二次函数导学案全章.docx

二次函数导学案全章二次函数导学案 26.1 二次函数及其图像 26.1.1 二次函数 1. 了解二次函数的有关概念 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。 的函数为二次函数。其中x是自变量，a是_，b是_，c是_ 三、合作交流： 二次项系数a为什么不等于0？ 答 。 一次项系数b和常数项c可以为0吗？ 答 . 四、跟踪练习 22y=6xy=-3x+5；y200x2400x200；1观察：；： ： 1222y=x-+33y=x+1-x()y=x-2x；x；这六个式子中二次函数有 。 2.y=(m+1)xm2-m-3x+1 是二次函数，则m的值为_ 23.若物体运动的路段s与时间t之间的关系为s=5t+2t，则当t4秒时，该物体所经过的路程为 。 2y=-x+bx+3当x2时，y3，4.二次函数则这个二次函数解析式为 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 2y=ax26.1.2二次函数的图象 1知道二次函数的图象是一条抛物线； 2会画二次函数yax2的图象； 3掌握二次函数yax2的性质，并会灵活应用 数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数. 一、知识链接： 1.画一个函数图象的一般过程是 ； ； 。 2.一次函数图象的形状是 ； 二、自主学习 画二次函数yx2的图象 列表： x 3 2 1 0 1 2 3 y87654321O1234-4-3-2-11-2yx2 在图中描点，并连线 10987654321yx10987654321yxO1234-4-3-2-11-2O1234-4-3-2-11-2x1.思考：图和图中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？ 答： 2.归纳： 2y=x 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； 2y=x抛物线是轴对称图形，对称轴是 ； 2y=x的图象开口_； 2y=x 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ； 它是抛物线的最 点，即当x=0时，y有最 值等于0. 在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即x<0时，y随x的增大而 ，x>0时，y随x的增大而 。 例1在图中，画出函数解：列表： x y=y=12x222，y=x，y=2x的图象 3 2 0 1 2 3 1 4 4 12x 2 -1.x 2 5 y=2x2 -0.1 5 0 0.1 5 1.2 5 y=归纳：抛物线12x222，y=x，y=2x的图象的形状都是 ；顶点都是_；对称轴都是_；二次项系数a_0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_点 1y=-x222y=-xy=-2x2归纳：抛物线，的的图象的形状10987654321yxO12345-5-4-3-2-11-2-3-4-5-6-7-8-9-10 都是 ；顶点都是_；对称轴都是_；二次项系数a_0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_点 1y=-x222y=-xy=-2x2例2 请在图中画出函数，的图象 列表： x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1y=-x2 2 x 3 2 1 0 1 2 3 y=-x2 -1.x 2 5 y=-2x2 -0.1 5 0 0.1 5 1.2 5 三、合作交流： 归纳： 2y=ax抛物线的性质 对称图象 轴 a0 有最高开口顶点 方向 点 当x_时，y有最_值，是_ 或最低最值 a0 当x_时，y有最_值，是_ 2.当a0时，在对称轴的左侧，即x 0时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 0时y随x的增大而 。 3在前面图中，关于x轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？ 答： 。2y=ax由此可知和抛物线关于x轴对称的抛物线是 。 4当a0时，a越大，抛物线的开口越_；当a0时，a 越大，抛物线的开口越_；因此，a越大，抛物线的开口越_。 四、课堂训练 1函数y=32x7的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_值是_ 2y=-6x2. 函数的图象顶点是_，对称轴是_，开口向_，当x_时，有最_值是_ 2()y=m-3x3. 二次函数的图象开口向下，则m_ 4. 二次函数ymxm2-2有最高点，则m_ 5. 二次函数y(k1)x2的图象如图所示， 则k的取值范围为_ 2y=ax6若二次函数的图象过点，则a的值是_ 2222y=-5xy=-2xy=5xy=7x7抛物线 开口从小到大排列是_；其中关于x轴对称的两条抛物线是 和 。 12y=x8点A是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是 。 2y=ax9如图，A、B分别为上两点，且线段 ABy轴于点，若AB=6， 则该抛物线的表达式为 。 m-my=(m-1)x10. 当m= 时，抛物线开口向下 2y=ax11.二次函数与直线y=2x-3交于点P 2求a、b的值； 写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小 22.1.3二次函数y=a(x-h)+k的图象 222y=ax+ky=ax1知道二次函数与的联系 2y=ax+k的性质，并会应用； 2.掌握二次函数2y=ax类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系。 一、知识链接：直线y=2x+1可以看做是由直线y=2x 得到的。 练：若一个一次函数的图象是由y=-2x平移得到，并且过点，求这个函数的解析式。 解： 22y=xy=x-2的图象之间又有何关系吗？ 由此你能推测二次函数与猜想 。 二、自主学习 222y=xy=x+1y=x-1在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象 列表 yy = x2x 3 2 1 y=x2+1 y=x2-1 0 1 2 3 O1x 1.