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人教初二升初三暑假预习复习教材CCV教育 初三数学暑假教材 第2讲 一元二次方程 月 日 姓名： 1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。 3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax+bx+c=0的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 定义解释：一元二次方程是一个整式方程；只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。 ax+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 在ax+bx+c=0中，a，b，c通常表示已知数。 2、一元二次方程的解：当某一x的取值使得这个方程中的ax+bx+c的值为0，x的值即是一元二次方程ax+bx+c=0的解。 3、一元二次方程解的估算：当某一x的取值使得这个方程中的ax+bx+c的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程ax+bx+c=0的解。 2222222例1、下列方程中，是一元二次方程的是 y21-y=0； 2x2-x-3=0； 2=3； ax2=bx； 4xx=2+3x； x-x+4=0； t=2； x+3x-x-x=2； 例2、关于x的方程(m4)x+(m+4)x+2m+3=0，当m_时，是一元二次方程， 1 223223=0； x2ax=bx(a¹0) 2CCV教育 初三数学暑假教材 2当m_时，是一元一次方程. 如果方程ax+5=(x+2)(x1)是关于x的一元二次方程，则a_. 关于x的方程(2m+m-3)x 例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 2x2x+1=0 (2) 5x2+1=6x (3) (x+1)2=2x (4)-3x-4x=-8 例4、某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得 A.5(1+x)=9 B.5(1+x)=9 C.5(1+x)+5(1+x)=9 D.5+5(1+x)+5(1+x)=9 某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_. 例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m，宽为5 m，如果地2 2222m+1+5x=13是一元二次方程吗?为什么？ 2CCV教育 初三数学暑假教材 2毯中央长方形图案的面积为18 m，那么花边有多宽? 例6、如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米? 姓名： 成绩： 一、选择题 3 初三数学暑假教材 221221、下列关于x的方程：1.5x+1=0；2.3x+1=0；3.4x=ax(其中a为常数)；2x+3x=0；xCCV教育 3x2+122 =2x；(x+x) =2x中，一元二次方程的个数是 5 A、1 B、2 C、3 D、4 2、方程x2(3x2)+(x+1)=0的一般形式是 A.x5x+5=0 C.x+5x5=0 2222B.x+5x+5=0 D.x+5=0 223、一元二次方程7x2x=0的二次项、一次项、常数项依次是 A.7x,2x,0 C.7x,0,2x 222 B.7x,2x，无常数项 D.7x,2x,0 224、若x=1是方程ax+bx+c=0的解，则 A.a+b+c=1 B.ab+c=0 C.a+b+c=0 D.abc=0 二、填空题 1、将x(4x+3)=3x+1化为一般形式为_，此时它的二次项系数是. _，一次项系数是_，常数项是_。 2、如果(a+2)x+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为_. 3、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为_. 4、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x，则方程为_. 5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_. 三、解答题 1、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？ 2姓 名 成 绩 家长签名 一、填空题 4 CCV教育 2 初三数学暑假教材 1、方程5(x2x+1)=32x+2的一般形式是_，其二次项是_，一次项是_，常数项是_. 2、若关于x的方程(a-1)x-3ax+5=0是一元二次方程，这时a的取值范围是_ 3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_. 二、选择题 1、下列方程中，不是一元二次方程的是 ( ) A.2x+7=0 B.2x+23x+1=0 C.5x+222212+4=0 D.3x+(1+x) 2+1=0 xD.x+5=0 22、方程x2(3x2)+(x+1)=0的一般形式是 ( ) A.x5x+5=0 222B.x+5x+5=0 C.x+5x5=0 223、一元二次方程7x-2x+1=5的二次项、一次项、常数项依次是 ( ) A.7x,2x,1 22B.7x,2x，无常数项 C.7x,0,2x 22D.7x,2x,-4 24、方程x3=(32)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是 ( ) A.2 B.2 C.2-3 D.1+2-23 5、若关于x的方程(dcx)=m(ac0)的二次项系数是ac，则常数项为 ( ) A.m B.bd 22 C.bdm D.(bdm) 6、若关于x的方程a(x1)=2x2是一元二次方程，则a的值是 ( ) A.2 2 B.2 C.0 D.不等于2 7、若x=-1是方程ax+bx+c=0的解，则 ( ) A.a+b+c=1 B.ab+c=0 C.-a+b+c=0 5 D.abc=0 CCV教育 初三数学暑假教材 第3讲 一元二次方程 月 日 姓名： 2(x+m)=n(n³0)的方程。 