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人教数学年级下册知识点总八年级数学下册知识点总结 第十六章 分式 1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子式。 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零. 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 AA¸CAA×C =()C¹0BB×CBB¸C3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 acacacadad ×=;¸=×=(a¹0)bdbdbdbcbc分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 anan =nbb 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 aba±bacadbcad±bc±=,±=±= cccbdbdbdbdA叫做分B混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 a-n=5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a0=1(a¹0)；当n为正整数时，1an6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n是整数) mnm+na×a=a同底数的幂的乘法：； mnmn幂的乘方：(a)=a; nnn(ab)=ab； 积的乘方：mnm-n同底数的幂的除法：a¸a=a( a0)； anan商的乘方：=n；(b0) bb7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式，把分式方1 程转化为整式方程。 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤 ：能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法 (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效 (4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水 8.科学记数法：把一个数表示成a´10n的形式的记数方法叫做科学记数法 用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n-1 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 第十七章 反比例函数 1.定义：形如y的函数称为反比例函数。 2.其他形式 xy=k y=kx-1 y=k 都是。 3.图像：反比例函数的图像属于双曲线。 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。 对称中心是：原点 3.性质:当k0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小。 当k0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴 所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 2 kx1x 第十八章 勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 4 .直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90°ÞA+B=90° 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30° 可表示如下： ÞBC =AB AD12 C=90° 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ACB=90° 12CB 可表示如下： ÞCD =AB = BD = AD D为AB的中点 5 直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 6、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ACB = 90° CD=AD·BD Þ AC=AD·AB CDAB BC=BD·AB 7、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC 222 3 第十九章 四边形 一、平行四边形： .平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 .平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。 . 平行四边形的面积： 1. 平行四边形的面积=底×高= ah 2. 同底同高的平行四边形面积相等。 .平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 提示：平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件； 判定方法可作为 “画平行四边形”的依据； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。 三角形中的中位线 1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 提示：三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。 ； 三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。 3、三角形中位线定理的作用： 4 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 两条平行线间的距离 1、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 2、性质： 两条平行线间的距离处处相等； 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。 二、矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质： 矩形具有平行四边形的一切性质； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线平分且相等； 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。 提示： “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等； 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。 3、矩形判定方法： 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。 三、菱形 1、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质： 矩形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 菱形是轴对称图形。 提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系， 5 可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。 3、菱形的判定方法： 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 判断方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 判断方法2：四条边相等的四边形是菱形。 4、菱形面积的计算： 菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab 归纳：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。 四、正方形 1、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 警示： 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形； 既是矩形又是菱形的四边形是正方形； 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。 2、正方形的性质： 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 边 四条边都相等，邻边垂直、对边平行； 角 四个角都是直角； 对角线 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴。 特殊性质 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°； 正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 3、正方形的判定： 判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条： 先证它是矩形，再证它有一组邻边相等； 先证它是菱形，再证它有一个角是直角。 五、梯形 1、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2、梯形的分类： 一般梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形。 等腰梯形 3、等腰梯形的性质： 等腰梯形两腰相等，两底平行； 等腰梯形同一底边上的两个角相等； 等腰梯形的两条对角线相等。 6 等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴。 4、等腰梯形的判定： 两腰相等的梯形是等腰梯形； 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 对角线相等的梯形是等腰梯形。 提示：等腰梯形的判定思路：先证四边形为梯形，再证两腰相等或同一底上的两个角相等。 5、解决梯形问题常用辅助线的作法： 解决梯形问题常用辅助线的作法如下图： “平移腰”：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形； “作高”：使两腰在两个直角三角形中； “平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中； “延长两腰” :构造具有公共角的两个三角形； “等积变形”:连接梯形一腰的端点和另一腰中点，并延长与底的延长线交于一点，构成三角形。 转化 综上所述，解决梯形问题的基本思想和方法：梯形问题三角形或平行四边形问题， 分割、拼接 这种思路常常通过平移或旋转来实现。 六、重心 1、重心的定义：平面图形中，几何图形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平衡状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，也叫做重心。 2、几种几何图形的重心： 线段的重心就是线段的中点； 平行四边形及特殊平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心； 任意多边形都有重心，以多边形的任意两个顶点作为悬挂点，把多边形悬挂时，过这两点铅垂线的交点就是这个多边形的重心。 提示： 无论几何图形的形状如何，重心都有且只有一个； 从物理学角度看，几何图形在悬挂或支撑时，位于重心两边的力矩相同。 7 3、常见图形重心的性质： 线段的重心把线段分为两等份； 平行四边形的重心把对角线分为两等份； 三角形的重心把中线分为1:2两部分。 七、中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。 不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的面积为原四边形面积的一半。 (不需要原四边形有特殊形状) 平行四边形的中点四边形是平行四边形 矩形的中点四边形是 菱形 菱形的中点四边形是矩形； 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 第二十章 数据的分析 1.算术平均数：X=1(+nX1X2+×××+X) n2.加权平均数：加权平均数的计算公式。 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。 而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。 3.将一组数据按照由小到大的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 4.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 5.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。 6. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。 数据的收集与整理的步骤：1.收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.交流 7. 平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。 8