二次函数知识点总结及典型例题.docx

二次函数知识点总结及典型例题浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)，特别注意a不为零，那么y叫做x 的二次函数。2y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于x=-b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征： 有开口方向；有对称轴；有顶点。 3、二次函数图像的画法-五点作图法： 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 求抛物线y=ax+bx+c与坐标轴的交点： 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 、已知函数y=x-2x-3， 写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； 求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积： 根据第题的图象草图，说 出 x 取哪些值时， y=0； y<0； y>0 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀- 一般 两根 三顶点 一般 一般式：y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a¹0) 2222两根 当抛物线y=ax+bx+c与x轴有交点时，即对应的一元二次方程ax+bx+c=0有实根x1和2x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 三顶点 顶点式：y=a(x-h)+k(a,h,k是常数，a¹0) 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我2们最好设顶点式，这样最简洁。 1 、抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A，B两点，且过，求抛物线的解析式。 、如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴的一个交点A在点和之间，顶点C是矩形DEFG上的一个动点，则abc 0 a的取值范围是 、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) Ay = (x 2) + 1 By = (x + 2) + 1 Cy = (x 2) 3 Dy = (x + 2) 3 知识点三、二次函数的最值 2222224ac-b2b如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值，即当x=-时，y最值=。 4a2a如果自变量的取值范围是x1£x£x2，那么，首先要看-b是否在自变量取值范围x1£x£x2内，若在此范围内，2a4ac-b2b则当x=-时，y最值=；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1£x£x2范围内的增减性，如果在此范4a2a22围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax2+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax1+bx1+c；如果在此22范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大=ax1+bx1+c，当x=x2时，y最小=ax2+bx2+c。 、已知二次函数的图像如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, y 3 下列说法正确的是( ) A有最小值0，有最大值3 B有最小值1,有最大值0 C有最小值1,有最大值3 D有最小值1,无最大值 1 2 3 x、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满 O-1当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每 天支出20元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元? 2 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 二次函数 函数 a>0 y 图像 0 x 抛物线开口向上，并向上无限延伸； 对称轴是x=-y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0) a<0 y 0 x 抛物线开口向下，并向下无限延伸； 对称轴是x=-b， 2ab， 2a4ac-b2b顶点坐标是； 4a2a在对称轴的左侧，即当x-4ac-b2b顶点坐标是； 4a2abb时，y随x在对称轴的左侧，即当x-时，y随2a2a性质 bx的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x-b2a-时，y随x的增大而减小，简记左增右减； 时，y随x的增大而增大，简记左减右增； 2abb抛物线有最低点，当x=-时，y有最小抛物线有最高点，当x=-时，y有最2a2a值，y最小值4ac-b2= 4a2大值，y最大值4ac-b2= 4a2、二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)中，a、b、c的含义： a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下 b b与对称轴有关：对称轴为x=-2ac表示抛物线与y轴的交点坐标： 3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。 因此一元二次方程中的D=b-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当D>0时，图像与x轴有两个交点； 当D=0时，图像与x轴有一个交点； 当D<0时，图像与x轴没有交点。 23 、抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是 . 、二次函数y=x+2x-5有( )A 最大值-5 B 最小值-5C 最大值-6 、由二次函数y=2(x-3)2+1，可知 A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线x=-3C其最小值为1 D当x<3时，y随x的增大而增大 、已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ) A.k<4 B.k£4 C.k<4且k¹3 D.k£4且k¹3 22D 最小值-6 、下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是 Ay = x 2By = x 3C y = x 41Dy = x、若二次函数y=(x-m)2-1当xl时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 Am=l Bm>l Cml Dml 知识点五、二次函数图象的平移 对于抛物线y=ax2+bx+c的平移 通常先将一般式转化成顶点式y=a(x-h)+k，再遵循左加右减，上加下减的的原则 化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。 y=ax+bx+c沿y轴平移：向上平移m个单位，y=ax+bx+c变成y=ax+bx+c+m 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式 22222y=ax2+bx+c：向左平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c 、将抛物线y=-x向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) Ay=-(x+2) By=-x+2 Cy=-(x-2) Dy=-x-2 、将抛物线y=x2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_. 、抛物线y=x可以由抛物线y=(x+2)-3平移得到,则下列平移过程正确的是( ) 22222222A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 抛物线y=2x-3x-7在x轴上截得的线段的长度为_ 抛物线y=ax+bx+c在x轴上截得的线段的长度为_ 224 知识点六、抛物线y=ax+bx+c中， a、b、c的作用 a决定开口方向及开口大小，这与y=ax中的a完全一样. b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax+bx+c的对称轴是直线x=-对称轴为y轴；222b，故：b=0时，2abb>0时，对称轴在y轴左侧；<0时，对称轴在y轴右aa侧.