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云飞专升本 级数部分答案第五讲 向量代数、级数、微分方程试题分析 空间向量和空间解析几何 重点关注题目 1、解：与y轴平行的平面方程可设为Ax+Cz+D=0. ì2A+3C+D=0ìA=-2D又过两点P，解得í. 1和P2，故有代入可得等式íA+C+D=0C=Dîî所以所求的平面方程为2x-z-1=0. xyz=的直线方程。 3-2-2r解：由题意易知，所求直线的方向向量为s=3,-2,-2，又过点P，所以直线方程为 2、求过点P(-1,-2,3)并且平行于直线r3、解：由题意易知，所求平面的法向量就是已知直线的方向向量，即n=1,-2,0，又过点P，所以所求平面的方程为(x-3)-2(y+1)=0即x-2y-5=0. x+1y+2z-3=. 3-2-2r4、解：已知平面的法向量为n=2,-3,1，所以过点P，并且与已知平面垂直的直线方程可写为x-3y+2z-2=. 2-31ìx=1ìx-3y+2z-2=ïï则该直线与平面的交点为：í2-31，解得íy=1. ïz=1ïî2x-3y+z=0î故P点在平面上投影点的坐标为(1,1,1). rr5、解：平面的法向量为n=2,-1,1，直线的方向向量为s=1,1,2， rr1pn×s31所以cosq=rr=，sinj=cosq=，j=. 266×62n×sp. 6rrijr6、解：直线的方向向量s=3212故直线和平面的夹角为对直线方程írkrrr1=4i-8j+4k. 3ì3x+2y+z=0ì3x+2y=0ìx=-2，令z=0，可得í，解得í， îx+2y+3z-4=0îx+2y-4=0îy=3故直线过点(-2,3,0). ìx=-2+4tx+2y-3zï=，相应的参数方程为íy=3+8t. 从而可得直线的对称式方程为4-84ïz=4tîì2x+y+z=3ï7、解：平面p与直线L的交点即解方程组：íx+2y+z=1， ïx+y+2z=4îìx=1ï可解得íy=-1.故直线与平面的交点为(1,-1,2). ïz=2îìx2+2y2-z=0228、解：曲线í2在xOy面上的投影曲线方程需要消去z，可有x-y=0. 2î2x+y-z=0ìx2-y2=0所以投影曲线方程为í. z=0î无穷级数 重点关注题目 1、解：Qr=limn®¥an+1n(n+1)=lim=1， n®¥an(n+1)(n+2)1所以收敛半径R=r=1. ¥¥11当x=1时，级数化为å，该级数与å2同敛态，故是收敛的； n=0n(n+1)n=0n(-1)n当x=-1时，级数化为å，是交错级数，满足莱布尼茨定理，故是收敛的。 n(n+1)n=0¥所以所求级数的收敛区间为-1,1. 2、解：Qr=limn®¥an+1n=lim=1， n®¥ann+11所以收敛半径R=r=1. (-1)n当x=1时，级数化为å，是交错级数，满足莱布尼茨定理，故收敛； nn=0¥当x=-1时，级数化为ån=0¥11，是p=时的p级数，故是发散的。 2n所以所求级数的收敛区间为(-1,1. ¥tn3、解：令2x+1=t，则级数可化为标准形式å. n=0nQr=limn®¥an+1n=lim=1， n®¥n+1an1所以收敛半径R=r=1. ¥¥1(-1)n当t=1时，级数化为å，显然是发散的；当t=-1时，级数化为å，是交错nn=0nn=0¥tn级数，满足莱布尼茨定理，故是收敛的。所以级数å的收敛区间为-1,1)，从而有 n=0n-1£2x+1<1，即-1£x<0. 