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人教九年级上册数学课本知识点归人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1二次根式：把形如a(a³0)的式子叫做二次根式， “示二次根号。 2最简二次根式：若二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3化简：化二次根式为最简二次根式如果被开方数是分数或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6二次根式的性质 2(a)=a(a³0) ” 表 a(a³0) a2=a=-a(a<0) 1 ab=a·b(a³0,b³0)(乘法) aa=(a³0,b³0)bb(除法) 二、二次根式混合运算 1二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 22ax+bx+c=0(a¹0)，2、一元二次方程的一般形式其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 二、降次-解一元二次方程 1降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做2(x+a)=b的一元直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x=b或22 二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b³0时，x+a=±b，x=-a±b，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a2±2ab+b2=(a+b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2±2bx+b2=(x±b)2。 配方法解一元二次方程的步骤是：移项、配方(写成平方形式)、用直接开方法降次、解两个一元一次方程、判断2个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。 2ax+bx+c=0(a¹0)的求根公式： 一元二次方程x=-b±b2-4ac(b2-4ac³0)2a 2当b-4ac>0时，方程有两个实数根。 2当b-4ac=0时，方程有两个相等实数根。 2当b-4ac0时，方程没有实数根。 5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 2ax+bx+c=0(a¹0)中，b2-4ac叫做根的判别式：一元二次方程2ax+bx+c=0(a¹0)的根的判别式，一元二次方程通常用“D”来表示，2即D=b-4ac 3 四、一元二次方程根与系数的关系 2ax+bx+c=0(a¹0)的两个实数根是x1，x2，由求根公式 如果方程x=-b±b2-4ac2cbx1x2=x1+x2=-(b-4ac³0)a。 a，2a可算出第二十三章 旋转 一、旋转 1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2、性质 对应点到旋转中心的距离相等。 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 旋转前后的图形全等。 二、中心对称 1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 2、性质 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行且相等。 4 3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 5、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P关于原点的对称点为P 6、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P关于x轴的对称点为P。 7、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P关于y轴的对称点为P。 第二十四章 圆 一、圆的相关概念 1、圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O” 二、弦、弧等与圆有关的定义 5 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 直径等于半径的2倍。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧 三、垂径定理及其推论 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆的对称性 1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 6 1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 六、圆周角定理及其推论 1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 七、点和圆的位置关系 设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<rÛ点P在O内； d=rÛ点P在O上； 7 d>rÛ点P在O外。 八、过三点的圆 1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 4、圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补。 九、反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 十、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： 相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与O相交Ûd<r； 8 直线l与O相切Ûd=r； 直线l与O相离Ûd>r； 十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 十二、切线长定理 1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 9 2、圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离Ûd>R+r 两圆外切Ûd=R+r 两圆相交ÛR-r<d<R+r 两圆内切Ûd=R-r 两圆内含Ûd<R-r 4、两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 十五、正多边形和圆 1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 十六、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 10 3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法：先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 十八、弧长和扇形面积 1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为2、扇形面积公式：S扇=l=npr180 n1pR2=lR3602其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积：圆锥的地面半径。 4、弦切角定理：弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。 弦切角定理：弦切角等于弦与切线 夹的弧所对的圆周角。 S=1l·2pr=prl2其中l是圆锥的母线长，r是11 即：BAC=ADC 5、切割线定理 PA为O切线，PBC为O割线， 2则PA=PB·PC 第二十五章 概率初步 一、概率 1随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件一般的，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同。 (确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，) 二、概率 1.概率： 一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P=p。 概率是频率的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现。概率反映可能性大小的一般规律。 概率取值范围：0p1 12 必然发生的事件的概率P=1；不可能发生事件的概率P=0 事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0 二、求概率方法 一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件发生的概率为P=mn 。 1.列举法：一次实验中，涉及1个因素，并且可能出现的结果数目有限多个，并且它们发生的可能性都相等，把可能的结果都列出来， 求P=mn的方法。 2.列表法：当一次实验要涉及2个因素，并且可能出现的结果数目较多，并且它们发生的可能性都相等，为不重不漏地列出所有可能的结果，采用列表法。 当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率 列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率 3.树状法：当一次实验要涉及3个或更多的因素，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法 树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次13 列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n 4.