中考数学综合题专题复习圆专题解析.docx

中考数学综合题专题复习圆专题解析数学专题之精品解析 中考数学综合题专题复习专题解析 一. 教学内容： 1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理： 垂径定理及其推论。 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 圆周角定理、弦切角定理及其推论。 圆内接四边形的性质定理及其推论。 切线的性质及判定。 切线长定理。 相交弦、切割线、割线定理。 两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。 圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 正n边形的有关计算。 二. 中考聚焦： 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表： 内容 所占分数百分比 圆的有关性质 5%15% 直线和圆的位置关系 8%16% 圆与圆的位置关系 3%12% 正多边形和圆 2%8% 圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。 三. 知识框图： ì圆的有关性质ï直线和圆的位置关系ï 圆í 圆和圆的位置关系ïïî正多边形和圆 1 数学专题之精品解析 ìì点和圆的位置关系ï圆的定义íî不在同一直线上的三点确定一个圆ïïì轴对称性垂径定理ïï 圆的有关性质íì圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 ïï圆心角定理ï圆的有关性质ïïíï旋转不变性íïïï圆周角定理ïïïïî圆内接四边形îîì相离ïïï相交ïì切线的性质 直线和圆的位置关系í ïï切线的判定ï相切ïíïï弦切角ïïî和圆有关的比例线段îìïï外离ï内含ï 圆和圆的位置关系í相交 ïì内切ï相切ïíïïî外切ïî两圆的公切线ì正多边形定义ìïï正多边形和圆ï正多边形和圆ïíïï正多边形的判定及性质ïï正多边形的有关计算 正多边形和圆í îïì圆周长、弧长ïïï圆的有关计算í圆、扇形、弓形面积ïïî圆柱、圆锥侧面展开图î . 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示： 2 数学专题之精品解析 安 O 120m 全区 爆破中心 域 解：Q导火索燃烧的时间为18=20(s) 0.9 相同时间内，人跑的路程为20´65.=130(m) 人跑的路程130m>120m 点导火索的人非常安全 . 已知梯形ABCD内接于O，ABCD，O的半径为4，AB6，CD2，求梯形ABCD的面积。 分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OECD于E，延长EO交AB于F，证OFAB。 此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论： 当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图： 过O作OECD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CEDE ABCD，OECD OFAB，即EF为梯形ABCD的高 在RtOEC中，EC1，OC4 OE=OC2-EC2=42-12=15 7 同理，OF= EF=OE+OF=15+7 S梯形ABCD=1(2+6)15+7=415+7=415+47 2()() 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图： 3 数学专题之精品解析 过O作OECD于E，交AB于F 以下证法同，略。 EF=15-7 )( 梯形ABCD的面积为4(15+7)或4( S梯形ABCD=1(2+6)15-7=415-7=415-47 2()15-7 ) . 如图，已知AB为O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。 分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有C和D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到RtACB和RtADB。可以发现ACDABD，ADCABC，于是，可以把tanC·tanD转化为 tanABD·tanABC=ADACAD·AC·=，则可求。 