故原级数的收敛区间为-1,0). ¥tn4、解：令x+3=t，则级数可化为标准形式å2. n=0nan+1n2Qr=lim=lim=1， n®¥an®¥(n+1)2n所以收敛半径R=1r=1. ¥¥1(-1)n当t=1时，级数化为å2，显然是收敛的；当t=-1时，级数化为å交错级2n=0nn=0n¥tn数，是收敛的。所以级数å2的收敛区间为-1,1.从而有-1£x+3£1，即-4£x£-2. nn=0故原级数的收敛区间为-4,-2. 5、解：该幂级数是缺项的幂级数。 un+12n+32n+2n!x2Qr=lim=limx×=lim=0， 2nn®¥un®¥(n+1)!n®¥(2n+1)xn+1n所以收敛半径R=1r=¥.故该级数的收敛半径为(-¥,+¥). 6、解：这是缺项的非标准形式的幂级数。 t3n令x-2=t，则级数可化为标准形式ån. n=0n4¥un+1t3n+3n4nt3Qr=lim=lim×=， n®¥un®¥(n+1)4n+1t3n4nt3当r=<1即-34<t<34时，级数是收敛的； 4t3当r=>1即t>34或t<-34时，级数是发散的； 4¥¥t3113当r=1即t=±4时，级数转化为å和-å，显然都是发散的。 4n=0nn=0nt3n故级数ån的收敛区间为-34,34.从而-34<x-2<34，即2-34<x<2+34，n=0n4¥()故原级数的收敛域为2-34,2+34. 7、解：Qr=limn®¥()an+1n=lim=1， n®¥ann+11所以收敛半径R=r=1. ¥¥1(-1)n当x=1时，级数化为å，显然是发散的；当x=-1时，级数化为å交错级nnn=0n=0数，满足莱布尼茨定理，故是收敛的。所以该级数的收敛区间为-1,1). xn根据幂级数的标准展开式可知：å=-ln(1-x)，即其和函数为-ln(1-x). nn=0¥11123111123333又. +L=+L=-ln(1-)=-ln=ln231×32×33×3123332éùxx11xê111ú8、解：f(x)=2=(-)=ê-×-ú xx-2x-34x-3x+14ê31-x+1ú3ëûxé1¥xn¥1¥xn+11¥1¥é1ùnnùnn+1=ê-ån-å(-1)xú=-ån+1-å(-1)x=-åên+1+(-1)núxn+1， 4ë3n=03n=04n=034n=04n=0ë3ûûxÎ(-1,1) 9、解：f(x)=ln(1+x)=2å(-1)n=0¥nx2n，xÎ-1,1. n¥x-3n(x-3)10、解：f(x)=lnx=ln(x-3)+3=ln3+ln(1+，)=ln3+å(-1)n33n=0xÎ(0,6. nn¥11111¥n(x+1)n(x+1)=×=å(-1)=å(-1)11、解：f(x)=， nn+1x+1x+5(x+1)+441+4n=044n=04xÎ(-5,3). 12、解：令x-1=t，则x=t+1，所以 f(x)=111111111 =-(-)=-22tx-x-2t+t-23t+2t-16+131-t21¥(-1)ntn1¥n1¥é(-1)nùn1¥é(-1)nùn， =-å-t=-+1t=-+1(x-1)åååêúêúnn+1n+16n=023n=03n=0ë23n=0ë2ûûxÎ(0,2). 13、解：令x-1=t，则x=t+1，所以 ¥11111¥(-3)ntn(-3)næ28önf(x)=×=å=(x-1)，xÎ-,÷. åçnn+132+3x3t+551+t5n=05è33øn=055¥114、解：Qf¢(x)=å(-1)nx2n， 21+xn=0(-1)nx2n+1，xÎ(-1,1). f(x)=òå(-1)tdt=å02n+1n=0n=0x¥n2n¥15、解：f(x)=lnx=lnx-ln(x+1)=ln1+(x-1)-ln2+(x-1) x+1¥¥(-1)n(x-1)néx-1ùnn =-ln2+ln1+(x-1)-lnê1+=-ln2+å(-1)(x-1)-ånú2û2ën=0n=0¥=-ln2+å(-1)n(1+n=01)(x-1)n，xÎ(0,2. n2¥¥¥11+(-1)n-1¥1(-1)n-1(-1)n-116、解：å，因为å2是收敛的，å是绝对=å2+å2222nn=02nn=0n=02nn=02nn=02n¥1+(-1)n-1收敛，也是收敛的，所以原级数å是收敛的。 