交通路口红绿灯数学建模.docx

交通路口红绿灯数学建模 交通路口红绿灯 十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？ 一 问题重述 因为十字路口的交通现象较复杂，通过路口的车辆的多少依赖于路面上汽车的型号，数量和它们的行驶速度和方向以及同时穿过路口的非机动车辆的行人的状态等因素有关，因此，我们在求解“十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车”时应综合考虑各方面因素 二 模型假设 (1)十字路的车辆穿行秩序良好不会发生阻塞； (2)所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧的车辆。 (3)所有车辆长度相同，并且都是从静止状态开始匀加速启动； (4)红灯下等侍的每辆相邻车之间的距离相等； (5)前一辆车启动后同后一辆车启动的延迟时间相等。 另外在红灯下等侍的车队足够长，以至排在队尾的司机看见绿灯又转为红灯时仍不能通过路口。 参数，变量： 车长L，车距D，加速度a，启动延迟T， 在时刻 t 第 n 辆车的位置 Sn 用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当Sn(30)>0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。 三 模型建立 1.停车位模型： Sn=(n-1)(L+D) 2. 启动时间模型: tn =(n-1)T 3. 行驶模型: Sn(t)=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, t>tn 参 数 估 计 L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s 四 模型求解 解: Sn(30)=-7(n-1)+(30-(n-1)2>0 得 n£19 且 t19=18<30=t 成立。 答案: 最多19辆车通过路口. 改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速, 按最高限速运动穿过路口。 最高限速：校园内v*=15公里/小时=4米/秒， 长安街上v*=40公里/小时=11米/秒， 环城路上 v*=60公里/小时=17米/秒 取最高限速 v*=11m/s， 达到最高限速时间tn*=v* /a +tn =5.5+n-1 限速行驶模型: Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(tn *tn )2+v*(t-tn*), t>tn* =Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tn*>t>tn = Sn(0) tn>t 解：Sn(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1)>0 得 n£17 且 t17 * =5.5+16=21.5<30=t 成立。 结 论: 该路口最多通过17辆汽车. 五 模型的检验与应用 1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。 10. 调查的位置，走向，车道数，时间。 调查数据： 绿灯时间，通过的车数。分析数据不同的原因。 20. 分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。 30. 分析模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。 2. 分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。 3. 给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型。