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二项式定理习题精讲习题精选精讲 一、二项式定理 rn-rrnn n0n1n-11 +(a+b )=Cna+Cnab+L+Cnab+L+Cnb(nÎN这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)n的展开式 1.项数规律：展开式共有n+1个项 2.二项式系数规律： C0、C1、C2、×××、Cn3.指数规律： nnnn各项的次数和均为n； 二项和的第一项a的次数由n逐次降到0， 第二项b的次数由0逐次升到n. 特别地: 1、把b用-b代替 2、令a=1，b=x 3、令a=1，b=1 乘积的结果，利用计数原理分析所得结果，掌握递推法） 二、杨辉三角：表中的每一个数等于它肩上的两数的和 Crr-1rn+1=Cn+Cn 1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 2、第n行的数字个数为n个。 3、第n行数字和为2n-1。 4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。 可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 5、斜行数字之和1+2+3+.+c12111n-1= cn即c1+c2+c3+.+c12n-1=cn 1 )1 习题精选精讲 c1+4+10+c1+3+6+.+ rr2 =n-13n-1c=c 4n3即nc2+c3+c4+.+cn-1=cn rr+122223. cr+cr+1+cr+2+.+cn-1=cn/2×/3依此类推。 三、二项式展开的通项 r 6、第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三数为1×(n-1)×/2，第四个数为1×(n-1)×四、二项式系数性质 Tr+1=Cabrn n-rr二项式系数的函数观点: 从函数角度看， mn-mC=C1.对称性 n ncrn 可看成是以r为自变量的函数 f(r) ,其定义域是： 0,1,2,L,n 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。 2.增减性与最大值 当 K<nn+1项， 2 取得最大时 当n是偶数时，中间的一项第cn2n+1n-1n-1n+1+1项和第+1项， 2 、2 相等，且同时当n是奇数时，中间的两项第 cncn22取得最大值。 n2n2n012n2=C+C+C+L+C3.各二项式系数和 nnnn 常见题型及解法 一、求二项展开式 1“(a+b)n”型的展开式 例1求(3x+解：原式=(=1x4)4的展开式； 3x+1(3x+1)4)= 2xx101234432(3x)+(3x)+(3x)+(3x)+ CCCC2C44444x1432 =2(81x+84x+54x+12x+1) x2 2 习题精选精讲 =81x+84x+2121+54 xx2 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2 “(a-b)n”型的展开式 例2求(3x-1x)4的展开式； 1x)4改写成3x+(-1x)4的形式然后按照二项展开式的格式展分析：解决此题，只需要把(3x-开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3二项式展开式的“逆用” 例3计算1-3解：原式=0nnCn+9Cn-27Cn+.+(-1)3cn； 1233123n123nnnCn+Cn(-3)+Cn(-3)+Cn(-3)+.+Cn(-3)=(1-3)=(-2) 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 例1计算并求值1n2nnnn32(1)1+2C+4C+L+2C54+5(x-1)231405解:(2)原式=C5(x-1)+C5(x-1)+C5(x-1)+C(x-1)+C(x-1)+C-C35245(2)(x-1)+5(x-1)+10(x-1)+10(x-1)5555=(x-1)+1-15=x-153 3 习题精选精讲 例3若A,则bn的值( )B 与n的奇偶性相反A 一定为奇数D 与n的奇偶性相同C 一定为偶数解:nnÎN+,(2+1)=2an+bn,(an,bnÎZ)n+C(2)+L+C(2)420bn=Cn+C(2)+Cn(2)+L3n2n32an+bn=(1+2)=C+C2+C(2)nn4n0n1n2n2奇偶偶所以bn为奇数故选(A)思考能用特殊值法吗?二、通项公式的应用 1确定二项式中的有关元素 例4已知(解：Tr+1 令9ax9-)的展开式中x3的系数为，常数a的值为 4x2r3-r-9axr9-rrrr9-r22 =C9(-)=C9(-1)×2×a×xx23r-9=3，即r=8 29，解得a=-1 4依题意，得 8C9(-1)8×2-4×a9-8=2确定二项展开式的常数项、有理项 13x)10展开式中的常数项是 10-r解：Tr+1=C(x) 令5-4 r10(-31x)=(-1)C×xrrr1055-r65r=0，即r=6。 64 习题精选精讲 6 所以常数项是(-1)6C10=210 2、 求有理项 例10求(x-解：QTr+1=13x)10的展开式中有理项共有 项； Cr10(r)10-r(-31x)r=C10(-1)rxr10-4r3当r=0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数时，那么这个代数式是无理式。 3求单一二项式指定幂的系数 19)展开式中x9的系数是 ； 2x1r111rrr29-r)=C9x18-2r(-)rr=C9(-)rx18-3x 解：Tr+1=C9(x)(-2x2x29 令18-3x=9,则r=3，从而可以得到x的系数为： 1321213 C9(-)=-，填- 222例6(x-2练习：试判断在 无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由. (2)由 ( 3 x + 3 2 )100 展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？ 