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中考高分的十个关节关节10图形变换关节十 图形变换引出的计算与证明 图形经“平移”、“轴对称”或“旋转”之后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会出现新的图形和新的关系。因此，图形变换引出的问题主要有两类：一类是变换引出的新的性质和位置关系问题；另一类是变换引出的几何量的计算问题。 一、图形平移变换引出的几何计算与证明 这类问题的解法的思考应当突出两点： 、把背景图形研究清楚； 、充分运用图形平移的性质，特别应注意的是：“平移变换不改变角度”。 两者的恰当结合，就是解法的基础。 例1 如图，若将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC移动，若重叠部分DA'PC的面积是1cm，则移动的距离AA'等于 。 第一，搞清楚背景图形：DABC和DA'B'C' 均为底边长为22cm的等腰直角三角形；第二，由平移搞 清楚新图形的特征：由于平移不改变角度，可知DA'PC也 是等腰直角三角形，这样一来， B 2A' A P C C' B' QSDA'PC=112(A'C)2,即1=AC2。解得A'C=2,而AC=22， 422AA'=22-2。 解：填22-2。 可以看出，由背景和平移的性质相结合得出DA'PC为等腰直角三角形，是本题迅速获解之关键。 例2 如图，已知DABC的面积为3，且AB=AC,现将DABC沿CA方向平移CA长度得到DEFA。 求DABC所扫过的图形面积； 试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由； 若ÐBEC=15°,求AC的长。 第一，搞清楚原图形即DABC的特征：AB=AC, 面积为3，第二，搞清楚平移过程：平移沿CA方向进行；平移距离 - 1 - B F E C A 为CA的长度。注意！这就意味着每一对对应点之间的距离都等于CA， 当然就有BF=CA=AE。由此可知： 扫过的图形即为菱形BAEF的两条对角线； AF和BE就是菱形BAEF的两条对角线； B ÐCAB=30°的条件下，由SDABC=3,求出AC的长。 各问题解法得到，落实如下： 解：如图DABC扫过的图形为菱形BAEF， 而S菱形BAEF=2SDABC=6。 C F A E 如图，QAF,BE为菱形BAEF的两条对角线，AFBE，并且AF，BE互相平分。 若ÐBEC=15°,则ÐCAB=30°，作BDAC于D，如图，则BD= 由11AB=AC， 221AC2=SDABC=3,解得AC=23。 4B C D 由本题可以看出，原图形背景和平移性质的结合是解法获得的基础。 30° A 例3 如图所示，一张三角形纸片ABC，ÐACB=90°,AC=8,BC=6。沿斜边AB的中线CD把这线纸片剪成DAC1D1和DBC2D2两个三角形如图所示。将纸片DAC1D1沿直线D2B方向平移，当点D1与点B重合时，停止平移，在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2,BC2分别交于点F，P。 当DAC1D1平移到如图所示的位置时，猜想图中D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。 设平移距离D2,D1为x，DAC1D1与DBC2D2重叠部分的面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变- 2 - C2 C C1 C2 F A P C1 E B A D B A D1 D 2B D2 D1 量x的取值范围； 对于中的结论是否存在这样的x，使得重叠部分面积等于原DABC纸片面积的1？若存在，请求出x的4值；若不存在，请说明理由。 第一，搞清楚背景图形所示的平移前的图形）， 第二，搞清楚平移过程：平移不改变角的大小；任意一对对应点的距离都等于图形平移的距离，按本题要求，平移距离x满足：0£x£5。 对于问题，注意到在图中有：D2AF和DD1BE都是等腰三角形，以及AD2=D1B的AD1=D2B演变而来），相应的猜想及证明都易得到； 对于问题，若在图中作辅助线：作FB'/EB,交AB于B'， 如图，易知RtDAB'FRtDABPRtDABC中）。 对于问题，由的结果构造相应的方程即可。 解：D1E=D2F，证明如下： F A C2 P C1 E D2 B' D B 1QC1D1/C2D2,ÐC1=ÐAFD2，又ÐACB=90°,CD是斜边AB的中线 DC=DA=DB,即C1D1=C2D2=BD2=AD1 ÐC1=ÐA,ÐAFD2=ÐA.AD2=D2F。同理：BD1=D1E 又QAD1=BD2,AD2=BD1,D1E=D2F。 作FB'/EB,交AB于B'，如图，由知DFD2B'DED1B Qy=SDABP-SDAB'F。 