二次函数在闭区间上的最值.docx

二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f(x)=ax+bx+c(a¹0)，求f(x)在xÎm，n上的最大值与最小值。 2æbb4ac-b2ö分析：将f(x)配方，得顶点为ç-、对称轴为 x=-，÷2a4aøè2a 当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上f(x)的最值： 2bæbö4ac-b，f(x)的最大值是当-Îm，n时，f(x)的最小值是fç-÷=èø2a4a2af(m)、f(n)中的较大者。 bÏm，n时 2ab若-<m，由f(x)在m，n上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n) 2ab若n<-，由f(x)在m，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n) 2a 当a<0时，可类比得结论。 当-二、例题分析归类： 、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：轴定，区间定；轴定，区间变；轴变，区间定；轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y=-x+4x-2在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。 解：函数y=-x+4x-2=-(x-2)+2是定义在区间0，3上的二次函数，其对称轴方程是x=2，顶点坐标为，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0，3上， 如图1所示。函数的最大值为f(2)=2，最小值为f(0)=-2。 222图1 2练习. 已知2x£3x，求函数f(x)=x+x+1的最值。 2第1页 解：由已知2x2£3x，可得0£x£23ù3é，即函数f(x)是定义在区间ê0，ú上的二次函数。2û2ë11ö3æ13öæ将二次函数配方得f(x)=çx+÷+，其对称轴方程x=-，顶点坐标ç-，÷，且è24øè22ø4图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间ê0，ú内，如图2所示。函数f(x)的最小值为2ûëé3ùæ3ö19。 f(0)=1，最大值为fç÷=è2ø4图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数f(x)=(x-1)+1定义在区间t，t+1上，求f(x)的最小值。 解：函数f(x)=(x-1)+1，其对称轴方程为x=1，顶点坐标为，图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间t，t+1左侧时，有1<t，此时，当x=t时，函数取得最小值f(x)min=f(t)=(t-1)+1。 222图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间t，t+1上时，有t£1£t+1，即0£t£1。当x=1时，函数取得最小值f(x)min=f(1)=1。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间t，t+1右侧时，有t+1<1，即t<0。当x=t+1时，第2页 函数取得最小值f(x)min=f(t+1)=t+1 综上讨论，f(x)min2ì(t-1)2+1,t>1ï=í1,0£t£1 ït2+1t<0î图8 2f(x)=x-2x+3，当xÎt，t+1(tÎR)时，求f(x)的最大值 例3. 已知解：由已知可求对称轴为x=1 f(x)min=f(t)=tt->21t+3，f(x)max=f(t+1)=t2+2当时， 当t1t+1，即0t1时， t+t+11£即22t+t+111><t12f(x)=f(t+1)=t+2max22即2若时， 根据对称性，若0t122时，f(x)max=f(t)=t-2t+3 f(x)max=f(t)=t2-2t+3t+1<1t<0当即时， 综上，f(x)max1ì2t+2,t>ïï2=í ït2-2t+3,t£1ï2î观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： b1ìf(m)，-³(m+n)(如图1)ïï2a2 当a>0时f(x)max=íf(x)minb1ïf(n)，-<(m+n)(如图2)ï2a2îbìf(n)，->n(如图3)ï2aïbbï=íf(-)，m£-£n(如图4) 2a2aïbïf(m)，-<m(如图5)ï2aî第3页 bìf(n)，->n(如图6)ïb1ì2af(m)，-³(m+n)(如图9)ïïï2a2bbf(x)=当a<0时f(x)max=ï f(-)，m£-£n(如图7)íminí2a2aïf(n)，-b<1(m+n)(如图10)ïïbï2a2îf(m)，-<m(如图8)ï2aî3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例4. 已知x2£1，且a-2³0，求函数f(x)=x+ax+3的最值。 解：由已知有-1£x£1，a³2，于是函数f(x)是定义在区间-1，1上的二次函数，2aöa2æ将f(x)配方得：f(x)=çx+÷+3- èø24æaaa2ö二次函数f(x)的对称轴方程是x=-顶点坐标为ç-，3-÷，图象开口向上 24øè2a£-1，显然其顶点横坐标在区间-1，1的左侧或左端点上。 2函数的最小值是f(-1)=4-a，最大值是f(1)=4+a。 由a³2可得x=-2图3 例5. (1) 求f(x)=x+2ax+1在区间-1,2上的最大值。 (2) 求函数y=-x(x-a)在xÎ-1,1上的最大值。 2第4页 解：(1)二次函数的对称轴方程为x=-a， 11即a>-时，f(x)max=f(2)=4a+5； 2211 当-a³即a£-时，f(x)max=f(-1)=2a+2。 22当-a<综上所述：f(x)max1ì-2a+2,a£-ïï2=í。 1ï4a+5,a>-ïî2a2a2aaaa(2)函数y=-(x-)+图象的对称轴方程为x=，应分-1££1，<-1，>1即242222-2£a£2，a<-2和a>2这三种情形讨论，下列三图分别为 a<-2；由图可知f(x)max=f(-1) -2£a£2；由图可知f(x)max=f a>2时；由图可知f(x)max=f(1) a2y最大ì-(a+1),a<-2ìf(-1),a<-2ï2ïaïïa=íf,-2£a£2；即y最大=í,-2£a£2 ï2ï4ïïîf(1),a>2îa-1,a>24. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。 222y=4a(x-a)(a>0),u=(x-3)+y例6. 已知，求的最小值。 2y=4a(x-a)代入u中，得 解：将第5页 第6页，时即， 第7页，时即，所以 、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。 例7. 已知函数f(x)=ax+2ax+1在区间-3,2上的最大值为4，求实数a的值。 解：f(x)=a(x+1)+1-a,xÎ-3,2 若a=0,f(x)=1,，不符合题意。 若a>0,则f(x)max=f(2)=8a+1 22由8a+1=4，得a=3 8第8页 若a<0时，则f(x)max=f(-1)=1-a 由1-a=4，得a=-3 综上知a=3或a=-3 8x2+x在区间m,n上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。 例8.已知函数f(x)=-2解法1：讨论对称轴系。 若中1与m,m+n2,n的位置关，则ìíf(x)max=f(n)=3nîf(x)min=f(m)=3m 第9页 解得 若ìf(x)max=f(1)=3nm+n，则，无解 £1<ní2îf(x)min=f(m)=3mìf(x)max=f(1)=3nm+n，则í，无解 f(x)=f(n)=3m2îmin若m£1<若，则íìf(x)max=f(m)=3n，无解 îf(x)min=f(n)=3m综上，m=-4,n=0 解析2：由f(x)=-1111(x-1)2+，知3n£,n£,，则m,nÍ(-¥,1， 2226又在m,n上当x增大时f(x)也增大所以íìf(x)max=f(n)=3nf(x)=f(m)=3mîmin第10页 解得m=-4,n=0 评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。 例9. 已知二次函数f(x)=ax+(2a-1)x+1在区间ê-2é3ù,2ú上的最大值为3，求实数a的值。ë2û这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a>0与a<0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。 具体解法为： 令f(-2a-11)=3，得a=- 2a21é3ù,2ú，故-不合题意； 2ë2û此时抛物线开口向下，对称轴方程为x=-2，且-2Ïê-令f(2)=3，得a=1 21符合题意； 2此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a=若f(-32)=3，得a=- 232符合题意。 3此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a=-综上，a=12或a=- 23解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。 三、巩固训练 21函数y=x+x+1在-1,1上的最小值和最大值分别是 (A)1 ,3 (B)2311 ,3 - ,3 -, 3 4242函数y=-x+4x-2在区间1,4 上的最小值是 (A)-7 (B)-4 (C)-2 (D)2 3函数y=8的最值为 2x-4x+5(A)最大值为8，最小值为0 (B)不存在最小值，最大值为8 最小值为0, 不存在最大值 (D)不存在最小值，也不存在最大值 4若函数y=2-x2+4x,xÎ0,4的取值范围是_ 第11页 5已知函数f(x)=ax+(2a-1)x-3(a0)在区间-值为 23，2上的最大值是1，则实数a的26如果实数x,y满足x+y=1，那么(1-xy)(1+xy)有 2213 (B)无最大值，最小值为 243 )最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为 4 (A)最大值为 1 , 最小值为7已知函数y=x-2x+3在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 (A) 1,+¥) (B) 0,2 (C) 1,2 (D) (-¥,2 8若x³0,y³0,x+2y=1，那么2x+3y的最小值为_ 229设mÎR,x1,x2是方程x-2mx+1-m=0的两个实根，则x1+x2的最小值_ 222210设f(x)=x-4x-4,xÎt,t+1(tÎR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式。 11已知f(x)=x-ax+22a，在区间0,1上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值。 212.设a为实数，函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若f(0)³1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)=f(x),xÎ(a,+¥)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)³1的解集. 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。 ìa<0若f(0)³1，则-a|a|³1ÞíÞa£-1 2îa³1当x³a时，f(x)=3x-2ax+a,22f(x)min2ìf(a),a³0ì2a,a³0 ïï=ía=í2a2f,a<0ï,a<0ïî3î3f(-a),a³0ì-2a2,a³022ìïf(x)=x+2ax-a, 当x£a时， f(x)min=í=í2îf(a),a<0ïî2a,a<0 综上f(x)minì-2a2,a³0ï =í2a2,a<0ïî322xÎ(a,+¥)时，h(x)³1得3x-2ax+a-1³0，D=4a2-12(a2-1)=12-8a2 当a£-66时，D£0,xÎ(a,+¥)； 或a³222íïx>aî3-2a2a+3-2a2)(x-)³0 33a-当-6<a<6时，>0,得：ìï(x-2第12页 讨论得：当aÎ(2,6)时，解集为(a,+¥); 2222当aÎ(-6,-2)时，解集为(a,a-3-2aÈa+3-2a,+¥); 22332a+3-2a22当aÎ-,+¥). ,时，解集为322第13页