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中考数学知识点经典总结中考数学复习资料 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： 开方开不尽的数，如7,32等； 有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等； 3有特定结构的数，如0.1010010001等； 某些三角函数，如sin60o等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“±2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a a”。 a³0 a2=a= ；注意a的双重非负性： -a a³0 3、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 第 1 页 共 44 页 1 注意：3-a=-3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做±a´10的形式，其中1£a<10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法 数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 求差比较：设a、b是实数， na-b>0Ûa>b, a-b=0Ûa=b, a-b<0Ûa<b 求商比较法：设a、b是两正实数，aaa>1Ûa>b;=1Ûa=b;<1Ûa<b; bbb绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a>bÛa<b。 平方法：设a、b是两负实数，则a>bÛa<b。 考点六、实数的运算 1、加法交换律 a+b=b+a 2、加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 3、乘法交换律 ab=ba 4、乘法结合律 (ab)c=a(bc) 5、乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac 6、实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 22第二章 代数式 考点一、整式的有关概念 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如-4ab，这种表132第 2 页 共 44 页 2 示就是错误的，应写成-132ab。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如-5a3b2c3是6次单项式。 考点二、多项式 1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 括号前是“”，把括号和它前面的“”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：去括号；合并同类项。 整式的乘法：a·a=a =anmnmnm+n(m,n都是正整数) mn(m,n都是正整数) n (ab)=ab(n都是正整数) (a+b)(a-b)=a-b (a+b)=a+2ab+b (a-b)=a-2ab+b 整式的除法：a¸a=amnm-n22222222n(m,n都是正整数,a¹0) 注意：单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 a=1(a¹0);a0-p=1(a¹0,p为正整数) pa多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 考点三、因式分解 1、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2、因式分解的常用方法 提公因式法：ab+ac=a(b+c) 运用公式法：a-b=(a+b)(a-b) 第 3 页 共 44 页 3 22 a+2ab+b=(a+b) a-2ab+b=(a-b) 分组分解法：ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) 十字相乘法：a+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 3、因式分解的一般步骤： 如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 考点四、分式 1、分式的概念 一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成2222222AA的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分BB式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变。 分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3、分式的运算法则 acacacadad´=;¸=´=; bdbdbdbcbcanan=n(n为整数); bbaba±b±=; cccacad±bc ±=bdbd考点五、二次根式 1、二次根式 式子a(a³0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。 2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： 如果被开方数是分数或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质 4 第 4 页 共 44 页 (a)=a(a³0) a(a³0) a22=a= -a(a<0) ab=a·b(a³0,b³0) aa=(a³0,b³0) bb5、二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。 第三章 方程 考点一、一元一次方程的概念 1、方程 含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质 等式的两边都加上同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 等式的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式。 4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax+b=叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。 考点二、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a¹0)，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 考点三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形2如(x+a)=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b³0时，x+a=±b，2x=-a±b，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a+b)，把公式中的a看做未知数x，并用第 5 页 共 44 页 5 222x代替，则有x±2bx+b=(x±b)。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程ax+bx+c=0(a¹0)的求根公式： 2222-b±b2-4ac2x=(b-4ac³0) 2a4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 考点四、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程ax+bx+c=0(a¹0)中，b-4ac叫做一元二次方程ax+bx+c=0(a¹0)的根的判别式，通常用“D”来表示，即D=b-4ac 考点五、一元二次方程根与系数的关系 如果方程ax+bx+c=0(a¹0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-22222bc，x1x2=。也就是说，aa对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点六、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： 去分母，方程两边都乘以最简公分母 解所得的整式方程 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 考点七、二元一次方程组 1、二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 4二元一次方程组的解 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 5、二元一次方正组的解法 代入法加减法 6、三元一次方程 把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 第 6 页 共 44 页 6 7、三元一次方程组 由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 第四章 不等式 考点一、不等式的概念 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 3、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变。 考试题型： 考点三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤： 去分母去括号移项合并同类项将x项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。 当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 2、一元一次不等式组的解法 分别求出不等式组中各个不等式的解集 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 第五章 统计初步与概率初步 考点一、平均数 1、平均数的概念 平均数：一般地，如果有n个数x1,x2,L,xn,那么，x=均数，x读作“x拔”。 加权平均数：如果n个数中，1(x1+x2+L+xn)叫做这n个数的平nx出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为x=第 7 页 共 44 页 这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中f1,f2,L,fk叫做权。 2、平均数的计算方法 定义法 当所给数据x1,x2,L,xn,比较分散时，一般选用定义公式：x=加权平均数法： 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：x=1(x1+x2+L+xn) nx1f1+x2f2+Lxkfk，其中nf1+f2+Lfk=n。 新数据法： 当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x=x'+a。 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1=x1-a，x'2=x2-a，x'n=xn-a。x'=1(x'1+x'2+L+x'n)是新数据的平均数。 考点二、统计学中的几个基本概念 1、总体 所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体 总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量 样本中个体的数目叫做样本容量。 5、样本平均数 样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。 6、总体平均数 总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。 考点三、众数、中位数 1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数。 