三、求几个二项式的和的展开式中的条件项的系数 例7(x-1)-(x-1)+(x-1)-(x-1)+(x-1)的展开式中，x的系数等于 解：x的系数是四个二项展开式中4个含x的，则有 -C2(-1)+C3(-1)-C4(-1)+C5(-1)=-(C2+C3+C4+C5)=-20 例8 特殊的系数最大或最小问题 例11在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：QTr+1=Cx11-r(-1)r r要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C11为最大，由此得r=5，从而可知最小项的系数为5(-1)=-462 C115 一般的系数最大或最小问题 例12求(x+124x)8展开式中系数最大的项； 解：记第r项系数为Tr，设第k项系数最大，则有 íìTk³Tk-1r-1-r+1 又Tr=C8.2，那么有 T³Tk+1îkk-1-k+1k-2ì³C8.2-k+2ïC8.2 í k-1-k+1k-k.2³.2ïC8îC88!8!ì³´2ïï(k-1)!.(9-K)!(K-2)!.(10-K)! 即í 8!8!ï´2³ï(K-1)!.(9-K)!K!(8-K)!î2ì1³ï íK-1K-2 21ï³î9-KK6 6 习题精选精讲 解得3£k£4， 系数最大的项为第3项T3=7x 系数绝对值最大的项 52和第4项T4=7x。 72例13在 五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和 01几个结论：1、a=b=1 , nn 或 12 nn 0 2、a=1、b=-1， n4.求证： 012 C+2C+3Cnn n+.+n+1倒序相加求和法 112n例10求证Cn+2Cn+3Cn+L+nCn n19mnC+C+C+×××+C=2nn2nn2nnnnC+C+×××+C=2-113n-1C+C+×××=cn+Cn+.=2(n=(n+2)×2n-1)Cn=n×2n-1分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 C=C,C=CLC=C 由此分析求解 0113n-1n 解:设Sn=0×Cn+Cn+2Cn+3Cn+L(n-1)Cn+nCn0nnn1nn-1nrnn-rn1Sn=nCn0+(n-1)Cn+(n-2)Cn2+L+Cnn-1+0·Cnn 2Sn=n(C+C+C+L+C=n×2n0n1n2nn-1n+C)nn14若(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4， Sn=n×2n-1 则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 ； 解： Q(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4 令x=1，有(2+3)4=a0+a1+a2+a3+a4， 令x=-1，有(-2+3)4=(a0+a2+a4)-(a1+a3) 故原式=(a0+a1+a2+a3+a4).(a0+a2+a4)-(a1+a3) =(2+3)4.(-2+3)4 7 7 习题精选精讲 =(-1)4=1 在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：1,-1,0特殊值在解题过程中考虑的比较多。 例15设(2x-1)6=a6x6+a5x5+.+a1x+a0， 则a0+a1+a2+.+a6= ； 分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解：QTr+1=C6-rr(2x)(-1) 6ra0+a1+a2+.+a6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6 =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5) =0 (2x-1)的展开式的各项系数和为_ 练习 1解：设2n(2x-1)=a0x+a1x2n2n2(n-1)+L+an展开式各项系数和为a0+a1+a2+L+an上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1)n=a0+a1+a2+L+ana0+a1+a2+L+an=n=1注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为14.已知(1-2x)=a0+a1x+a2x+L+a7x则a1+a2+L+a7=a1+a3+a5+a7=a0+a2+a4+a6=8 7278 习题精选精讲 六、利用二项式定理求近似值 例16求0.998的近似值，使误差小于0.001； 分析：因为0.998=(1-0.002)6，故可以用二项式定理展开计算。 解：0.998=(1-0.002)6=1+6.(-0.002)1+15.(-0.002)2+.+(-0.002)6 QT3=666C22.(-0.002)=15´(-0.002)=0.0000<60.001， 62 且第3项以后的绝对值都小于0.001， 从第3项起，以后的项都可以忽略不计。 6 0.998=(1-0.002)6»1+6´(-0.002)=1-0.012=0.988 小结：由(1+x)=1+n2nx+x+.+xCnCnCn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，12n因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：x2,x3,.xn等项的绝对值都很小，(1+x)n»1+nx，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：(1+x)»1+nx+nn(n-1)2x。 2 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。 七、利用二项式定理证明整除问题 例17求证：51-1能被7整除。 证明：Q51-1 =(49+2)51-1 =5150492505149+.49.2+.49.2+.+.49.2+.2C51C51C51C51C51-1 01250515151-1 又Q251-1=(23)17-1 17 =-1 =49P+251 =171615.7+.7+.7C17C17C17+.+C17.7+C17-1 0121617 =7Q *5151-1=7P+7Q=7(P+Q) 51 51-1能被7整除。 在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数。 9 9