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习题集02 数字信号处理习题答案第一章 离散时间信号系统与Z变换 § Z变换 Ø Z变换的定义及收敛域 1. 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少不同的收敛域。 1-1-2 X(z)=4z (1+1254z-)(1+4z-1+38z-2)有限长序列的收敛域为 ： 0<z<¥ , n1£n£n2 特殊情况有 ： 0<z£¥ , n1³0 0£z<¥ , n2£0 右边序列的收敛域为 ： Rx-<z<¥ , n³n1 因果序列的收敛域为 ： Rx-<z£¥ , n³n1³0 左边序列的收敛域为 ： 0<z<Rx+ , n£n2 特殊情况有 ： z<Rx+ , n£n2£0 双边序列的收敛域为 ： Rx-<z<Rx+有三种收敛域 ： 圆内 、 圆外 、 环状第一章 离散时间信号系统与Z变换 解：对X(Z)的分子和分母进行因式分解得 (1-X(Z)=(1+14Z-212Z-1)(1+12Z1212-112Z-1)34Z-1)(1+)(1+-1)1-=(1+12jZ-1Z-1)(1-jZ)(1+34Z-1)X(Z)的零点为：1/2，极点为：j/2，-j/2，-3/4 X(Z)的收敛域为： (1) 1/2 < | Z | < 3/4，为双边序列，见图一 (2) | Z | < 1/2，为左边序列，见图二 (3) | Z | > 3/4，为右边序列，见图三 图一 图二 图三 2 第一章 离散时间信号系统与Z变换 Ø Z反变换 2. 有一右边序列 x(n)，其 z 变换为X(z)=(1-112z-1-1)(1-z)(a) 将上式作部分分式展开(用 z-1表示)，由展开式求 x(n) 。 (b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 x(n) ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。 不管哪种表示法最后求出 x(n) 应该是相同的。 解：(a) 因为X(z)=1-112z-1+21-z-1且x(n)是右边序列 æ1ö所以 x(n)=(2-ç÷)u(n) è2øn(b) X(z)=(z-z122)(z-1)3z-1212 =1+2(z-1)(z-1) =1+z-2+21z-12næ1ö则 x(n)=d(n)-ç÷u(n-1)+2u(n-1)è2øæ1ö =(2-ç÷)u(n)è2øn 3 第一章 离散时间信号系统与Z变换 Ø Z变换的基本性质和定理 3. 对因果序列，初值定理是x(0)=limX(z)，如果序列为 n>0时x(n)=0，问相应的定理是什么？z®¥讨论一个序列 x(n)，其z变换为： X(z)=7121-52z1924-1z-1+z-2X(z) 的收敛域包括单位圆，试求其 x(0) 值。 这道题讨论如何由双边序列Z变换X(z)来求序列初值x(0)，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，它们各自由X(z)求x(0)表达式是不同的，将它们各自的x(0)相加即得所求。 解：当序列满足0n>0,x(n)=0时,有:X(z)=ån=-¥x(n)z-n-2 =x(0)+x(-1)z+x(-2)z所以此时有：limX(z)=x(0)z®0+···若序列x(n)的Z变换为： 7X(z)=121- =52z-z1924-1z-17=12z2-1924z12)(z)+z-2(z-2)(z-z+43122X(z) 的极点为 z1=2,z2=由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为：12<z<2 则 x1(n) 为 n£0 时为有值左边序列，x2(n) 为因果序列：x1(0)=limX1(z)=limz®0z®0=0z13zx2(0)=limX2(z)=limz®¥z®¥x(0)=x1(0)+x2(0)= 4 第一章 离散时间信号系统与Z变换 4. 有一信号y(n)，它与另两个信号x1(n)和x2(n)的关系是： y(n)=x1(n+3)*x2(-n+1) æ1öæ1ö其中 x1(n)=ç÷u(n) ，x2(n)=ç÷u(n) è3øè2ønn已知 Zau(n)=n11-az-1 ，z>a，利用 z 变换性质求 y(n) 的 z 变换 Y(z) 。 (1) 注意移位定理 ：-1 x(n)«X(z) x(-n)«X(z x(n+m)«zm)-mX(z) x(-n+m)«zX(z-1) y(n)=x1(n)*x2(n) 则 Y(z)=X1(z)X2(z) 。