BDBCBD·BC 解：连结BC、BD AB是O的直径，ACBADB90° ACDABD，ADCABC tanC·tanD=tanABD·tanABC= 作AECD于E，作BFCD于F 则AECADB ADACAD·AC·= BDBCBD·BCACAB =AEAD AC·ADAE·AB 同理，BD·BCBF·AB 4 数学专题之精品解析 tanC·tanD= APEBPF AE·ABAE =BF·ABBFAEAP =BFBPAP3AE=，=3 BP1BF P为半径OB的中点 tanC·tanD3 . 如图，ABC是等边三角形，D是BC上任一点，求证：DB+DC=DA 分析：由已知条件，等边ABC可得60°角，根据圆的性质，可得ADB60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。 证明：延长DB至点E，使BEDC，连结AE ABC是等边三角形 ACBABC60°，ABAC ADBACB60° 四边形ABDC是圆内接四边形 ABEACD 在AEB和ADC中， ìBE=CDï íABE=ACD ïAB=ACî DAEBDADC AEAD ADB60° AED是等边三角形 ADDEDBBE BEDC DBDCDA 说明：本例也可以用其他方法证明。如： 延长DC至F，使CFBD，连结AF，再证ACFABD，得出ADDF，从而DBCDDA。 5 数学专题之精品解析 在DA上截取DGDC，连结CG，再证BDCAGC，得出BDAG，从而DBCDDA。 . 如图，已知四边形ABCD内接于O，AB是直径，ADDC，分别延长BA、CD交于点E，BFEC交EC的延长线于F，若EAAO，BC12，求CF的长。 分析：在RtCFB中，已知BC12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。 解：连结OD，BD QAD=DC，AD=DC ABCAOD ODBC ODEO =BCEBOD2=，OD=8 123 EAAO，EAAOBO QBC=12， AB16，BE24 四边形ABCD内接于O EDAEBC E是公共角 EDAEBC ADEAED =BCECEB 设ADDCx，EDy，则有 xy8 =1224x+y 解方程组，得：x=42 AD=42 AB为O的直径 ADBF90° 又DABFCB RtADBRtCFB 6 数学专题之精品解析 ADAB4216=，即= CFBCCF12 CF=32 说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。 此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。 . 如图，已知等腰ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别交AC、BC于点F、D，过D作O的切线交FC于E，若AF7，cosB=3，求CE的长。 5 解：连结FD AB是直径，ADBC ABAC，BDDC，FADDAB 四边形ABDF是圆内接四边形 CFDB C是公共角 ABCDFC CDDF =ACAB ABAC CDDF DE切O于D FADEDF 又CDEEDFFADDAB CDEDAB CDEEDF CDFD CEEF，DECF 3，B=C 53 cosC= 5 QcosB=7 数学专题之精品解析 在RtDACD中，cosC= 设CD3x，AC5x 在RtDCDE中，cosC=CD3= AC5EC3EC ，即=CD53x9x 5 QAC=AF+2CE 18 5x=7+x 5 x=5 EC= EC9 . 如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。 解：公共弦AB120 a4=R6=120 æaö222 r6=R6-ç4÷=120-60=603 è2ø ÐO1=60，a4=120，R4=o22AB=602 22æaö2 r4=R4-ç4÷=è2ø2(602)-602=60，O2=90o QS弓形AmB=S扇形AO2B-SDAO2B90pR214=-a4r4=1800p-3600 3602 S弓形AnB=S扇形AO1B-SDAO1B60pR216=-a6r6=2400p-36003 3602 S阴影=S弓形AmB+S弓形AnB=4200p-36001+(3 ) 两圆相交弧间阴影部分的面积为4200p-36001+3cm 8 ()2数学专题之精品解析 .一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm。 试计算烟盒顶盖ABCD的面积。 