二次函数在实际问题中的应用.docx

二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中的应用 二次函数在实际生活中的应用有很多，将数学与实际生活中的不同问题相联系起来，便可以很快的得出答案。而二次函数的应用过程就是数学思想得到充分体现的过程，分类讨论、数形结合、规划与转化、函数与方程的思想都在二次函数中得到了充分的体现。在这类问题中，关键信息便是二次函数的最值问题。求二次函数最值问题的大致方法如下： 1运用配方法求最值； 2构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3建立函数模型求最值； 4利用基本不等式或不等分析法求最值 我们拿到题目要做的便是根据不同题目中特有的信息选择合适的方法来解决问题。对于这类题型，我们首先要想到数形结合，把一个生活中的问题转化为常见的数学问题，并画出图便于思考。 一、 在建筑桥梁方面的应用 抛物线在桥梁建筑方面有着广泛的应用。在实际生活中，由于各种不同的需要，大多数的桥梁建筑都运用了二次函数的性质，将其形状设计为抛物线的形式。所以，我们在现实生活中能够找到很多具有抛物线特征的建筑物，如下图所示： 例1、一座单行隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图1所示的坐标系。 求抛物线的解析式； 一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ 如果隧道内设双行道如图2所示，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 图2 二、 实际生活中的应用 1、经济类 二次函数在经济生活中的应用，主要是利润的最大化问题。不论是投资还是销售，利润问题都是我们最关注的问题。针对不同类型的问题，从保证最大利润为入手点，建立函数关系，运用二次函数的性质来解决实际问题。 例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-所示(注：利润与投资量的单位：万元) 分别求出利润与关于投资量的函数关系式； 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：设=,由图12-所示，函数=的图像过，所以2=，； ，由图12-所示，故利润关于投资量的函数关系式是=因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2=函数y2=的图像过，所以=12x； 2，故利润y2关于投资量的函数关系式是y2设这位专业户投入种植花卉万元，则投入+ =时，的最小值是14； 他至少获得14万元的利润 因为，所以在对称轴x=2的右侧， z随x的增大而增大 所以，当x=8时，z的最大值为32 2、生活类 例3、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ x解：设花圃的宽为x米，面积为S平方米 则长为：32-4x+2=34-4x(米) 则：S=x(34-4x) =-4x2+34x =-4(x-172289 )+440<34-4x£10 6£x<17 217<6，S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内， 4而当6£x<17内，S随x的增大而减小， 2当x=6时，Smax=-4(6-17)2+289=60(平方米) 44答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大