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中职数学基础模块等比数列等比数列 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q¹0)，即：an+1：(A)-5112(C)-(D) (B)22222. 在等比数列an，已知a1=5，a9a10=100，则a18= an=q(q¹0)。 递推关系：an+1=anqan=a1×q一、递推关系与通项公式通项公式：推广：an=am×qn-m1 在等比数列an中,a1=4,q=2，则an= 2 在等比数列an中,a7=12,q=32,则a19=_. 3.在等比数列an中，a28，a164，则公比q= 4.在等比数列an中，a2=-2，a5=54，则a8= 5.在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5= 二、等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为n-1(q=1)ìna1ïn2.前n项和公式Sn=ía1(1-q)a1-anq=ï1-q1-qî(q¹1) 例：1.已知等比数列an的首相a1=5，公比q=2，则其前n项和Sn= 2.设f(n)=2+24+27+210+L+23n+10(nÎN)，则f(n)等于 2n222(8-1) B(8n+1-1)C(8n+3-1) D(8n+4-1) 77773.设等比数列an的前n项和为Sn，已a2=6,6a1+a3=30，求an和SnAb=±ac，注：b2=ac是成等比数列的必要而不充分条件. 1.2+3和2-3的等比中项为 4设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求数列的公比q； 3.若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kÎN*，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列. S3k5444444444446444444444447a1+a2+a3+L+ak+ak+1+L+a2k+a2k+1+L+a3k 如下图所示：14442444314424431442443SkS2k-SkS3k-S2k2.设an是公差不为0的等差数列，则an的前n项和Sn= a1=2且a1,a3,a6成等比数列，n27nn25nn23n+A B C 443324三、等比数列的基本性质， Dn+n 例：1.设等比数列 *2an的前n 项和为Sn，若 S6S3=3 ，则 S9S6 = 1.若m+n=p+q，则am×an=ap×aq(其中m,n,p,qÎN) qn-m=an2，an=an-m×an+m(nÎN*) am78A. 2 B. 3 C. 3 D.3 2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 A83 B108 C75 D63 3.已知数列an是等比数列，且Sm=10，S2m=30，则S3m= 4.等比数列的判定法 an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. an既是等差数列又是等比数列Ûan是各项不为零的常数列. 例：1在等比数列an中,a1和a10是方程2x+5x+1=0的两个根,则a4×a7=( ) 2 1 定义法：an+1=qÞan为等比数列； an21.已知等差数列an满足：a3=7,a5+a7=26， 求an； 2.已知数列an满足a1=2,an-an-1=1(n³1)，求数列an的通项公式； 3.数列an满足a1=8，a4=2，且an+2-2an+1+an=0 ，求数列an的通项公*中项法：an+1=an×an+2(an¹0)Þan为等比数列； 通项公式法：an=k×qn(k,q为常数）Þan为等比数列； 前n项和法：Sn=k(1-qn)Þan为等比数列。 Sn=k-kqnÞan为等比数列。 例：1.已知数列an的通项为an=2n，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列an满足an+1=an×an+22(an¹0)，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 3.已知一个数列an的前n项和sn=2-2n+1，则数列an为 A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 5.利用an=í 例：1.数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=的值及数列an的通项公式 2.已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn，且Sn+1=Sn+n+5(nÎN*)，证明数列(n=1)ìS1求通项 îSn-Sn-1(n³2)1Sn，n=1，2，3，求a2，a3，a43式； 4.已知数列an满足a1=2,an=3an=1(n³1)，求数列an的通项公式； 5.在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3(n³1)，求数列的通项an 。an+1是等比数列 四、求数列通项公式 2