22nn=0¥2n2æ2nöQr=limnç=lim=<1，由根值判别法，可知该级数是收敛的。17、解： ÷n®¥n®¥3n+13n+13èønan+12n+1×(n+1)(n+1)318、解：Ql=lim=lim×n=2>1，由比值判别法，可知该级数是3n®¥an®¥(n+2)2×nn发散的。 1-cos19、解：Qlimn®¥pp22n2¥p2n=1，又级数是收敛的，根据比较判别法的极限形式，可å2n=02n知级数(1-cos)是收敛的。 ånn=0¥p¥¥sinna11sinna20、解：Q，又正项级数是收敛的，所以级数是绝对收敛的。 £åå2222nnnn=0nn=021、解：Qå(-1)n-1n=0¥¥sin2psin2p，又Qlim=å2n®¥n2nn=0¥sin2p¥1n2=2p，且正项级数是å21nn=02n¥sin2pn-1sin2p收敛的，所以级数å也是收敛的，故有级数是绝对收敛的。 (-1)å22nnn=0n=0122、解：Qå(-1)n=0¥n-112n+3n3=ån=0¥12n+3n3，又limn®¥2n3+3n=2，又正项级12n3数ån=0¥1n3是收敛的，所以级数ån=0¥12n+3n3也是收敛的，从而n-1(-1)ån=0¥12n+3n3是绝对收敛的。 1¥n11n-11lnn23、解：Qå(-1)，又lim=lim=limn=¥，因为级数å=ån®¥1n®¥lnnn®¥lnnn=0lnnn=0n=0nn¥¥是发散的，根据比较判别法的极限形式，可知级数1是发散的。 ån=0lnn¥ 而对交错级数å(-1)n-1n=0¥1来说，满足莱布尼茨公式，故是收敛的。综上可知，级数lnnå(-1)n-1n=0¥1是条件收敛。 lnn常微分方程 重点关注题目 dyey-1=1、解：原方程可变为标准形式，这是可分离变量的方程， dxxdydxeydx=)dy=方程可化为y，即(-1+y， e-1xe-1xyy-yy两边同时积分有-y+lne+1=lnCx，即e(e-1)=Cx，也就是1-e=Cx. 原方程的解为1-e=Cx. ydye2x-y=x+y，这是可分离变量的方程， 2、解：原方程可变为标准形式dxe12ye=ex+C1即e2y=2ex+C是原方程的解。 2dy12x+y=3、解：原方程可变为标准形式，这是一阶非齐次线性微分方程，对应dxxlnxlnxdy1C=-y，该其次方程对应的通解为y=的齐次方程为. dxxlnxlnxC(x)C¢(x)2x= 令y=是对应的非齐次的解，代入有，所以有C¢(x)=2x，即lnxlnxlnx方程可化为edy=edx，两边同时积分有2yxx2+C. C(x)=x+C，所以原方程的通解为y=lnx24、解：原方程可变形为dy1-y=xe-x. dxxdy1dy1-y=0，即=dx，两边同时积分可得通解为y=Cx. dxxyx该方程对应的齐次方程为令y=C(x)x为非齐次的通解，代入原方程有C¢(x)x=xe-x，所以C¢(x)=e-x，C(x)=-e-x+C.故原方程的通解为y=(-e-x+C)x=-xe-x+Cx. 