而SDABPSDAB'FSDABC，且它们的斜边长依次为10-x,10-2x,10。 y=11122(10-x)-(10-2x)×S=(20-3x)×x´´6´8 DABC22210101824=-x2+x 其中0£x£5。 255 令- 所以存在x,使重叠部分的面积为DABC面积的18224115x+x=´(´6´8), 即 3x2-2x+25=0，解得x1=,x2=5 25542315，这时，平移的距离为或5。 43从本题可以看出： 、恰当运用平移变换的性质极为重要，这体现在问题的解法中。 - 3 - 、充分而灵活运用平移构成的三角形相似很重要，这体现在问题的解法中。 图形平移的问题，解决的关键在于运用好“平移变换”的性质。 二、图形的轴对称变换引出的计算与证明 这类问题解决的思考应当突出以下两点： 、把背景图形研究清楚； 、充分注意轴对称的两部分全等，对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线。 两者的恰当结合，就是解法的基础。 图形的轴对称问题，解决的关键在于运用好“轴对称变换”的性质！ 例1 如图，边长为1的正方形ABCD中，M,N分别为AD,BC的中点，将点C折至MN上落在点P的位置，折痕为BQ.连结PQ。 求MP的长； 求PQ的长。 B N A M P Q D C 第一，搞清楚背景图形：M,N是正方形ABCD一组对边的中点； 第二，搞清楚轴对称情况：除正方形ABCD外，本题还有两组轴对称图形，一是DBPQ和DBQC关于BQ.对称；二是DPNB和DPNC关于MN对称 ，如图，由此立刻得DPBC是边长为1的等边三角形。 有了如上的认识，问题的解法已明朗。 解：连结PB,易知DPBC是等边三角形，且其边长为1。 A M P Q D PN=3333×PB=×1=,MP=MN-PN=1-。 2222B N C 由知ÐPBQ=1ÐPBC=30°,又ÐBPQ=ÐBCD=90°， 2PQ=PB×tanÐPBQ=1´tan30°=3。 3- 4 - 例2 如图，在RtDABC中，ÐC=90°,ÐA=60°，点E，F分别在AB，AC上，把ÐA沿着EF对折，恰使点A落在BC上点D处，且使EDBC。 猜测AE与BE的数量关系，并说明理由。 求证：四边形AEDF是菱形。 第一，搞清楚背景图形； 第二，搞清楚这个特殊的“折叠”和新图形的特点： AE=DEEDBC。 D E B AEDE11=sinB=sin30°=，得AE=BE。这就是问题的在RtDBDE中，DE=AE=AB-BE,BEBE22结论和理由。 而由ÐBED=60°,DAEFDDEF，得ÐDEF=ÐAEF=60°，又ÐA=60°，立刻推知DAEF和DDEF均是等边三角形，四边形AEDF当然就是菱形。 在本题，从背景图形和特殊折叠结合而得出的新图形的性质，成为解法形成的根据。 例3 已知矩形纸片ABCD，AB=2,AD=1。将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。 C F A 2,求DE的长。 3如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G，），DAED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G，）AF=的长。 D F E C D F E C A B G A B G 第一，背景图形易搞清楚；第二，两问的折叠方式有差异。 对于来说，折痕一AD交于点F，立刻有RtDFAGRtDFEG；RtDEDFRtDFAG，且EF=AF=AD-FD，由此即可求得DE的长。 对于，对应的图形如图，可知：DAED的外接圆的圆心O为AE的中点，则O也是FG的中点，且O在矩形AD,BC的中点连线MN上，而ON即是过该圆与BC相切切点的半径；RtDOAMRtDAGO，由此可求得GO。进而可求得FG的长。 解：在矩形ABCD中，AB=2,AD=1，AF=D F E C N B 2, 3M A - 5 - O G ÐD=90°。 EF=AF=21,DF=AD-AF=。 33在RtDDEF中，DE=213。 2-2=333如图，设AE与FG的交点为O，则以O为圆心，以OA为半径的圆就是DAED的外接圆。 若取AD的中点M，连结OM并延长交CB于点N。易知点N即O和CB相切的切点，ON=OA。 设OA为x，则MO=2-x， 在RtDAOM中，x=(2-x)+,解得x=在RtDAOM和RtDAGO中， 2212217。 16QMO/AG,ÐAOM=ÐGAO,RtDOAMRtDAGO 1AMGO1717GO=,即2=.FG=2GO=，得GO=。 1717OMAO30151-1616正是恰当地将背景图形和折叠的性质结合，使有关问题的数量关系集中于RtDDEF；使有关问题的数量关系集中于RtDAOM和RtDAGO，使两个问题迅速获解。 