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人教九年级数学上册 第22章 二次函数知识点汇总 2.二次函数y=ax的性质 2二次函数知识点汇总 姓名： 。 21.定义：一般地，如果y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)，那么y叫做x的二次函数. (1)抛物线y=ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y=ax的图像与a的符号关系. 当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点；当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点 3.二次函数 y=ax+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 24.二次函数y=ax+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)+k的形式，其中2222h=-b4ac-b2. ，k=2a4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y=ax；y=ax+k；y=a(x-h)；y=a(x-h)+k；y=ax+bx+c. 26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a决定抛物线的开口方向： 当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 b4ac-b2bö4ac-b2æ2(1)公式法：y=ax+bx+c=açx+，顶点是，对称轴是÷+2a4a2a4aèøb直线x=-. 2a2(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y=a(x-h)+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是x=h. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 9.抛物线y=ax+bx+c中，a,b,c的作用 (1)a决定开口方向及开口大小，这与y=ax中的a完全一样. 2(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax+bx+c的对称轴是直线x=-b,故：2222ab=0时，对称轴为y轴；b>0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧； ab<0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. a(3)c的大小决定抛物线y=ax+bx+c与y轴交点的位置. 当x=0时，y=c，抛物线y=ax+bx+c与y轴有且只有一个交点(0，c)： 1 22c=0，抛物线经过原点; c>0,与y轴交于正半轴；c<0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b<0. a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 (0,0) (0, k) (h,0) (h,k) y=ax2 x=0(y轴) 2y=ax2+k y=a(x-h) y=a(x-h)+k2当a>0时 开口向上 当a<0时 开口向下 x=0(y轴) x=h x=h bx=- 2ay=ax+bx+c 11.用待定系数法求二次函数的解析式 2b4ac-b2，(-) 2a4a根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 一三点式。 21，已知抛物线y=ax+bx+c 经过A，B，C三点，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A，求抛物线的解析式。 二顶点式。 1，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为，求抛物线的解析式。 三交点式。 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点，求抛物线y=四定点式。 1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y=-2221a(x-2a)(x-b)的解析式。 2125-ax+x+2a-2经过x 轴上一定22点Q，直线y=(a-2)x+2经过点Q,求抛物线的解析式。 2，抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 五平移式。 2，把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h) +k,求此抛物线解析式。 2，抛物线y=-x+x-3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 六距离式。 1，抛物线y=ax+4ax+1(a0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2 2222222，已知抛物线y=m x+3mx-4m(m0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 七对称轴式。 1，抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。 1，已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B两点，交 y轴于点C,且OB-OA=求此抛物线的解析式。 八对称式。 1.平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A，AC=16，D。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。 