制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张 解题点拨：四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图中的O1E长即可。 解：如图，作O1EO2O3 QO1O2=O2O3=O3O1=0.75= O1E=3 43333´= 42833333+3+=(cm) 843 AB=2´ AD=7´321=(cm) 44 四边形ABCD的面积是： 2133+3633+63´=(cm)2 4416 制作一个烟盒至少需要纸张： æ633+6333+3ö212+´8.4+´8.4÷=144.096»144.1(cm) 2ç1644èø9 数学专题之精品解析 . 在直径为20cm的圆中，有一弦长为16cm，求它所对的弓形的高。 解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。 H A B C O G 如图，HG为O的直径，且HGAB，AB16cm，HG20cm OH=10cm，BC= OC=1AB=8cm 2OB2-BC2=102-82=6cm CH=OH-OC=10-6=4cm CG=OC+OG=6+10=16cm 故所求弓形的高为4cm或16cm 直径AB=2cm，过A点有两条弦AC=2cm，AD=3cm，.O的 求：CAD所夹圆内部分的面积。 解：符合题设条件的图形有两种情况： 圆心O在CAD的内部，如图，连结OC、OD，过O作OEAD于点E QOA=OC=1，AC= OCAB S1=SDAOC+S扇形BOC= QOA=1，AE=2 190´1p1p´1´1+=+ 23602413AD= 222æ3ö112 OE=1-ç÷=，即OE=OA 22è2ø 10 数学专题之精品解析 S2=SDAOD+S扇形BOD=1160´1´p3p´´3+=+ 2236046 S=S1+S2=1p3pæ2+35pö2+=ç+÷cm 2446è412ø 圆心O在DAC的外部时，如图，有： 1p3pæ2-3pö2-=ç+÷cm S=S1-S2=+-2446è412ø CAD所夹圆的内部的面积为：çæ2+35pö2æ2-3pö2+÷cm或ç+÷cm 12ø12øè4è4ÇÇo. 已知圆O中，AB、CD为两条弦，AC的度数为130，BD的度数为90o, M、N分别为AB、CD的中点，求ÐMON的度数。 分析：由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。 解：当AB、CD不相交时，且AB、CD在圆心的两侧，如图连结OD、OB。 M、N分别是弦AB、CD的中点，OD、OB过圆心O ÇÇ OM、ON的延长线平分AB、CD 1Ç1Çmm ÐBOMAB，ÐDON=CD 221ÇÇm ÐBOM+ÐDON(AB+CD) 2ÇÇ QAC的度数为130°，BD的度数为90° ÇÇ CD+AB的度数为360°-130°-90°=140° ÐBOM+ÐDON=70° mÇ QÐBODBD=90° ÐMON=90°+70°=160° 11 数学专题之精品解析 图 当AB、CD不相交，且在圆心O的同侧时，如图，连结OB、OC 1Ç1Çmm 同理可证，ÐBOMAB，ÐCONCD 221Ç1ÇÇm 而ÐMON=ÐBOM-ÐCON-ÐBOCAD-CD-BC 22Ç1ÇÇÇÇ =(AD+DC+BC-DC)-BC 21ÇÇ1 =(AC-BD)=(130°-90°)=20° 22图 当AB、CD相交于点P，且圆心O在DPA的内部时，如图，DPA是圆内角， ÇÇ1m1ÇÇ 则ÐDPA(AD+BC)=(360°-AC-BD)=70° 22 QÐOMP=ÐONP=90°ÐMON=180°-70°=110° 图 当AB、CD相交于点P，且圆心O在DPA的外部时，如图 1ÇÇ1ÇÇm QÐDPA(AD+BC)=(AC-BD)=20°，又ÐONP=90° 22 ÐNQP=ÐMQO=90°-20°=70°，ÐMON=20° 综上所述，ÐMON的度数为20°或110°或160°。 12 数学专题之精品解析 图 .已知：如图，圆心A，圆A与x轴相切，圆B的圆心B在x正半轴上，且圆B与圆A外切于点P。两圆内公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N：求证AOBNPB；设圆A半径为r1，圆B半径为r2，若r1：r23：2，求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式；设点B，点B关于y轴的对称点B，若x1·x2-6，求过B、A、B三点的抛物线解析式；若圆A的位置大小不变，圆心B在x正半轴上移动，并始终有圆B与圆A外切，过点M作圆B的切线MC，C为切点，MC33时，B点在x轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？ 