例4 已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点，按如下操作： 步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN所示）； 步骤二，过点P作PTAB,交MN所在的直线于点Q，连结QE所示）； 无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE 如图所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： 当点P在A点时，PT与MN交于点Q1,Q1,点的坐标是； 当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是； 当PA=12厘米时，在图中画出MN，PT并求出MN与PT的交点Q3的坐标； 点P在在运动过程中，PT与MN形成一系列的交点Q1,Q2，Q3观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式。 C M D B E A N P - 6 - y M T Q E B A N P B 18 C 12 E 6 D C C D Q2 12 18 24 B Q1 6 N O x 充分利用MN是PE的垂直平分线这一基本特征。 解：PQ=QE ； ； 画图，如图，设MN 与EP交于点F。 在RtDAPE中， y 18 12 E 6 D M C Q3 Q2 F G P 12 18 24 B Q1 6 N O x PE=AE2+AP2=62+122=65,PF=35。 QRtDQ3PFRtDPEA Q3PPFPE×PF=,Q3P=15,Q3(12,15)。 PEEAEA12x+3(0£x£x26)。 12可以多取几个P点，画出相应的Q点，易发现应在同一条抛物线上，由该抛物线过 点，可得其函数关系式为y=由以上诸例的解法可以看出： 图形轴对称变换的问题，解决的关键就是把轴对称的性质和背景图形的特征恰当结合。 三、图形的旋转变换引出的计算与证明 这类问题解决的思考应当遵循以下两点： 、把背景图形研究清楚； 、把图形旋转的基本性质：“对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角”和“旋转前后对应的两部分是全等的”。始终作为思考的指导。 例1 如图，将DABC绕点A顺时针旋转60°后，得到DAB'C'，且C'为BC的中点，则C'D:DB'等于 A、 1：2 B、1:22 C、1:3 D、1：3 联合观察背景图形DABC和旋转后的图形DAB'C'： DAC'C中，AC'=AC,ÐC'AC=60°，所以， D B C A B' DAC'C是等边三角形； 由C'恰为BC之中点，知AC=AC'=BC'=CC'，即DABC中， C' ÐBAC=90°,AC'为斜边BC上的中线。将，结合，则在RtDABC中，ÐC=60°,ÐB=30°，进而在RtDAB'C'中，ÐAC'B'=60°,ÐB'=30°,特别地还有ADB'C'(QÐB'=30°,ÐDAB'=60°)。对图形有了这些深入而具体的认识，立刻得出：C'D:DB'=(AD×tan30°):- 7 - AD3=AD:3AD=1:3 tan30°3解：应选D。 可以看出，从背景，旋转两者结合的角度深入研究新构成的图形，把握其各种隐性的特征，是迅速，正确地获得解的关键。 例2 将两个含有30°锐角的全等直角三角板ABC和A'B'C如图摆放，两个直角顶点C重合，AC和B'C在同一条直线上，将三角板ABC以点C为旋转中心，沿顺时针方向分别旋转30°,45°,60,到达DA1B1C,DA2B2C，DA3B3C的位置。CB1,CB2,CB3分别和A'B'相交于点P1,P2,P3。 求CP3CP1CP2， 的值。 B'P1B'P2B'P3A1 B B1 旋转30°时，对应的图形如图，结合 A2 A3 A' P1 P 2C B2 B3 背景图形和旋转的特征，得到DB'CP1中，ÐB'P1C=90°,ÐB'=30° A 解法已清楚。 P3 B' 旋转45°时，对应的图形如图，结合背景图形和旋转的特征，知道：DB'P2C中，ÐB'=30°,ÐP2CB'=45°，立刻想到应作P2MCB'于M,借助P2M沟通两个直角三角形RtDCP2M和RtDB'P2M，解法也明朗了。 旋转60°时，对应的图形如图，结合背景图形和旋转的特征，知道：在DB'P3C中，ÐB'=30°=ÐP3CB'，得P3C=P3B'，解法几乎是显然的。 B' A' A' 30° C A' B2 A' P1 30° A2 B' C P2 M A3 B3 P3 B' C B' 解：旋转30°时，如图，易知CP1A'B'。 在RtDB'CP1中，ÐB'=30°， 旋转45°时，如图，作P2MCB'于M, 在RtDB'P2M中，ÐP2CM=45°,CP2=CP31。 =tanB'=B'P312P2M。 在RtDB'P2C中，ÐB'=30°,B'P2=2P2M。 - 8 - CP22。 =B'P22CP3=1。 