=c又a=6322. ,a=3. 2椭圆方程为x3+y2=1. (2)设C(x1,y1),D(x2,y2), 由 íx2ìy=kx+2,22 得(1+3k)x+12kx+9=0. 2î3+y=1ìD=(12k)2-36(1+3k2)>0,ïï12kx1+x2=-1+, í 3k2ï9x1×x2=1+3.ïk2î|CD|=1+k×(x1+x2)-4x1×x2=解得k2=3,k=±3. 22625.