填开口顶点 表： y=x2 有最高对称轴 点 增减性 方向 y=x2+1 y=x2-1 2y=x2可以发现，把抛物线向_平移_个单位，就得到抛22y=x+1y=x物线；把抛物线向_平移_个单位，就得到2y=x-1. 抛物线222y=xy=x+1y=x-1的形状_开口大3抛物线，小相同。 2y=ax+k特点： 三、知识梳理：抛物线1.当a>0时，开口向 ；当a<0时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ； 3. 对称轴是 。 222y=ax+ky=axy=ax+k是由抛物线与形状相同，位置不同，y=ax2 平移得到的。 二次函数图象的平移规律：上 下 。 a的正负决定开口的 ；a决定开口的 ，即a不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值 。 三、跟踪练习： 21.抛物线y=2x向上平移3个单位，就得到抛物线_； 2y=2x抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线_ 2y=-3x+2向上平移3个单位后的解析式为 ，2抛物线它们的形状_，当x= 时，y有最 值是 。 2y=5x-3平移，且经过点的抛物线的解析式3由抛物线是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。 2y=-x4. 写出一个顶点坐标为，开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_ 25. 抛物线y=4x+1关于x轴对称的抛物线解析式为_ 2y=ax+k(a¹0)的经过点A6.二次函数、B. 求该函数的表达式； 若点C(-2，m),D也在函数的上，求m、n的值。 26.1.3二次函数y=a(x-h)+k的图象 22y=a(x-h)1会画二次函数的图象； 22y=a(x-h)y=ax2.知道二次函数与的联系 2y=a(x-h)3.掌握二次函数的性质，并会应用； 一、知识链接： 2y=2x1.将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。 2y=-4x+1的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式2.将抛物线为 。 二、自主学习 22y=(x+1)y=(x-1)画出二次函数，的图象；先列表： x 4 0 1 2 3 4 3 2 1 yy = x2y=(x+1)2 y=(x-1)2 10987654321x7654321O112345678122y=(x+1)归纳：的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。 图象有最 点，即x= 时，y有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即x 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y随x的增大而 。 y=(x+1)可以看作由y=x向 平移 个单位形成的。 2y=(x-1)的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐22标是 ， 图象有最 点，即x= 时，y有最 值是 ； 在对称轴的左侧，即x 时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时y随x的增大而 。 y=(x+1)2可以看作由y=x2向 平移 个单位形成的。 三、知识梳理 2y=a(x-h)抛物线特点： 1.当a>0时，开口向 ；当a<0时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。 222y=a(x-h)y=axy=a(x-h)抛物线与形状相同，位置不同，是2y=ax由 平移得到的。 结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。 a的正负决定开口的 ；a决定开口的 ，即a不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值 。 四、课堂训练 1抛物线y=2(x+3)2的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大。 2. 抛物线y=-2(x-1)的开口_；顶点坐标为_；对称y随x的增大而减小；轴是直线_；当x 时，当x 时，y随x的增大而增大。 2y=2x-1的开口_；顶点坐标为_；对称轴3. 抛物线2是_； 2y=5x4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_ 2y=-4x5. 抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为_ 6将抛物线y=-12(x-2)3向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为_ 7抛物线y=4(x-2)2与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标为_ 2y=-2x8. 写出一个顶点是，形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式_ 26.1.3二次函数y=a(x-h)+k的图象 21会画二次函数的顶点式y=a(x-h)+k的图象； 22掌握二次函数y=a(x-h)+k的性质； 2 一、知识链接： 1.将二次函数y=-5x的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。 2y=-x2.将抛物线的图象向左平移3个单2位后的抛物线的解析式为 。 二、自主学习 在右图中做出 观察：1. 抛物线向 ； 顶点坐标是 ；对称轴是直线 。 2. 抛物线y=(x-1)-22y=(x-1)-22的图象： y=(x-1)-22开口10987654321yy = x2xO12345-4-3-2-11-2-32y=x和的形状 ，位置 。 3. 抛物线y=(x-1)-222y=x是由如何平移得到的？答： 。 三、合作交流 平移前后的两条抛物线a值变化吗？为什么？ 答： 。 四、知识梳理 结合上图和课本第9页例3归纳： 2y=a(x-h)+k的特点： 抛物线1.当a>0时，开口向 ；当a<0时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。 22y=a(x-h)+ky=ax抛物线与形状 ，位置不同，2y=a(x-h)2+ky=ax是由平移得到的。 二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。 