B'P3旋转60°时，如图，在DB'P3C中，ÐB'=30°=ÐP3CB'，得P3C=P3B'，旋转后的几何计算问题，多数情况下要借助旋转后形成的“新图形”，如本题的DB'P1C,DB'P2C,DB'P3C，而“新图形”的特征正好集中着原背景图形和所作旋转的特性。掌握与恰当运用这一规律，就能又好又快地获得问题的解法。 例3 如图，桌面内，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板，它们中较小的直角边的长为6cm，较小锐角的度数为30°。 A 将DECD关于直线AC对称图形的位置，ED'与AB相交于点F， E 请证明：AF=FD'； 将DECD沿直线l向左平移到图的位置，使E点落在AB上的 l B C D E'点处，你可以求出平移的距离，试试看： 将DECD绕点C逆时针旋转到图的位置，使E点落在AB上的E''点处，请求出旋转角的度数。 A A E' E E F F l l B C' C D' D D' B C D A E E'' D'' l B C D 本题的三问分别是针对图形的“轴对称”、“平移”和“旋转”三种变换的。 对于，将背景图形的情况和“轴对称”结合起来，容易发现DAFEDD'FB，当然结论就推出来了。 对于，将原背景图形的情况和“平移”的特征结合起来，容易发现DE'BC'和DABC的相似关系，从中可以推知“平移”的距离。 对于将原背景图形的情况和所作的特殊的“旋转”使点E绕点C旋转旋转到E''恰好在AB边上，由此不难找到所对应的旋转角度。 - 9 - 解：如图，在DAFE和DD'FB中，ÐA=ÐD'=30°,ÐAFE=ÐD'FB， AE=AC-EC=D'C-BC=D'B.DAFEDD'FB,AF=D'F。 如图QE'C'/AC,DE'BC'DABC BC'BC33，但E'C'=EC=BC,BC'=tan30°=BC。 E'C'AC333-33-3×BC=´6=(6-23)(cm) 33即平移距离CC'=BC-BC'= 如图，在RtDABC中，E''在AB上， 且E''C=EC=BC=1AB关系；图形作平移变换时，多会出现“相似”关系；图形作旋转变换时，更多的是着眼于“角度”。这既是问题构成的特征，当然也是寻找解决时的思考应遵循的规律。 例4 如图，已知正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别是42和22，它们的中心O1,O2都在直线l上，AD/l，EG在直线l上，l与DC相交于点M,ME=7-22，当正方形EFGH沿直线l以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD也绕O1以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变。 在开始运动前，O1O2= ； 当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时， B A D H O1 M E C O2 G F l 正方形ABCD停止旋转，这时AE= ；O1O2= ； 当正方形ABCD停止旋转后，正方形EFGH继续向左平移的时间为x秒，两正方形重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数表达式。 对于，O1O2=O1M+ME+EO2=22+7-22+1×22×2=9。 2对于，这时点A在l上O1点的右侧，且O1A=4，点E到O1的距离为(9-2)-1´3=4，即AE=0,O1O2=4+2=6。 对于，应把运动全过程搞清楚： - 10 - C H O1 O2 E A D F B H B G l C B H O1 O2 E G A F D l O2 E C G F O1 A D l 阴影部分的面积情况可分为四段，如图，图，图，还有图后的两正方形不相交的情况，它们的分界点在CG=12CG=8CG=4CG=0，对应的时刻为x=0,x=4,x=8,x=12。然后分段计算出阴影正方形的面积即可。 简解： 9； 0，6； 如图，当0£x<4时，QEA=x,所以y与x之间的函数关系式为y=如图，当4£x£8时，y与x之间的函数关系式为y=(22)2=8。 如图，当8£x£12时，QCG=12-x， x2。 212-x212)=x-12x+72。 所以y与x之间的函数关系式为y=(22当x³12时，y与x之间的函数关系式为y=0。 本题突出了按变换分析图形及研究位置关系，只有把这两个方面研究清楚了，才可能有正确的解决方法。 由以上的解析使我们体会到：解答关于图形变换的问题，应注意两个角度的“结合”： 第一个角度，要充分而恰当地将背景图形的性质和变换本身的性质相结合，这样才容易看清楚新图形的性质； 第二个角度，要充分而恰当地将图形的操作与关系的推演相结合，很多情况正是图上的操作才更容易展示变换的全貌和分类、分段情况的。可以说，许多几何图形都是从图上“看出”其性质的，而后才通过计算或证明予以解决的。 