二次函数函数的存在性问题.docx
二次函数函数的存在性问题二次函数函数的存在性问题 1、如图，已知抛物线与x交于A(1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 求抛物线的解析式； 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； AOB与DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 0)，C(0，-3)， 2、矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A(6，直线y=-3x与BC边相交于D点 42求点D的坐标； 若抛物线y=ax-9x经过点A，试确定此抛物线的表达式； 4设中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形y 与OCD相似，求符合条件的点P的坐标 1 O -3 A 6 C D B y=-3 x4x 3、如图，已知抛物线y过点C的直线y且0t1 32xbxc与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为43x3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB5t， 4t填空：点C的坐标是_ _，b _，c_ _；求线段QH的长； 依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值； 若不存在，说明理由 4、已知，如图1，过点E(0，-1)作平行于x轴的直线l，抛物线y=C yQHPAOBx12x上的两点A、B的横坐标4分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF 求点A、B、F的坐标； 求证：CFDF； 点P是抛物线y=12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO交x轴于点Q，是否存在点P使得4OPQ与CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 2 5、如图，抛物线经过A(4，0)B(1，0)C(0，-2)三点 求出抛物线的解析式；P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标 6、如图，YABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程16，求经过D、E两点的直线的解析式，并判3x2-7x+12=0的两个根，且OA>OB 求sinÐABC的值 若E为x轴上的点，且SAOE=断AOE与DAO是否相似？ 若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由 3 y A D B O C x 答案 1、 解： 抛物线与y轴交于点， ìa-b+3=0ìa=-1设抛物线解析式为y=ax+bx+3(a¹0) (1) 根据题意，得í，解得í 9a+3b+3=0b=2îî2抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 (5) (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为 设对称轴与x轴的交点为F 四边形ABDE的面积=SDABO+S梯形BOFD+SDDFE =111111AO×BO+(BO+DF)×OF+EF×DF=´1´3+(3+4)´1+´2´4=9 222222相似 如图，BD=BG2+DG2=12+12=2；BE=BO2+OE2=32+32=32 DE=DF2+EF2=22+42=25 BD+BE=20, DE=20 即： BD+BE=DE,所以DBDE是直角三角形 ÐAOB=ÐDBE=90°,且222222AOBO2, DAOBDDBE =BDBE2329x-x 84y -3)2、解：点D的坐标为(4，抛物线的表达式为y=抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件 OACB， ÐPOM=ÐCDO 1ÐOPM=ÐDCO=90°， RtPOMRtCDO 11抛物线的对称轴x=3， 点P，0) 1(31的坐标为P过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2 对称轴平行于y轴， ÐP2MO=ÐDOC ÐPOM=ÐDCO=90°， RtP22M1ORtDOC O P2 P1 M A 6 B y=-3 x4x -3 C D 点P=CO=3，ÐP2PO=ÐDCO=90°， 2M=ÐODC PO112也符合条件，ÐOPRtP2PO1RtDCO PP12=CD=4 ，4)， 点P2在第一象限，点P2的坐标为P2(34) 符合条件的点P有两个，分别是P，0)，P2(3，1(34 3、 解：，b由，得y9，c3 4329xx3，它与x轴交于A，B两点，得B 44yQOB4，又OC3，BC5 由题意，得BHPBOC， OCOBBC345 ， HPHBBP345 ， PB5t，HB4t，HP3t OHOBHB44t 由yHPAOBx3x3与x轴交于点Q，得Q OQ4t 4tC当H在Q、B之间时， QHOHOQ4t48t 当H在O、Q之间时，QHOQOH4t8t4 综合，得QH48t； 存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与COQ相似 当H在Q、B之间时，QH48t， 若QHPCOQ，则QHCOHPOQ，得t4-8t3t， 34t7 323t4-8t， 4t3若PHQCOQ，则PHCOHQOQ，得2即t2t10t121，t221 当H在O、Q之间时，QH8t4若QHPCOQ，则QHCOHPOQ， 得得8t-43t25，t若PHQCOQ，则PHCOHQOQ， 34t323t8t-47252，即t2t10t1t21综上所述，存在t的值，t121，t2，t3 4t332324、解:方法一，如图1，当x=-1时,y=11öæ ；当x=4时,y=4 Aç-1，÷ B(4，4) 44øè13ììï-k+b=ïk=设直线AB的解析式为y=kx+b则í4 解得í4 ïïî4k+b=4îb=1直线AB的解析式为y=3x+1 ，当x=0时,y=1 F(01，) 4方法二:求A、B两点坐标同方法一,如图2,作FGBD,AHBD,垂足分别为G、H,交y轴于点N,则四边形FOMG和四边形NOMH均为矩形,设FO=x 5 y B F G A H M O D l C E x QBGFBHA BGFG4-x4= = 1BHAH54-4解得x=1 F(0，1) (2)证明：方法一：在RtCEF中，CE=1,EF=2 CF=CE+EF=1+2=5CF=5 22222在RtDEF中，DE=4，EF=2 DF=DE+EF=4+2=20 DF=25 22222由得C(-1，-1)，D(4，-1)， CD=5， CD=5=25 CF+DF=CD 22222ÐCFD=90° CFDF 55æ3ö方法二：由 知AF=1+ç÷=，AC= 44è4øAF=AC 同理：BF=BD ÐACF=ÐAFC QACEF ÐACF=ÐCFO ÐAFC=ÐCFO 同理：ÐBFD=ÐOFD ÐCFD=ÐOFC+ÐOFD=90° 即CFDF 存在. 如图3，作PMx轴，垂足为点M 又QPQOP RtOPMRtOQP y P 2PQPMPMOM= OPOMPQOPF O C E M D l 图3 Q x 12æ12ö设Pçx，x÷(x>0)，则PM=x，OM=x 4è4ø当RtQPORtCFD时， PQCF51= OPDF25212xPM41，= 解得x=2 P) 1(21OMx212xPQDF25PM4当RtOPQRtCFD时， =2 =2 OPCFOMx5解得x=8 P，16，)使得OPQ与CDF相似. ) 综上，存在点P1(21)、P2(8162(86 5、解：Q该抛物线过点C(0，-2)，可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2 将A(4，0)，B(1，0)代入， 1ìa=-，ì16a+4b-2=0，ï125ï2得í解得í 此抛物线的解析式为y=-x+x-2 22îa+b-2=0.ïb=5.ïî2存在 如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为-当1<m<4时， AM=4-m，PM=-125m+m-2， 22125m+m-2 22AMAO2=时， 又QÐCOA=ÐPMA=90°， 当PMOC15æ1öAPMACO， 即4-m=2ç-m2+m-2÷ 解得m1=2，m2=4，P(2，1) 22èø当AMOC115=时，APMCAO，即2(4-m)=-m2+m-2 PMOA2221) 解得m1=4，m2=5 当1<m<4时，P(2，-2) 当m<1时，P(-3，-14) 类似地可求出当m>4时，P(5，1)或(5，-14) 综上所述，符合条件的点P为(2，-2)或(-3，125t+t-2 221过D作y轴的平行线交AC于E 由题意可求得直线AC的解析式为y=x-2 2如图，设D点的横坐标为t(0<t<4)，则D点的纵坐标为-151æ1öæ1öE点的坐标为çt，t-2÷ DE=-t2+t-2-çt-2÷=-t2+2t 222è2øè2ø1æ1ö1) SDAC=´ç-t2+2t÷´4=-t2+4t=-(t-2)2+4当t=2时，DAC面积最大D(2，2è2ø6、解x-7x+12=0得x1=4，x2=3， QOA>OB， OA=4，OB=3 在RtAOB中，由勾股定理有AB=OA2+OB2=5 sinÐABC=点E在x轴上，SAOE2OA4= AB5161168= AO´OE= OE= 3233æ8öæ8öæ8ö当Eç，Eç，0÷或Eç-，0÷ 由已知可知D 设yDE=kx+b，0÷时有 è3øè3øè3ø 7 6ìk=ì4=6k+bï616ïï5y=x-解得 í8íDE55160=k+bïb=-ï3îï5î同理Eç-，0÷时，yDE=æ8öè3ø6168x+ 在AOE中，ÐAOE=90°，OA=4，OE= 13133OEOAAOEDAO = OAOD，OA=4，OD=6 Q在AOD中，ÐOAD=90°满足条件的点有四个 æ7522öæ4244öF1(3，；8)F2(-3，；0)F3ç-，-÷；F4ç-，-÷ 7øè14è2525ø 8