2.求与抛物线y=x+4x+3关于y轴对称的抛物线的解析式。 九切点式。 1，已知直线y=ax-a(a0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A,求抛物线的解析式。 十判别式式。 1.已知关于X的一元二次方程x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x+(m+1)x+3解析式。 2.已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。 3.已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。 12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线y=ax+bx+c得交点为(0,c) (2)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c). (3)抛物线与x轴的交点 二次函数y=ax+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对一元二次方程 2222222222222223OC，4ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点ÛD>0Û抛物线与x轴相交； 有一个交点(顶点在x轴上)ÛD=0Û抛物线与x轴相切； 没有交点ÛD<0Û抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设2纵坐标为k，则横坐标是ax+bx+c=k的两个实数根. (5)一次函数y=kx+n(k¹0)的图像l与二次函数y=ax+bx+c(a¹0)的图像G的交2点，由方程组 3 ìy=kx+n的解的数目来确定： í2îy=ax+bx+c方程组有两组不同的解时Ûl与G有两个交点; 方程组只有一组解时Ûl与G只有一个交点；方程组无解时Ûl与G没有交点. 2(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax+bx+c与x轴两交点为bcA(x1，0)，B(x2，0)，由于x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，故 x1+x2=-,x1×x2= aaAB=x1-x2=(x1-x2)2=(x1-x2)2b2-4acDæbö4c -4x1x2=ç-÷-=aaaèaø2213二次函数与一元二次方程的关系： (1)一元二次方程y=ax+bx+c是二次函数y=ax+bx+c当y的值为0时的情况 (2)二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax+bx+c=0的根 2(3)当二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程2222y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个2交点时，则一元二次方程ax+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax+bx+c2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax+bx+c=0没有实数根 14.二次函数的应用： (1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值； (2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值 2知识点一、二次函数的概念 1下列函数中，其形状为抛物线的是 Ay=-3112 By=-x+5 Cy=x Dy=x x2222若函数y=(m+1)xm+1-3x+1是二次函数，则m的值为 . 3若二次函数y=x2+mx+1的图象经过点，则m的值为 . 4 知识点二、二次函数的图象和性质 1、二次函数的性质： 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 练一练： 函数 开口方向 .即当x .即当x .即当x .即当x 对称轴 时， y随x的增大时，y随x的增大时， y随x的增大时，y随x的增大顶点坐标 y=ax2+bx+c a0时，开口 ； a0时，开口 。 y=a(x-h)+k 2a0时，开口 ； a0时，开口 。 y=-x2 y=2x2+1 y=-3(x-2)2 y=-2(x+5)2-1 y=x2+2x-3 2、二次函数的增减性以 分界. 当a0，在对称轴的左侧，曲线从左往右 而 ； 在对称轴的右侧，曲线从左往右 而 . 当a0，在对称轴的左侧，曲线从左往右 而 ； 在对称轴的右侧，曲线从左往右 而 . 3、二次函数的最值在 处取得. 当a0时，抛物线开口向上，顶点是最 点， 因而y有 值； 当a0时，抛物线开口向下，顶点是最 点， 因而y有 值； 练一练： 二次函数y=-2(x+5)-1，当x 时，y有最 值为 ； 当x 时，y随x的增大而 ；当x 时，y随x的增大而 。 抛物线y=x2+x+2上三点、(1，b)，则a、b、c的大小关系是 A、abc B bac C cab D无法比较大小 5 24、二次函数的平移规律：平方内 ， 。 把抛物线y=-2x+1向左平移2个，再向上平移3个单位，所得的函数关系式是 A、y=-2(x-2)2+4 B、y=-2(x-2)2-2 C、y=-2(x+2)2+4 D、2y=-2(x+2)2-6 将抛物线y=x2+2x+5先向下平移1个，再向左平移4个单位，则平移后的函数式是： 练一练： 已知抛物线的解析式为y=-(x-1)+4，请按下列要求作答： 开口向_，顶点坐标是_，对称轴是_， 在右边空白处画出它的大致图像； 观察图像，当x 时，y随x的增大而 ， 当x 时，y随x的增大而 ， 当x=_时，y有最_值 = _。 图像与x轴的交点是： ，与y轴的交点是： 。 当 时，y> 0；当 时, y< 0。 抛物线y=-(x-1)+4可以看作是由抛物线y - x2向 平移 个单位， 再向 平移 个单位得到的. 