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九年级数学圆知识点易错题初三数学 圆易错题 例1 如图23-2，已知AB为O直径，C为上一点，CDAB于D，OCD的平分线CP交O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？ 分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律 解： 连结OP， P点为中点 小结：此题运用垂径定理进行推断 例2 下列命题正确的是( ) A相等的圆周角对的弧相等 B等弧所对的弦相等 C三点确定一个圆 D平分弦的直径垂直于弦 解： A在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确 B等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确 C三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆 D平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦 故选B 例3 四边形ABCD内接于O，ABC123，求D 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等 解： 设Ax，B2x，C3x，则DACB2x x2x3x2x360°， x45° D90° 第 1 页 共 5 页 小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于O，周长为20，且ABBCCD123，求AD的长 例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径若测得PA5cm，则铁环的半径是_cm 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OPPA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解 解： 小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型 例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB16，求两圆的圆心距 解：分两种情况讨论： (1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结又AB16 AC8 在在故(2)若，则垂直平分AB， 中，中， 位于AB的同侧(如图23-9)，设 的延长线与AB交于C，连结垂直平分AB， 第 2 页 共 5 页 又AB16， AC8 在在故中，中， 注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题 三、相关定理： 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 说明：几何语言： 若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD 例1 已知P为O内一点，P任作一弦AB，设为 。 ，O半径为，过，则关于的函数关系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割线定理 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA·PB 例2 已知PT切O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。 解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割线定理，理， ， 由勾股定 四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等 第 3 页 共 5 页 2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明 3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算 4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角 6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角 7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角 8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径 9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点 11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线 12)遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线 13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边 2、圆中较特殊的辅助线 1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线 2)将割线、相交弦补充完整 3)作辅助圆 例1如图23-10，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB10，CD8，那么AE的长为( ) A2 B3 C4 D5 分析：连结OC，由AB是O的直径，弦CDAB知CDDE设AEx，则在RtCEO中，则，(舍去) ，即，答案：A 例2如图23-11，CA为O的切线，切点为A，点B在O上，如果CAB55°，那么AOB等于( ) A35° B90° C110° D120° 分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道AOB2BAC2×55°110°答案：C 例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) A B C D第 4 页 共 5 页 分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即答案：B 例4 如图23-12，在半径为4的O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交O于E，且EM>MC，连结OE、DE， 求：EM的长 简析：(1)由DC是O的直径，知DEEC，于是设EMx，则AM·MBx(7x)，即所以而EM>MC，即EM4 例5如图23-13，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程(其中m为实数)的两根 (1)求证：BEBD； (2)若，求A的度数 简析：(1)由BE、BD是关于x的方程的两根，得，则m2所以，原方程为(2)由相交弦定理，得得，即故BEBD 而PB切O于点B，AB为O的直径，得ABPACB90°又易证BPDAPE，所以PBDPAE，PDCPEB，则，所以，所以在RtACB中， ，故A60° 第 5 页 共 5 页