解：根据题目所给条件可得： Z x1(n)¬¾®11-12z-1Z x2(n)¬¾®11-13z-1¾® Þx1(n+3)¬1-Zz312 z>z-112-1 x2(-n)¬¾®X2(z)=Z11-13z z-1>13¾® x2(-n+1)¬Zz1-113 z<3 z而 y(n)=x1(n+3) * x2(-n+1) 所以 Y(z)=Zx1(n+3)×Zx2(-n+1) z1-3=12×z-1z1-113z=-3z3(z-3)(z-12) 5 第一章 离散时间信号系统与Z变换 Ø Z变换与傅里叶变换的关系 5. 求以下序列x(n)的频谱X(ejw)。 (1) d(n-n0) (2) e-anu(n) (3) e-(a+jw0)nu(n) (4) e-anu(n)cos(w0n) 可以先求序列的Z变换X(z)再求频率 X(e即X(ejwjw) X(ejw)=X(z)z=ejw )为单位圆上的Z变换，或者直接求序列的 ¥jw-jwn傅里叶变换X(e解： )=ån=-¥x(n)e对题中所给的x(n)先进行z变换 再求频谱得： (1) ···X(z)=Zx(n)-n0 =Zd(n-n0) =zX(ejw)=X(z)|z=ejw-jn0w =e(2)···X(z)=Ze-anu(n)-1 =jw11-e-azX(e)=X(z)|z=ejw11-e-a =(3)···e-jwX(z)=Ze-(a+jw0)nu(n)-1 =11-e-(a+jw0)zX(ejw)=X(z)|z=ejw11-e-a =-j(w+w0)×e 6 第一章 离散时间信号系统与Z变换 (4)···X(z)=Ze-anu(n)cos(w0n)-1=1-z1-2z-1e-acosw0-2e-acosw0+ze-2aX(ejw)=X(z)|z=ejw 1-e1-2e-jw-jw=e-acosw0-2jwe-acosw0+ee-2a6. 若x1(n),x2(n)是因果稳定序列，求证： 12pòp-pX1(ejw)X2(ejw)dw=12pòp-pX1(ejw)dw12pòp-pX2(ejw)dw 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 x1(n)*x2(n)=而 x1(n)*x2(n)12pòp-pX1(ejw)X2(ejw)ejwndw n=0=x1(0)x2(0)12p =òp-pX1(ejw)X2(ejw)dw ，再利用x1(n)、x2(n)的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。 证明: 设 y(n)=x1(n)*x2(n) 则 Y(z)=X1(z)×X2(z) Y(e 12pjwjwjw)=X1(e1(ejw)×X2(ejw)dwòpX-p)X2(e)ejwn=12pòp-pY(ejw)ejwndw =y(n)=x1(n)*x2(n) 12pòpX-p1(ejw)X2(ejw)dw =x1(n)*x2(n)|n=0énù =êx1(k)x2(n-k)úëk=0ûn=0å =x1(0)×x2(0) 7 第一章 离散时间信号系统与Z变换 ···x1(n)=12pòpX-p1(ejw)ejwndwp x12(n)=2pòX(ejw)ejwndpw-2x1Xjw1(0)=2pòp-p1(e)dw x2(0)=12pòpXjw2(e)dw -p1p2pò-pX1(ejw)X2(ejw)dw=12pòp)dw1p-pX1(ejw2pò-pXw2(ej)dw 8 第一章 离散时间信号系统与Z变换 Ø 序列的傅里叶变换 7. 求x(n)=R5(n)的傅里叶变换。 这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。 解：根据傅里叶变换的概念可得： N-1X(e jw)=DTFTRN(n) =-jw N-jw-jN21å1×en=0-jw n =1-e1-e=eew×eejN2w-e-e-jN2w-jw21jw21-jw2N-1öì-jæç÷wè2øïe×sinNwsinw,22ï ï =í w ¹2kp,k为整数ïN, w =2kpïïî()() 当w¹2kp时， X(ejw)= sinNwjw(2)sinw(2) )argX(e)æN-1ö=-ç÷w+argsinNw2è2ø(sinw(2)æN-1ö2p=-ç÷w+np , Nè2ø当N=5 时， 即可得到所需的 argX(ejwn£w < 2pN(n+1) 和 X(ejw) 。 9 第一章 离散时间信号系统与Z变换 Ø 傅里叶变换的一些对称性质 8. 设X(ejw)是如下图所示的x(n)信号的傅里叶变换， 不必求出X(ejw)，试完成下列计算： (a) X(ej0) (b) p2ò-ppX(ejw)dw jw (c) ò-pX(ejw)dw (d) ò-ppdX(edw)2dw 利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式 12p2¥òp-px(ejw)dw=ån=-¥x(n)2 。 