1、会用开平方法解形如2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 3、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。 1、直接开平方法解一元二次方程： 把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成(x±b)2=a(a³0)的形式 直接开平方，解得x1=mb+a,x2=mb-a 2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 3、用配方法解一元二次方程的步骤： 利用配方法解一元二次方程时，如果ax+bx+c=0中a不等于1，必须两边同时除以a，使得二次项系数为1. 移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。 方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 用直接开平方法求出方程的根。 2例1、解下列方程： x2=4 (x+3)2=9 例2、配方：填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+ x212x+ =(x )2 =(x+6)2 x2+8x+ =(x+ )2 例3、用配方法解方程 6 CCV教育 初三数学暑假教材 6x-x-12=0 23x2+8x3=0 - 1255x+x-=0 x2-x-2=0 224例4、请你尝试证明关于x的方程(m-8m+20)x+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程。 例5、 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h与时间t满足关系： h=15 t5t2小球何时能达到10m高？ ，22姓名： 成绩： 7 CCV教育 初三数学暑假教材 一、填空题 1、若x2=225，则x1=_,x2=_. 2、若9x225=0，则x1=_,x2=_. 3、填写适当的数使下式成立. x2+6x+_=(x+3)2 x2_x+1=(x1)2 x2+4x+_=(x+_)2 4、为了利用配方法解方程x26x6=0，我们可移项得_，方程两边都加上_，得_，化为_.解此方程得x1=_，x2=_. 5、将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x的4个小矩形，剩余部分的面积为12，则剪去小矩形的宽x为_. 6、如图1，在正方形ABCD中，AB是4 cm，BCE的面积是DEF面积的4倍，则DE的长为_. 7、如图2，梯形的上底AD=3 cm，下底BC=6 cm，对角线AC=9 cm，设OA=x， 则x=_ cm. 图1 二、选择题 1、方程5x2+75=0的根是 A.5 B.5 C .±5 D.无实根 2、方程3x21=0的解是 A.x=±图2 31 B.x=±3 C.x=± D.x=±3 332 3、一元二次方程x2xm=0，用配方法解该方程，配方后的方程为 A.(x1)2=m2+1 C.(x1)2=1m 4、用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时 A.加B.(x1)2=m1 D.(x1)2=m+1 1 4 B.加1 28 C.减1 4 D.减1 2CCV教育 初三数学暑假教材 B.9 C.54 D.18 5、已知xy=9，xy=3，则x2+3xy+y2的值为 A.27 三、计算题 x=16 (x-2)=4 (3)x2+5x1=0 (4)2x24x1=0 (5) x-4x-3=0 x+12x+25=0 3x-1=6x 2x-22x+1=0 四、解答题 两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长. 9 222212x6x+3=0 (6)x2x+6=0 422CCV教育 初三数学暑假教材 姓 名 成 绩 家长签名 1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x+m)=n的形式 2x+3x2=0 (2) 2、用配方法解下列方程 22(1)x+5x5=0 (2)2x4x3=0 (3) x3x-3=0 2x+7x+14=0 10 22212x+x2=0 42CCV教育 初三数学暑假教材 第4讲 一元二次方程 月 日 姓名： 1、学会一元二次方程求根公式的推导 2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。 3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。 1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式： b2b2-4ac)=对于一元二次方程ax+bx+c=0其中a¹0，由配方法有(x+， 22a4a2-b±b2-4ac当b-4ac³0时，得x=； 2a2当b-4ac<0时，一元二次方程无实数解。 2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。 3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤： 必须把一元二次方程化成一般式ax+bx+c=0，以明确a、b、c的值； 再计算b-4ac的值： 222-b±b2-4ac当b-4ac³0时，方程有实数解，其解为：x=； 2a2当b-4ac<0时，方程无实数解。 2例1、推导求根公式：ax+bx+c=0 2例2、利用公式解方程： 11 CCV教育 2 初三数学暑假教材 2 x-2x-2=0 2x+7x=4 2-x-4x+1=0 x-43x+10=0 2例3、已知a，b，c均为实数，且a2-2a+1b1(c3)20，解方程ax+bx+c=0 2例4、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x1与B=3x22相等吗？ 