将x=1,y=0代入可得C=1x-x，所以满足初始条件的特解为y=-xe+. ee5、解：原方程可变形为dy-y=x. dxdydy-y=0，即=dx，两边同时积分可得通解为y=Ce-x. dxy该方程对应的齐次方程为令y=C(x)e-x是原方程的通解，代入可得C¢(x)e-x=x，即C¢(x)=xex，所以C(x)=xex-ex+C，故原方程的通解为y=(xex-ex+C)e-x=Ce-x+x-1. 6、解：原方程可变形为dxx-=1. dyydxxdxdy-=0，即=，两边同时求积分可得通解为x=Cy. dyyxy1，所以y该方程对应的齐次方程为令x=C(y)y是原方程的通解，代入可得C¢(y)y=1，即C¢(y)=C(y)=lny+C.故原方程的通解为x=(lny+C)y=ylny+Cy. 7、解：由题意可知：y¢=4x-2ydyy+=4x2. ，变形为xdxx该方程对应的齐次方程为dyyCdydx+=0，即=-，两边同时积分有y=. dxxxyx令y=4C(x)C¢(x)3=4x2，即C¢(x)=4x是原方程的通解，代入可得，所以xxx4+CC=x3+. C(x)=x+C.故原方程的通解为y=xx3曲线过点(1,1)，代入通解可得C=0，所以曲线的方程为y=x. 8、解：由题意可知：y¢=x-y，变为标准形式是该方程对应的齐次方程为dy-y=x. dxdydy-y=0，即=dx，两边同时积分可得通解y=Cex. dxy令y=C(x)ex是原方程的通解，代入可有C¢(x)ex=x，即C¢(x)=xe-x，所以C(x)=-xe-x-e-x+C.故原方程的通解为y=(-xe-x-e-x+C)ex=Cex-x-1. 9、解：该二阶常系数线性微分方程对应的特征方程为r-4r+3=0，解得r1=3，r2=1. 故该方程对应的通解为y=C1e3x+C2ex. 又y(0)=4，y¢(0)=8，代入通解可有：í2ìC1+C2=4，解得C1=C2=2，故对应î3C1+C2=8的特解为y=2e3x+2ex. 10、解：该方程对应的齐次方程为y¢¢+3y¢+2y=0，特征方程为r+3r+2=0，解得2r1=-2，r2=-1，故对应的通解为y=C1e-2x+C2e-x. 非齐次方程的特解可设为Ax+B，代入原方程，可得A=35，B=-.即特解为423535x-.故方程的通解为y=C1e-2x+C2e-x+x-. 242411、解：该方程对应的齐次方程为y¢¢-5y¢+6y=0，特征方程为r-5r+6=0，解得2r1=2，r2=3，故对应的通解为y=C1e2x+C2e3x. 非齐次方程的特解可设为x(Ax+B)e，代入原方程，可得A=-2x1，B=-1，即特2解为x(-11x-1)e2x.故方程的通解为y=C1e2x+C2e3x-x(x+1)e2x. 22212、解：该方程对应的齐次方程为y¢¢+y=0，特征方程为r+1=0，解得r=±i，故对应的通解为y=C1cosx+C2sinx. 非齐次方程的特解可设为Acos2x+Bsin2x，代入原方程可得A=-1，B=0，即3特解为-cos2x.故方程的通解为y=C1cosx+C2sinx-cos2x. 13、解：该方程对应的齐次方程为y¢¢+4y=0，特征方程为r+4=0，解得r=±2i，故21313对应的通解为y=C1cos2x+C2sin2x. 11，B=0，C=-即84121121特解为x-.故方程的通解为 y=C1cos2x+C2sin2x+x-. 4848非齐次方程的特解可设为Ax+Bx+C,代入原方程可得A=2¢=ex,y1¢¢=ex，代入方程有(1-x)ex+xex-ex=0显然成立，故y1是原方程的14、解：y1解。同理可验证y2是原方程的解。 又因为y1和y2是两个线性无关的，所以该微分方程的通解可写为y=C1ex+C2x.