解：QAOx轴，MPAB，ÐABO=ÐNBP， DAOBDNPB QA(0，-3)，OA=AP=3 : 又Qr1:r2=AP:PB=32 PB=2，AB=5，BO= Q52-32=4 ABBO =NBBPAB´BP5´25 NB= BO4253 ON=4-= 223 点N的坐标为 2 由RtDAPMRtDAOB 13 数学专题之精品解析 AM=AB=5，点M的坐标为 设直线MP的解析式为ykxb， 4ì2=k×0+b，ìk=-，ïï解得 则有í 3í30=k+b，ïï2îîb=2， MP的函数解析式为y=-24x+2 3 设抛物线为yaxbxc 2 令y0，则有axbxc0 B与B关于y轴对称， x1x20，即b0， 又点A，C=-3 x1×x2= a=c-3=-=-6 aa1 212x-3 2 抛物线的解析式为y= MCMP 可证APMAOB MC=MP=BO=33 点B的坐标为 猜想：圆心B在x轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP的长等于点B的横坐标或四边形MOBC是长方形。 一. 选择题： 1. 已知AB是O的直径，半径EOAB于O，弦CDEO于F点，若CDB120°，则CD的度数为 A. 10° B. 15° C. 30° D. 60° 2. 如图，已知O中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且AC、BD的度数为130°、90°，则MON的度数为 A. 70° B. 90° C. 130° D. 160° 14 数学专题之精品解析 C M D B O N A 3. 已知ABC中，a、b、c是A、B、C的对边，若r是内切圆半径，则ABC的面积可以表示为 A. 1 (a+b+c)r 4B. 1(a+b+c)r 2 C. (a+b+c)r D. 2(a+b+c)r 222 4. 已知两圆的半径分别为R、r，且圆心距为d，若R+d-r=2Rd，则这两圆的位置关系为 A. 外离或外切 C. 外切或内切 B. 相交或内切 D. 内切或内含 5. 已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足1<a<2，则这个多边形是R A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 已知正方形ABCD边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为 A. 二. 填空题： 7. 已知ABC，C90°，B28°，以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D，则AD的度数为_。 52 2B. 52 2 C. 52(2-1 )D. 5(2-1 ) 8. 已知ABC内接于O，F、E是AB的三分之一点，若AFE130°，则C_度。 9. 已知PA切O于A，APO30°，若PA=123，OP交于O于C，则PC_。 10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_。 15 数学专题之精品解析 三. 求解下列各题： 11. 已知AB是O的直径，弦CDAB于E，若弦CD把O分为2：1的两部分，且CD=43，求O的直径及AE长。 12. 已知等边ABC内接于O，E是BC上一点，AE交BC于D，若BD：DC2：1，且AB6，求DE长。 13. 如图所示，AB是O的弦，EF切O于B，ACEF于C。 求证：AB=2AC·AO 2四. 解答题： 14. 如图所示，AB切O于B，AE过O点交O于E、C，过C作O切线交AB于D，若AD=2BD。 求证：AE=3AB 15. 如图所示，ABC中，A90°，O是BC上一点，以O为圆心的圆切AB、AC于D、E，若AB3，AC4，求阴影部分的面积。 16. 如图所示，O与O'交于A、B，过A点任意作两圆的割线CAD，若连结CB、DB，问16 数学专题之精品解析 因割线CAD的位置不确定，CBD的大小是否改变？ 五. 解答题： 17. 如图所示，PA切O于A，PO交O于B、C，若AC=CE，AE交BC于D，且BEA30°，DB1，求AP及PB长。 18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？ 17 数学专题之精品解析 参考答案 一. 选择题。 