知识点三、二次函数的顶点坐标的求法：1、 法 2、 法、 3、 法 1、说出下列二次函数的顶点坐标和对称轴 1y2 (x1)23 y (x-5)24y3 (x4)21 y (x2)23 2 一般地，二次函数ya(x-h)k，其顶点坐标为 2、用简捷的方法求出下列二次函数的顶点坐标 y=x-2x-1y= 3、已知抛物线y=-x2+2x+2 该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； 列表、描点、连线，得函数图象； y2222126-3xx-8x-10y=60x-1.5x2y=·x 32x y 1-5-4-3-2-1O12345-1x若该抛物线上两点A，B的 横坐标满足x1x21，试比较y1与y2的大小 6 知识点四、二次函数的顶点坐标及其运用 1对于二次函数y=x2-2x+m，当x= 时，y有最小值 2若抛物线y=12x+mx+3的对称轴是直线x=4，则m的值为 。 23已知二次函数y=a(x-1)2+b有最小值 1，则a与b之间的大小关系是 Aab Ba=b Cab D不能确定 4抛物线y3x+6xc的顶点是，则c 5抛物线y4x22xm的顶点在x轴上，则m_ 26已知二次函数y=2x+bx+c顶点坐标为，则b= ，c= 。 27已知二次函数yxx1，当x1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是 A、m1 B、m3 C、m1 D、m1 知识点五、二次函数的轴对称性及其运用： 关于抛物线的对称点， 从图象上看， 的两个点为对称点； 从数值来看， 的两个点为对称点； 中点坐标公式：x 轴上两点x1 、x2的中点坐标 x . 练一练： 1观察下列图形，利用二次函数图象的轴对称性，回答以下问题： 如下图1点A的坐标为；如下图2抛物线的对称轴是 . 图1 图2 图3 2小颖用几何画板软件探索方程ax+bx+c=0的实数根，作出了如上图3所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.5，则方程的另一个近似根为 . 3已知二次函数y=ax+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示： 222x y 0 4 1 1 2 0 3 1 4 4 点A、B在函数的图象上，则当1<x1<2,3<x2<4时， y1与y2的大小关系正确的是 Ay1>y2 B y1<y2 C y1³y2 D y1£y2 4用中点法求二次函数y=(x-30)(100-2x)的最值。 7 知识点六、待定系数法求二次函数解析式: 、已知抛物线经过点A，B，C，求抛物线解析式 解：设二次函数关系式为y = 分别代入A，B，C可得： 已知抛物线的顶点为P，且过点A，求此抛物线的解析式。 解：因顶点P为为，故设解析式为y=a(x-)2+ ， 代人A，可得： 已知一抛物线与x轴的交点是A，B，且经过C 求该抛物线的解析式及其顶点坐标。 解：已知抛物线与x轴的两个交点A，B， 故可设交点式：ya 代人，可得： 练一练：1试根据图中所给的信息，求出二次函数的解析式 2如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=-求该二次函数的解析式； 结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围 8 O A x 22x+bx+c的图象经过B、C两点 3y C B 知识点七、二次函数的a、b、c、h、k、D的几何意义 2如下图，抛物线的解析式为yaxbxc： 如图， 由图可得： a_0 b_0 c_0 _0 由图可得： a_0 b_0 c_0 b24ac_0 知识点八、直线和抛物线的交点 1在右边的网格中作函数y=x+2x-1的图象，利用图象求： 方程x+2x-1=0的近似解 方程x+2x-1=2的近似解 方程x+2x-1=-1的近似解 2已知函数yax2bxc的图象如图所示， 则关于x的方程ax2bxc40的根的情况是 A有两个不相等的正实数根 C有两个相等实数根 B有两个异号实数根 D无实数根 22223抛物线y=x2-9x与y轴的交点是： ； 抛物线y=ax2+bx+c(a¹0)与y轴的交点是： ； 抛物线y=x-x-2与x轴的交点是： 。 抛物线错误！未找到引用源。y=-x+5x+6与x轴交点为 ，与y轴交点为 。 二次函数错误！未找到引用源。y=mx-2x-1与x轴没有交点，则m的取值范围是 。 4若抛物线y=x+mx-1与x轴有两个交点A、B，且已知AB=3,求m的值。 9 2222知识点九、二次函数与二次方程、不等式的关系 1如图1一元二次方程ax2bxc3 的解为_ 2如图2是二次函数y=ax+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是 A、-1<x<5 22 B、x>5 C、x<-1且x>5 D、x<-1或x>5 23二次函数y=ax+bx的图象如图3，若方程ax+bx+m=0有实数根，则m的最大值为A.-3 B.3 C.-5 D.9 x y 图2 图1 图3 4利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式： 方程ax2bxc0的根为_； 方程ax2bxc3的根为_； 方程ax2bxc4的根为_； 不等式ax2bxc0的解集为_； 不等式ax2bxc0的解集为_； 不等式4ax2bxc0的解集为_ 5如图，直线记为y1，抛物线记为y2： 若y1y2，则x的范围是 ； 若y1y2，则x的 值 是 ； 若y1y2，则x的范围是 。 知识点十、二次函数与实际问题 1、面积问题： 要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃ABCD，已知墙长16米， 设AB长为x米，矩形ABCD面积为S平方米。 求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ BCAD10 注：若顶点不在自变量的取值范围，函数的最值要根据结合图像来确定。 练一练 矩形的周长为48，一边长为 x，面积为y，则y与x 之间的函数关系式为 ， 当 x= 时，函数有最大值，为 。 