例5、一元二次方程(m1)x3mx(m3m4)0有一根为零，求m的值及另一根 222姓名： 成绩： 12 CCV教育 初三数学暑假教材 1、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是 12±122-3´4-12±122-3´4A.x1、2= B.x1、2= 22-(-12)±(-12)2-4´3´412±122+3´4C.x1、2= D.x1、2= 2´322、方程x2+3x=14的解是 A.x=3±65 2 B.x=-3±653±23-3±23 C.x= D.x= 2223、下列各数中，是方程x2(1+5)x+5=0的解的有 ( ) 1+5 15 1 5 A.0个 2 B.1个 C.2个 D.3个 5、若代数式x6x5的值等于12，那么x的值为( ) A1或5 2 B7或1 C1或5 D7或1 6、关于x的方程3x2(3m1)x2m15有一个根为2，则m的值等于( ) A2 B1 22 C2 D1 27、当x为何值时，代数式2x7x1与4x1的值相等? 9、用公式法解下列各方程 x2+6x+9=7 12x+7x+1=0 x-42x+8=0 2x-3x-5=0 13 222CCV教育 初三数学暑假教材 x2-x-1=0 3x2-5x+1=0 (2x-1)(x-3)=4 2x2-3x-2=0 5x2-8x=-1 姓 名 1、方程(x5)26的两个根是( ) 4y2-(2+8)y+2=0 (y-2)(y+1)+y(y-1)=0 x2+2mx-3nx-3m2-mn+2n2=0 绩 家长签名 14 成CCV教育 初三数学暑假教材 Bx1x256 Dx156，x256 Ax1x256 Cx156，x256 2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为_，确定_的值，当_时，把a,b,c的值代入公式，x1，2=_求得方程的解. 3、当x为何值时，代数式2x7x1与x19的值互为相反数? 224、用公式法解下列方程： x2-7x+1=0 x2-x=2 3x2+1=2 x(x+8)=0 0.8x2+x=0.3 x2=7x 15 CCV教育 初三数学暑假教材 第5讲 一元二次方程 月 日 姓名： 1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。 2、会用分解因式解某些简单的数字系数的一元二次方程。 3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。 1、 分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。 2、分解因式法的理论依据是：若a×b=0，则a=0或b=0 3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： 将方程的右边化为零； 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。 例1、方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是_ 方程(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是_ 例2、 用分解因式法解下列方程 3x-6x=0 3(x-5)=2(5-x) x-2x+1=0 4x+8x=-4 (3x+2)-(x+3)=0 49(x-3)=16(x+6) 16 22222222CCV教育 初三数学暑假教材 例3、23是方程x2+bx1=0的一个根，则b=_，另一个根是_. 例4、已知a25ab+6b2=0，则125x+x-6=0 (x1)24(x1)210 42ab+等于 ba111111A.2 B.3 C.2或3 D.2或3 232332例5、解关于x的方程：(ab)x+4abxab 例6、x为何值时，等式x-x-2+2x-3x-2=0 2222222姓名： 成绩： 一、填空题 17 CCV教育 初三数学暑假教材 1、用因式分解法解方程9=x2-2x+1 (1)移项得 ； (2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x1 = ， x2= 。 2、方程t(t3)28的解为_ (2)方程(2x1)3(2x1)0的解为_ 23、用因式分解法解方程5-2x=0，可把其化为两个一元一次方程 和 求解。 方程x216=0，可将方程左边因式分解得方程_，则有两个一元一次方程_或_，分别解得：x1=_,x2=_. 4、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ， 该方程可化为=0 5、已知x27xy+12y2=0，那么x与y的关系是_. 6、小英、小华一起分苹果，小华说：“我分得苹果数是你的3倍。”小英说：“如果将我的苹果数平方恰好等于你所得的苹果数。”则小英、小华分得的苹果个数分别是 。 二、选择题 1、方程3x2=1的解为 A.±1 3B.±3 C.1 3 D.±3 32、2x(5x4)=0的解是 A.x1=2，x2=4 5B.x1=0，x2=54 C.x1=0，x2= 45D.x1=14，x2= 253、下列方程中适合用因式分解法解的是 A.x2+x+1=0 B.2x23x+5=0 D.x2+6x+7=0 C.x2+(1+2)x+2=0 4、若代数式x2+5x+6与x+1的值相等，则x的值为 A.x1=1，x2=5 C.x1=2，x2=3 B.x1=6，x2=1 D.x=1 5、已知y=6x25x+1，若y0，则x的取值情况是 A.x1且x1 6B.x11 C.x 2318 D.x11且x 23CCV教育 初三数学暑假教材 5 C.x=3 25或x=3 26、方程2x(x+3)=5(x+3)的根是 A.x=5 2 B.x=3或x= D.x=7、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是 A.(2x2)(3x4)=0 22x=0或3x4=0 B.(x+3)(x1)=1 x+3=0或x1=1 C.(x2)(x3)=2³3 x2=2或x3=3 D.x(x+2)=0 x+2=0 8、方程ax(xb)+(bx)=0的根是 A.x1=b,x2=a B.x1=b,x2=11 C.x1=a,x2= abC.2 D.x1=a,x2=b22 9、若一元二次方程(m2)x2+3(m2+15)x+m24=0的常数项是0，则m为 A.2 B.±2 D.10 三、解下列关于x的方程 (1)x212x0； (3)(x1)(x3)12； (4)x24x210； (5)3x2x10； (6)10xx30； (7)4(3x+1)2-9=0 (8) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3) 姓 一、选择题 1、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是 19 22(2)4x210； 名 成 绩 家长签名 CCV教育 初三数学暑假教材 3A.