游戏公平性判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平 三、利用频率估计概率 1.利用频率估计概率 大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值p就是这个事件的概率 用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确 当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率 2.模拟实验 在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验 模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果 模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据新课标要求，只要设计出一个模拟实验即可 14 第二十六章 二次函数 1、定义：一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)，那么y叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。 2、二次函数y=ax2的性质： 抛物线y=ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴； 函数y=ax2的图像与a的符号关系： 当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点； 当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点。 顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y=ax2。 3、二次函数 y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于y轴的抛物线。 4、二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)+k的形式， 2b4ac-b2，k=其中h=-。 2a4a5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y=ax2；y=ax2+k；y=a(x-h)；y=a(x-h)+k；22y=ax2+bx+c。 6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同。 平行于y轴的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0。 7、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同。 8、求抛物线的顶点、对称轴的方法 b4ac-b2bö4ac-b2æ2 公式法：y=ax+bx+c=açx+，顶点是，÷+2a4a2aø4aèb对称轴是直线x=-。 2a2 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-h)+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h。 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。 注意：用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失。 9、抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c的作用 a决定开口方向及开口大小，这与y=ax中的a完全一样。 b和a共同决定抛物线对称轴的位置。由于抛物线y=ax+bx+c的对称轴是直线。 222bb，故：b=0时，对称轴为y轴；>0时，对称轴2aab在y轴左侧；<0时，对称轴在y轴右侧。 a2 c的大小决定抛物线y=ax+bx+c与y轴交点的位置。 x=-2 当x=0时，y=c，抛物线y=ax+bx+c与y轴有且只有一个交点： c=0，抛物线经过原点； c>0,与y轴交于正半轴；c<0,与y轴交于负15 半轴。 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b<0。 a10、几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 x=0 顶点坐标 (0, k) (h,0) (h,k) y=ax2 y=ax2+k 2y=a(x-h) y=a(x-h)+k 2当a>0时 开口向上 当a<0时 开口向下 x=0 x=h x=h bx=- 2ay=ax+bx+c 2b4ac-b2，(-) 2a4a11、用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：y=ax2+bx+c。已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式。 顶点式：y=a(x-h)+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 2 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。 261 的比等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方 273 位似 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 性质 1、位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 2、位似多边形的对应边平行或共线。 3、位似可以将一个图形放大或缩小。 位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 注意 1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； 2、两个位似图形的位似中心只有一个； 3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； 4、位似比就是相似比利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； 5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。 第二十八章 锐角三角函数 281 锐角三角函数 锐角角A的正弦,余弦和正切,余切以及正割，都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边， 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边； 余切等于邻边比对边 正切与余切互为倒数，互余角的三角函数间的关系。 sin(90°-)=cos, cos(90°-)=sin, tan(90°-)=cot, cot(90°-)=tan. 同角三角函数间的关系 平方关系： tan=sin/cos，sin2+cos2=1 ·积的关系： ·倒数关系： tan·cot=1 ；sin·csc=1； cos·sec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 特殊角三角函数值 0°90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。 17 tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 锐角三角函数值都是正值 当角度在0°90°间变化时， 正弦值随着角度的增大而增大 余弦值随着角度的增大而减小 正切值随着角度的增大而增大 余切值随着角度的增大而减小 当角度在0°90°间变化时， 0sin1, 1cos0, 当角度在0°<<90°间变化时， tan>0, cot>0. 特殊的三角函数值 282 解直角三角形 勾股定理，只适用于直角三角形 a2+b2=c2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。 常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；等等. 直角三角形的特征 直角三角形两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半； 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即： 222在RtABC中，若C90°，则a+b=c； 勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三222角形是直角三角形，即：在ABC中，若a+b=c，则C90°； 222射影定理：AC=ADAB,BC=BDAB,CD=DADB A 锐角三角函数的定义： A D 如图，在RtABC中，C90°， A，B，C所对的边分别为a,b,c, aba则sinA= ,cosA= ,tanA= , ccb解直角三角形 222三边之间的关系：a+b=c 两锐角之间的关系：AB90° 边角之间的关系：sinA=C B b c C a B ÐA 的对边aÐA 的邻边b,cosA= 斜边c斜边cÐA 的对边aÐA 的邻边b,cotA= ÐA 的邻边bÐA 的对边a tanA=解直角三角形中常见类型： 18 已知一边一锐角已知两边解直角三角形的应用 第二十九章 投影与视图 291 投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影形成的投影叫做中心投影后空；先大后小；先画轮廓，后画细节。画每个 形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。对称中心线和轴线用细点划线画出。 19