平移前后的两条抛物线a值 。 五、跟踪训练 1.二次函数y=11(x-1)2+2y=x222的图象 的图象可由A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 2.抛物线y=-12(x-6)+53开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y有最 值为 。 3.填表： y=3x2 y=-x2-3 y=2(x+3)2 y=-4(x-5)2-3 开口方向 顶点 对称轴 y=2x24.函数y=2(x-3)-12的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。 5.若把函数y=5(x-2)+32的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。 6. 顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线析式为 Ay=12(x-2)+32 y=12x2相同的解 B Dy=12(x+2)-32 12(x+2)+32 Cy=12(x+2)+32 y=-7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线物线 y=(x-2)2y=2x2相同，对称轴和抛相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式. 26.1.3二次函数y=a(x-h)+k的图象 2会用二次函数y=a(x-h)+k的性质解决问题； 2 一、知识链接： 21.抛物线y=-2(x+1)-3开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y有最 值为 。当x 时，y随x的增大而增大. 22y=-2(x+1)-3y=-2x2. 抛物线是由如何平移得到的？答： 。 二、自主学习 1.抛物线的顶点坐标为，且经过点求该函数的解析式？ 分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。 2.仔细阅读课本第10页例4： 分析：由题意可知：池中心是 ，水管是 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。 由已知条件可设抛物线的解析式3A21D-1O-112yBCx3为 。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定 个点的坐标即可，这个点是 。 求水管的长就是通过求点 的 坐标。 二、跟踪练习： 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系. (1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标； (2) 求出这条抛物线的函数解析式； 三、能力拓展 1.知识准备 如图抛物线y=(x-1)-4与x轴交于A,B两点，交y轴于点D，抛物线的顶点为点C 求ABD的面积。求ABC的面积。 点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标。 点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。 点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。 2yAOPBxMyAOBxDC2y=ax+bx+c的图象 26.1.4二次函数22y=ax+bx+cy=a(x-h)+k的形式，从1.能通过配方把二次函数化成而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。 2y=ax+bx+c的顶点坐标公式； 2熟记二次函数23会画二次函数一般式y=ax+bx+c的图象 一、知识链接： 1.抛物线y=2(x+3)-12的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x= 时y有最 值是 ；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。 2y=a(x-h)+k中，很容易确定抛物线的顶点坐标2. 二次函数解析式为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。 二、自主学习： 2y=x+2x+2 的图像的对称轴、问题：你能直接说出函数和顶点坐标吗？ 你有办法解决问题吗？ 解： y=x2+2x+2的顶点坐标是 ，对称轴是 . 像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质. 用配方法把下列二次函数化成顶点式： y=x-2x+2 2y=ax+bx+c可以用配方法转化成归纳：二次函数的一般形式2y=ax+bx+c的顶点顶点式： ，因此抛物线2y=12x+2x+52y=ax+bx+c 2 坐标是 ；对称轴是 ， 用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 222y=2x-3x+4y=-2x+x+2y=-x-4x 、用描点法画出y=12x+2x-12的图像. 顶点坐标为 ； 列表：顶点坐标填在 ； x y=12x+2x-12 描点，并连线： 654321y观察：图象有最 点，即x= 时，y有最 值x是 ； x 时，y随x的增大而增大；x 时y随x的增大而减小。 O123-7-6-5-4-3-2-11-2-3-4该抛物线与y轴交于点 。 该抛物线与x轴有 个交点. 三、合作交流 求出y=12x+2x-12顶点的横坐标x=-2后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。 26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式 1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式； 2.会用待定系数法求二次函数的解析式。 一、知识链接： 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点求该函数的解析式. 解： 二、自主学习 1.一次函数y=kx+b经过点A(-1,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。 