10 第一章 离散时间信号系统与Z变换 解： ¥¥(a) X(ej0)=åx(n)e-j0×n=åx(n)=6n=-¥n=-¥(b) òpjwpX(e)dw=òX(ejw)ej0dw-p-p =2 p x(0) =4 p(c)由帕塞瓦尔公式可得： òpX(ejw)2¥dw=2px(n)2=28p -pnå=-¥¥(d)X(ejw)=nåx(n)e-jwn=-¥ejw)¥dX(dw=)e-jwnnå(-jn)x(n=-¥jw即DTFT(-jn)x(n)=dX(e)dw由帕塞瓦尔公式可得： òpdX(ejw)2¥-pdwdw=2pnå|(-jn)x(n)|2=-¥¥=2pån2x2(n)n=-¥=2p(9+1+0+1+9+64+25+0+49)=316p 11 第一章 离散时间信号系统与Z变换 9. 已知x(n)有傅里叶变换X(ejw)，用X(ejw)表示下列信号的傅里叶变换。 (a) x1(n)=x(1-n)+x(-1-n) (b) x2(n)= (c) x3(n)=(n-1)2x(n) x(-n)+x(n)2*利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。 x(n)ÛX(ejw) , x(-n)ÛX(e-jw)x(m-n)Ûe-jwmX(e-jw) , wjdX(ej)dw=DTFTnx(n) 。解： (a) DTFTx(n)=X(ejw) DTFTx(-n)=X(e-jw) DTFTx(1-n)=e-jwX(e-jw) DTFTx(-1-n)=ejwX(e-jw) DTFTx1(n)=X(e-jw+ejw = 2 X(e-jw)cosw(b) DTFTx*(-n)=X*(ejw) 因而： DTFT x X *( e jw ) + X ( e jw ) 2 ( n ) = 2 = Re X ( e jw ) ¥(c) X(ejw)=åx(n)e-jwnn=-¥jw则 dX(e)¥dw=å(-jn)x(n)e-jwnn=-¥dX(ejw即 DTFTnx(n)=)(-j)dwjw =jdX(e)dw 12 第一章 离散时间信号系统与Z变换 同理:DTFTn2x(n)jw =j×ddw(jdX(e) dw)2X(ejw=-d)dw2而 x3(n)=n2x(n)-2nx(n)+x(n) 所以 DTFTx3(n) =DTFTn2x(n)-2DTFTnx(n) +DTFTx(n)2jwjw=-dX(e)dw2-2jdX(e)dw+X(ejw) 13 第一章 离散时间信号系统与Z变换 Ø 离散系统的系统函数，系统的频率响应 10. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1) (a)求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b)求此系统的单位抽样响应； (c)此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳定的系统的单位抽样响应。 x(n)«X(z) , h(n)«H(z) , y(n)«Y(z) 则 H(z)=Y(z)/X(z)=Zh(n)， 要求收敛域必须知道零点、极点。收敛域为Z平面某个圆以外，则为因果系统，收敛域若包括单位圆，则为稳定系统。 解：对题中给出的差分方程的两边作Z变换，得： Y(z)=zY(z)+zY(z)+zY(z)X(z)z1-z-1-1-2-1X(z) z(z-a1)(z-a2)所以H(z)=-1-z-2= 零点为z=0，z=¥ 极点为z=a1=0.51+(5=1.62，z=a2=0.51-)(5=-0.62 )因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。 零极点图如下图所示。 14 第一章 离散时间信号系统与Z变换 因为 H(z)=z(z-a1)(z-a2)=1a1-a2ézzù-êú z-az-a12ûëéù11=-êúa1-a2ë1-a1z-11-a2z-1û¥¥é1n-nn-nù=az-aå2zêå1úa1-a2ën=0n=0û1所以 h(n)=1a1-a2(an1-a2n)u(n)式中 a1=1.62 , a2=-0.62由于H(z)的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。 若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆，因此选H(z)的收敛区域为 a2<z<a1， 即0.62<z<1.62，则 ézzùH(z)=-êú a1-a2ëz-a1z-a2û1中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。 é所以 H(z)=ê-a1-a2ë1-1ån=-¥a1zn¥-n-ån=0a2zn-nùú û则有h(n)=1a2-a1(an1u(-n-1)+a2u(n)nn)n=-0.447´(1.62)u(-n-1)+(-0.62)u(n)从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。 15