考点四、方差 1、方差的概念 在一组数据x1,x2,L,xn,中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“s”表示，即 21s2=(x1-x)2+(x2-x)2+L+(xn-x)2 n2、方差的计算 基本公式： 第 8 页 共 44 页 8 1s2=(x1-x)2+(x2-x)2+L+(xn-x)2 n简化计算公式： 2122s2=(x12+x2+L+xn)-nx n21222也可写成s2=(x1+x2+L+xn)-x n此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 简化计算公式： 2122s2=(x'1+x'2+L+x')-nx' 2nn当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x'1=x1-a，x'2=x2-a，x'n=xn-a，那么，2122 s2=(x'1+x'2+L+x')-x'2nn此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 新数据法： 原数据x1,x2,L,xn,的方差与新数据x'1=x1-a，x'2=x2-a，x'n=xn-a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'1,x'2,L,x'n,的方差就等于原数据的方差。 3、标准差 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 s=s2=1(x1-x)2+(x2-x)2+L+(xn-x)2 n考点五、频率分布 1、频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。 2、研究频率分布的一般步骤及有关概念 研究样本的频率分布的一般步骤是： 计算极差 决定组距与组数 决定分点 列频率分布表 画频率分布直方图 频率分布的有关概念 极差：最大值与最小值的差 频数：落在各个小组内的数据的个数 频率：每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。 考点六、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 考点七、随机事件发生的可能性 第 9 页 共 44 页 9 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 考点八、概率的意义与表示方法 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就m叫做事件A的概率。 2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，表示事件A的概率p，可记为P=P 考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率 当A是必然发生的事件时，P=1 当A是不可能发生的事件时，P=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1概率的值 不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 考点十、古典概型 1、古典概型的定义 某个试验若具有：在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。 2、古典概型的概率的求法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P=m n考点十一、列表法求概率 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 考点十二、树状图法求概率 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 考点十三、利用频率估计概率 1、利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 3、随机数 在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为第 10 页 共 44 页 10 随机数。 第六章 一次函数与反比例函数 考点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a¹b时，和是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限Ûx>0,y>0 点P(x,y)在第二象限Ûx<0,y>0 点P(x,y)在第三象限Ûx<0,y<0 点P(x,y)在第四象限Ûx>0,y<0 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上Ûy=0，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上Ûx=0，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上Ûx，y同时为零，即点P坐标为 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上Ûx与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ûx与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p关于x轴对称Û横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p关于y轴对称Û纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p关于原点对称Û横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点P(x,y)到x轴的距离等于y 点P(x,y)到y轴的距离等于x 第 11 页 共 44 页 11 22点P(x,y)到原点的距离等于x+y 考点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果y=kx+b，那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx。这时，y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数y=kx+b的图像是经过点的直线；正比例函数y=kx的图像是经过原点的直线 第 12 页 共 44 页 12 k的符号 b的符号 函数图像 y 0 x y 0 x 0 x y 0 x 图像特征 b>0 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。 k>0 b<0 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。 b>0 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小 K<0 b<0 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。 注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数y=kx有下列性质： 当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地，一次函数y=kx+b有下列性质： 当k>0时，y随x的增大而增大 当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 考点五、反比例函数 1、反比例函数的概念 k-1叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=kx的x形式。自变量x的取值范围是x¹0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 一般地，函数y=第 13 页 共 44 页 13 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x¹0，函数y¹0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 y O x x的取值范围是x¹0， y的取值范围是y¹0 当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 k>0 y=k(k¹0) xk<0 y O x 图像 性质 x的取值范围是x¹0， y的取值范围是y¹0； 当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=k中，只有一个待定系数，因此只需要一对x对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数y=ky轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON(k¹0)图像上任一点P作x轴、x的面积S=PM·PN=y·x=xy。 Qy=k,xy=k,S=k。 x第七章 二次函数 考点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)，那么y叫做x 的二次函数。 2y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于x=-b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征： 有开口方向；有对称轴；有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： 第 14 页 共 44 页 14 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 求抛物线y=ax+bx+c与坐标轴的交点： 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： 一般式：y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a¹0) 顶点式：y=a(x-h)+k(a,h,k是常数，a¹0) 当抛物线y=ax+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。如果没有交点，则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值，即当x=-2222222b时，2ay最值4ac-b2。 =4a如果自变量的取值范围是x1£x£x2，那么，首先要看-b是否在自变量取值范围x1£x£x2内，若2a4ac-b2b在此范围内，则当x=-时，y最值=；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1£x£x2范围内4a2a的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax2+bx2+c，当x=x1时，2y最小=ax12+bx1+c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大=ax12+bx1+c，当2+bx2+c。 x=x2时，y最小=ax2考点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 a>0 y 0 x 二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a¹0) a<0 y 0 x 第 15 页 共 44 页 15 图像 抛物线开口向上，并向上无限延伸； 对称轴是x=抛物线开口向下，并向下无限延伸； -b2a，顶点坐标是对称轴是x=-b2a，顶点坐标是； 4ac-b24a）； 在对称轴的左侧，即当x<-b时，y随x的增大2ab而减小；在对称轴的右侧，即当x>-时，y随x2a的增大而增大，简记左减右增； 在对称轴的左侧，即当x<-b时，y随x的增2ab大而增大；在对称轴的右侧，即当x>-时，y2a随x的增大而减小，简记左增右减； 抛物线有最低点，当x=-b时，y2a有最小值，抛物线有最高点，当x=-b时，y有最大值，2ay最小值4ac-b2=4a2y最大值4ac-b2=4a2、二次函数y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a¹0)中，a、b、c的含义： a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下 b b与对称轴有关：对称轴为x=-2a c表示抛物线与y轴的交点坐标：3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的D=b-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当D>0时，图像与x轴有两个交点； 当D=0时，图像与x轴有一个交点； 当D<0时，图像与x轴没有交点。 补充： 1、两点间距离公式