练习题 1、将图中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，再将DADC沿着AC方向平移，得到图中的DA1D1C1，- 11 - BC连结A1D1,BC1，除DA与DC1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等三角形？请选择其中的一对加以证明。 D A B D1 C C C1 A A1 B 2、如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH(A,E,C,G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动，平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q,设S表示PCMH的面积。S'表示矩形NFQC的面积。 S与S'相等吗？请说明理由。 设AE=x,写出S和x之间的函数关系式，并求出x取任何值时S有最大值，最大 值是多少？ 连结BE，当AE为何值时，DABE是等腰三角形。 - 12 - A E B N F D P C H M G Q 3、如图RtDPMN中，ÐP=90°,PM=PN,MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令RtDPMN不动，矩形ABCD沿MN所在的直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重叠为止，设移动x秒后，矩形ABCD与DPMN重叠部分的面积为ycm2。求y与x之间的函数关系式。 P A 2 B D M C N P A 2 B D C N 4、如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为 A、 1515 B、 C、 5 D、 6 24A E D 5、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折痕，使点A落在B F C BC边上的点D的位置，且EDBC,则CE的长是 A、 103-15 B、10-53 C、 53-5 D、20-103 6、在矩形纸片ABCD中，AB=33,BC=6。沿EF折痕后，点C落在AB边上 B 的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，ÐBPE=30°。 求BE,QF的长； A 求四边形PEFH的面积。 - 13 - A F E D C Q H F D P B E C 7、台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学、几何学知识。图是一个台球桌，目标球F与E之间有一个G球阻挡。 击球者想通过击打E球，让E球先撞台球桌的AB边，经过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图中用尺规作出这一点H。并作出E球的运动路线；。 如图，现以D为原点，建立直角坐标系，记A(0,4),C(8,0),E(4,3),F(7,1)，求E球按刚才方式运动到F球的路线长度。 A B E G F D C y A E G F D C B x 8、如图，在RtDABC中，ÐACB=90°,AC=BC=1。将DABC绕点C逆时针旋转30°得到DA1B1C，CB1与AB相交于点D。求BD的长。 A A1 B1 D C B 9、如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC,AB相交，交点分别为M,N。如果AB=4,AD=6,OM=x,ON=y，则y与x的关系式为 A、 y= - 14 - 263x B、 y= C、 y=x D、y=x 32xA N B O D M C 10、把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角 顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中ÐABC=ÐDEF=90°,ÐC=ÐF=45°,AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与BC相交于点Q 如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证DAPDDCDQ。此时AP×CQ= 。 将三角板DEF由图所示的位置绕点O按逆时针方向旋转，设旋转角为a。其中0°<a<90° ，问AP×CQ的值是否改变？说明你的理由。 在的条件下，设CQ=x,两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式。 A D P B F F P C E B Q C E F B M Q C D A E P D A - 15 -