如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速向B点方向运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速向C点运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动。设运动时间为x秒，PBQ的面积为y. 求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 求PBQ的面积的最大值. 2、最大利润问题 某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x与日销售量y之间关系如下表： x y 此时每日销售利润是多少？ 练一练 某旅行社团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元，旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的收费就降低10元。请计算当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大的营业额？ 3、抛物线型桥梁、涵洞问题：运用数学建模的思想 某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？ 11 130 70 150 50 165 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？专题一、抛物线与三角形、四边形等图形结合问题 1、二次函数y=x-6x+c的图象的顶点与原点的距离为5，求c的值 2、如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过点A、B(1,0)、C(2，1)，交y轴于点M. (1)求抛物线的表达式； (2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F， 求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标。 23、如图，已知A，B两点坐标分别为和，动点P从A开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动，并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒 当t=1秒时，求梯形OPFE的面积； t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？ 当梯形OPFE的面积等于APF的面积时，求线段PF的长 12 专题二、二次函数专项训练 1根据右表中的二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴 C有两个交点，且它们均在y轴同侧 D无交点 2二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表： x y 3 3 2 2 1 3 0 6 1 11 2x -1 2 7-7y -1 - -2 4 40 1 A只有一个交点 B有两个交点，且它们分别在y轴两侧 则该函数图象的顶点坐标为 A B C D 3已知函数y=ax+bx+c的图象如图1所示，那么关于x的方程 2ax2+bx+c+2=0 的根的情况是 A无实数根; B有两个相等实数根; C有两个异号实数根; D有两个同号不等实数根 4抛物线y=a(x+1)(x-3)(a¹0)的对称轴是直线 A、x=1 B、x=-1 2C、x=-3 D、x=3 ） 图2 5抛物线y=-3x+2x-1的图象与坐标轴交点的个数是二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，则下列关系式不正确的是 B、abc0 C、a+b+c0 D、b2-4ac0 yyy7函数y=2x2与y=-2x-3的图象可能是 D ACB8生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产现OOOOxxxxy321O1234x211有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n+14n-24，则该企业一年中应停产的月份是 A1月、2月、3月 B2月、3月、4月 13 223C1月、2月、12月 D1月、11月、12月 9如右图为抛物线y=ax2+bx+c(a¹0)的图象，回答下列问题： 图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 当x 时，y随x的增大而增大，当x= 时，函数有最 值，这个值为 。 当x= 时，y=0， 当x满足 时，y>0， 当x满足 时，y<0。 10二次函数y=x2-6x+n的部分图像如右图所示，若关于x的一元二 次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2= 。 11在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且ABx轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 12已知抛物线y=x-4x+h的顶点A在直线y=-4x-1上，求抛物线的顶点坐标 13如图二次函数经过A、B、C三点， 求此二次函数的解析式； 求该函数的顶点坐标P和与x轴的另一个交点D； 求ADP的面积； 当 时，y随x的增大而减小， 当 时，y> 0；当 时, y< 0。 14.已知二次函数y=2x+4x-2，解答下列问题： 用配方法二次函数y=2x+4x-2化成y=a(x+h)2+k的形式为 ， 该函数的开口方向是 ，对称轴方程是 ，顶点坐标是 。 选取适当的数据填入下表，并在右边的网格内描点画图； 222x y 当 时，y随x的增大而减小， 当 时，y随x的增大而增大。 15.如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线14 后几小时淹到拱桥顶? 15