分析：要求出函数解析式，需求出k,b的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于k,b的二元一次方程组即可。 解： 2. 已知一个二次函数的图象过、三点，求这个二次函数的解析式。 分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。 解： 三、知识梳理 用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式y=a(x-h)+k和一般式y=ax2+bx+c。 21已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ； 2已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为 。 四、跟踪练习： 1已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图像过点，求这个二次函数的解析式 2y=x+x+m的图象过点2.已知二次函数，则m的值为_ 3.一个二次函数的图象过、三点，求这个二次函数的解析式。 4. 已知双曲线y=k2x与抛物线y=ax+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(3, n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出ABC的面积, 5.如图，直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C， 求该抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. AOBCxyy4321O123-4-3-2-11-2-3-4x26.2用函数观点看一元二次方程 1、 2、 体会二次函数与方程之间的联系。 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系， 一、知识链接： 1.直线y=2x-4与y轴交于点 ，与x轴交于点 。 22.一元二次方程ax+bx+c=0，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根； 二、自主学习 1.解下列方程 222x-2x-3=0 x-6x+9=0 x-2x+3=0 2.观察二次函数的图象，写出它们与x轴的交点坐标： 函数 y=x2-2x-3 y=x2-6x+9 y=x2-2x+3 yy=x2-2x-3y11y=x2-6x+910yy=x2-2x+31110图 象 -2O-1-2x1012-2-3O-1x1012-4O-5x1012交 与x轴交点坐标是 与x轴交点坐标是 与x轴交点坐标是 点 3.对比第1题各方程的解，你发现什么？ 三、知识梳理： 2一元二次方程ax+bx+c=0的实数根就是对应的二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的 . 二次函数与一元二次方程的关系如下： 2y=ax+bx+c 二次函数与 一元二次方程ax2+bx+c=0 ( , )y( , )O与x轴有 个交点 b2-4ac 0，方程有 Û x的实数根 与x轴有 个交点；Û b2-4ac 0，方程有 yO( , )x这个交点是 点 实数根 yOx与x轴有 个交点 b2-4ac 0，方程 Û 实数根. 2y=ax+bx+c与y轴交点坐标是 . 二次函数四、跟踪练习 2y=x-3x+2，1. 二次函数当x1时，y_；当y0时，x_ 2y=x-4x+3与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标2抛物线是 ； 2y=x-4x+6，当x_时，y3 3.二次函数24.如图，一元二次方程ax+bx+c=0的解为 。 25.如图，一元二次方程ax+bx+c=3的解为 。 2y=x-2kx+9的顶点在x轴上，则k_6. 已知抛物线 2y=kx+2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是7已知抛物线_ 26.2用函数观点看一元二次方程 1. 能根据图象判断二次函数a、b、c的符号； 2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。 一、知识链接： 22y=ax+bx+cax+bx+c=0的实数根记为根据的图象和性质填表： 2y=ax+bx+c与x轴有两个交点Ûb2-4ac 0； 抛物线2y=ax+bx+c与x轴有一个交点Ûb2-4ac 0； 抛物线2y=ax+bx+c与x轴没有交点Ûb2-4ac 0. 抛物线二、自主学习： 22y=2x-4x+2y=-x+2x-3与y轴的交点坐标分别1.抛物线和抛物线2是 和 。抛物线y=ax+bx+c与y轴的交点坐标分别是 . 2y=ax+bx+c的图象如右图 2.抛物线 开口向上，所以可以判断a 。 对称轴是直线x= ，由图象可知对称轴在y轴的右侧，则x>0，即 >0，已知a 0，所以可以判定b 0. 因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c 0. 2y=ax+bx+c与x轴有两个交点，所以b2-4ac 0； 抛物线三、知识梳理： a的符号由 决定： 开口向 Û a 0；开口向 Û a 0. b的符号由 决定： 在y轴的左侧 Ûa、b ； 在y轴的右侧 Ûa、b ； 是y轴 Ûb 0. c的符号由 决定： 点在y轴正半轴 Ûc 0； 点在原点 Ûc 0； 点在y轴负半轴 Ûc 0. 2b-4ac的符号由 决定： 2抛物线与x轴有 交点Û b-4ac 0 Û方程有 实数根； 2抛物线与x轴有 交点Ûb-4ac 0 Û方程有 实数根； 2抛物线与x轴有 交点Ûb-4ac 0 Û方程 实数根； 特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. 四、典型例题： 2y=ax+bx+c如图所示：看图填空： 抛物线a_0；b 0；c 0; 2b-4ac 0 ;(5)2a+b_0； a+b+c_0；a-b+c_0； 9a+3b+c_0；4a+2b+c_0 五、跟踪练习： 1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 2 方程ax+bx+c=0的根为_； 2 方程ax+bx+c=-3的根为_； 2 方程ax+bx+c=-4的根为_； 2ax 不等式+bx+c>0的解集为_； 2 不等式ax+bx+c<0的解集为_ _； 2.根据图象填空： a_0； b 0； c 0; 2b-4ac 0 ;(5)2a+b_0； a+b+c_0； a-b+c_0；