口诀-左同，右异 c的大小决定抛物线y=ax+bx+c与y轴交点的位置. 当x=0时，y=c，抛物线y=ax+bx+c与y轴有且只有一个交点： c=0，抛物线经过原点; c>0,与y轴交于正半轴； c<0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 22b<0. a、如图为抛物线y=ax+bx+c的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是( ) Aab=1 Bab=1 Cb<2a Dac<0 、已知抛物线yaxbxc(a0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) Aa>0 Bb0 Cc0 Dabc>0 2、如图所示的二次函数y=ax+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：b-4ac>0；22c>1；2ab<0；a+b+c<0。你认为其中错误的有( ) A2个 2 B3个 C4个 D1个 、如图，二次函数y=ax+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为ç2æ1ö,1÷，下列结论：ac0；a+b=0；è2ø4acb=4a；a+b+c0.其中正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 、如图，是二次函数 yaxbxc的图象的一部分，给出下列命题 ：a+b+c=0；b2a；ax+bx+c=0的两根分别为-3和1；a-2b+c0其中正确的命题是 、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是 Amn，kh Bmn ，kh Cmn，kh Dmn，kh 225 知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式 1、两点间距离公式：如图：点A坐标为，点B坐标为，则AB间的距离，即线段AB的长度为(x1-x2)2+(y1-y2)2 2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)， B(x2，y2) ，AB中点P的坐标为(xp，yp)由xp-x1=x2-xp，得xp=yy2yPP B y2-y1xpx2xO x1y1+y2x1+x2y1+y2同理yp=，所以AB的中点坐标为(，) 2223、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。 4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1×k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。 以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚” 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点 求直线AC的解析式及BD两点的坐标； 点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标 x1+x2， 2y1A x2-x12、如图，已知抛物线y=x+bx+c与一直线相交于A，C两点，与y轴交于点N其顶点为D求抛物线及直线AC的函数关系式； 设点M，求使MN+MD的值最小时m的值； 若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； 若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值 6 、如图，抛物线y=123，与y轴交于C，连接BC，以x-x-4与x轴交于A，B两点42BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。 求点A、B、C的坐标； 当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。 当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由。 DDDOOOAAABBBEEE CCC 1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( ) A15 m B1625 m C166 m D167 m 2ìx-1)-1(x3)ï(2、已知函数y=í，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为 2ïî(x-5)-1(x3)A0 B1 C2 D3 3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数y=a与一次函数xy=bx+c在同一坐标系中的大致图象是. 7 4. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点，当y随x的增大而增大时，x的取值 范围是 y1y=x2+bx+cxO+5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=，所得抛物线的解析式是 12x+3-1 x绕着它与y轴的交点旋转180°Ay=-(x+1)+2 By=-(x-1)+4 Cy=-(x-1)+2 Dy=-(x+1)+4 6. 已知二次函数y=ax+bx+c的图像如图，其对称轴x=-1，给出下列结果b2>4acabc>02a+b=0a+b+c>0a-b+c<0，则正确的结论是 222222x y 2 0 1 4 0 6 1 6 2 4 A B C D 7抛物线y=ax+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如上表：从上表可知，下列说法中正确的是 抛物线与x轴的一个交点为； 函数y=ax+bx+c的最大值为6； 抛物线的对称轴是x=221； 在对称轴左侧，y随x增大而增大 28. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是，过点A作ABy轴，垂足为B，连结OA (1)求OAB的面积；(2)若抛物线y=-x2-2x+c经过点A 求c的值；将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部，求m的取值范围 9、“已知函数y=12x+bx+c的图象经过点A， 2 ，这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 8 10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A，B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N求抛物线的解析式 抛物线上是否存在点P使得PA= PC若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由。 设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q在什么位置时有QE-QC最大？并求出最大值。 y N B M C E A 图 O D x 11、如图，抛物线y=12x+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A 2求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 判断ABC的形状，证明你的结论； 点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值 9 12、在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上。设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C. 当n1时，如果a=1，试求b的值； 当n2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式； 将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， 试求出当n=3时a的值； 直接写出a关于n的关系式. OCyyCDy = 1.1厘MNBOBy CCx AFEAOx ABxO x 图1 图2 图3 1、已知双曲线xy=1与直线y=x+b无交点，则b的取值范围是_ 2、如图1，直线y=kx与双曲线y=3、如图，双曲线y=4交于A，B两点，则2x1y27x2y1的值等于_ x2(xf0)经过四边形OABC的顶点A、C，ABC90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，ABxx轴，将ABC沿AC翻折后得到ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积是 . 10