只有一个根x= B.只有一个根x=0 433C.有两个根x1=0,x2= D.有两个根x1=0,x2=- 44A.x=1或x=-2 B.必须x=1 C.x=2或x=-1 D.必须x=1且x=-2 2、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是 3、若方程(x-2)(3x+1)=0，则3x+1的值为 A. 7 B. 2 C. 0 D. 7 或0 4、方程5x(x3)3(x3)解为( ) Ax13，x23 5 Bx33 Cx1，x23 55Cy2 Dx13，x23 55、方程(y5)(y2)1的根为( ) Ay15，y22 By5 D以上答案都不对 二、用因式分解法解下列方程： (1)t(2t1)3(2t1)； (2)y7y60； (3)y152y (4)(2x1)(x1)1 2220 CCV教育 初三数学暑假教材 第6讲 判别式和根与系数的关系 月 日 姓名： 1、 使学生会运用根与系数关系解题 2、 对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力 1、一元二次方程的判别式：D=b-4ac， 2-b±b2-4ac当b-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，x=； 2a2当b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=-当b-4ac<0时，方程无实数解。 2、一元二次方程根与系数关系的推导： 22b； 2a对于一元二次方程ax+bx+c=0其中a¹0，设其根为x1,x2，由求根公式2-b±b2-4acbcx1=x2=，有x1+x2=-，x1×x2= 2aaa3、常见的形式： (x1-x2)=(x1+x2)-4x1x2 x1+x2=(x1+x2)-3x1x2(x1+x2) 2 x1-x2=±(x1+x2)-4x1x2 22333例1 当m分别满足什么条件时，方程2x-(4m+1)x +2m-1=0, 有两个相等实根；有两个不相实根；无实根；(4)有两个实根. 例2、已知方程x-2x-c=0的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。 21 222CCV教育 初三数学暑假教材 例3、已知方程x-5x-6=0的根是x1和x2，求下列式子的值： x1+x2 + x1x2 222x1x2+x2x1例4、已知关于x的方程3x-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且求 m的值； 求x1+x2的值. 22211+=3 ， x1x2例5、已知关于x的方程x-(1-2a)x+a-3=0有两个不相等的实数根，且关于x22的方程x-2x+2a-1=0没有实数根，问a取什么整数时，方程有整数解？ 2姓名： 成绩： 一、选择题 22 初三数学暑假教材 1、方程x2-kx-1=0的根的情况是 CCV教育 A 、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、 没有实数根 D、 与k的取值有关 2、已知关于x的一元二次方程(k-1)x-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是( ). A、±2222 B、2 C、 -2 D、0 3、设方程3x-5x+q=0的两根为x1和x2，且6x1+x2=0,那么q的值等于( ). A、-212 B、-2 C、 D、- 93924、如果方程x+mx=1的两个实根互为相反数，那么m的值为 A、0 B、1 C、1 D、±1 æbö5、已知ab0，方程ax+bx+c=0的系数满足ç÷=ac，则方程的两根之比为 è2ø22 A、01 B、11 C、12 D、23 二、填空题 21、已知方程x-3x-4=0的两个根分别是x1和x2，则x1+x2= _，x1x2= _ 2、已知方程x+ax+b=0的两个根分别是2与3，则a= ，b= 3、已知方程x+3x+k=0的两根之差为5，k= 4、已知方程x-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= 方程 4x+2mx+5=0的一个根是另一个根的5倍，则m= ； 5、以数2+1,2-1为根构造一个一元二次方程 三、简答题 1、讨论方程(1-m)x-4(m-1)x-4=0的根的情况并根据下列条件确定m的值。 两实数根互为倒数 两实数根中有一根为1。 2、求证：不论k取什么实数，方程x(k+6)x+4(k-3)=0一定有两个下相等的实数根？ 23 2222222CCV教育 初三数学暑假教材 3、已知方程x-3x+c=0的一个根是2，求另一个根及c的值。 24、已知方程2x-4x-5=0的两个根分别是x1和x2，求下列式子的值： x1-x1x2+x2 5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数. 222姓 名 成 绩 家长签名 1、如果-5是方程5x+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值. 24 2CCV教育 初三数学暑假教材 2、设关于x的方程x+(2k+1)x+k-2=0 的两实数根的平方和是11 ， 求k的值。 3、设x1,x2是方程2x+4x-3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： 22225 CCV教育 初三数学暑假教材 第7讲 列方程解应用题 月 日 姓名： 3、 学会分析具体问题中的数量关系，建立数学模型并解决实际问题 4、 加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养 1、 一元二次方程的解法：配方法；公式法；十字相乘法 2、 列方程解应用题的一般步骤： 要读懂题目中的关键词以及所涉及的运算； 用字母x表示未知数，并准确的用含有x的代数式表示题目中涉及的量； 努力找出相等关系，列出方程并求出其根； 结合实际情况选择恰当的根。 例1、台门中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计现有三位学生各设计了一种方案，问三种设