1. D 2. D 3. B 提示：设ABC的内切圆的圆心为O 连结OA、OB、OC，则ABC可分割成三个三角形：ABO，BCO，ACO 则SDABC=SDABO+SDBCO+SDACO 111a×r+b×r+c×r2221=(a+b+c)r2= 应选B 4. C 提示：依题意，有：R-2Rd+d-r=0 (R-d)-r=0 22222 (R-d+r)(R-d-r)=0 所以，R-d+r=0或R-d-r=0 即R+r=d，或R-r=d 两圆内切或外切 5. C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有R<a< 因为a6=R，a4=2R 2R，所以a6<a<a4 则a6<a5<a4，是正五边形，应选C。 6. D 提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GEEFFH 18 数学专题之精品解析 A E F D G H B C 设EFx，则根据勾股定理，AE=DF= 则有AD=AE+EF+FD 即x+2·2x 22x=5 2 x=52+1=52-1 () 应选D 二. 填空题。 7. 56° 8. 75°或105° 提示：如图所示： AFE130°，ABE的度数为260° 则AE的度数为360-260=100 F、E是AFB的三分之一点 oooAF=FE=EBAF=FE=EB=50o 19 数学专题之精品解析 C 9. 12 10. 3：1 如图所示，设大圆与小圆的半径为2r和r 则大圆内接正六边形的边长为2r，小圆外切正六边形的边长为 因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方 mAFB=150o或C=105o 23r 3æ23ö2 即(2r)：çr÷=3：1 3èø2三. 求解下列各题： 11. 解：如图，分两种情况：点E在OA上；点E在OB上 直径AB弦CD于E，CD=43 根据垂径定理，有：CE=ED=23 A、B分别为CAD和CBD的中点 CD把O分成2：1两部分 CD的度数为120°，CBD的度数为240° 20 数学专题之精品解析 1m1AC=60o´=30o 连结BC，则B22 在RtDBCE中，BE=cot30×CE=o3×23=6 QCE2=AE×EB23CE AE=EB6AB=AE+EB=82()2=2 当点E在OB上时，AE6 直径为8，AE6或2 12. 解法一：如图，ABC是等边三角形，AB6 图 BCABAC6，BACB60° BD：DC2：1 BD4，CD2 AD·DEBD·CD8 连结CE，BE60° ACBE CAD是公共角 ACDAEC AC=AD×AE=36=AD(AD+DE)=AD+AD×DE 22AD2=28，AD=27BD×CD847 DE=AD727 解法二：如图，过A作AGBC于G 21 数学专题之精品解析 图 ABC是等边三角形，BC6 CGGB3 由解法一得：CD2，BD4 DG1 在RtDAGB中，AG= 在RtDADG中，AD= 根据相交弦定理，有： DE×AD=CD×BD DE=AB2-BG2=62-32=33 AG+DG=22(33)2+12=27 CD×BD2´847= AD727 13. 证明一：延长AD交O于D，连结BD，如图 AD是直径，ABD90°，2AOAD EF切O于B 1D ACEF于C CABD90° 22 数学专题之精品解析 ABCADB ACAB =ABAD 即AB2=AC×AD=2AC×AO 证明二：延长AC至M，使CMAC，连结BM、OB 图 BCAC，ACCM MBAB M2 OAOB 34 EF切O于B OBEF ACOB 23 234M MBAB=，MBA=BOAOBOADMBADBOAQABAM=AOABAB2=AM×AO=2AC×AO四. 解答题。 14. 证明：如图，依题意，设BDx，则AD2x 23 数学专题之精品解析 AB、CD切O于B、C点 BDCDx，OCCD ACD90° AC=AD2-CD2=(2x)2-x2=3x AB是切线，ACE是割线 AB=AC×AE 即(3x)=223x×(3x+CE )CE=23x AE=AC+CE=33xQAB=3x，AE=3AB 15. 解：如图，连结OD，OE AB、AC切O于D、E ODAB，OEAC，ADAE A90° 四边形ADOE是正方形 DOE90° 设ADOEx DEAD，AB3，AC4 24 数学专题之精品解析 OEECAC-AE=ABACAC x4-x=34 解得：x=12 7 S阴影=S正方形ADOE-S扇形DOE æ12ö90p×ç÷2è7øæ12ö=ç÷- è7ø 360144-36p=49 16. 解：大小不改变 2 C所对的弧为AmB D所对的弧为AnB C、D的度数不变 在BCD中，B=180-C-D不变 五. 解答题。 17. 解：如图，连结AB o AC=CE，BC是直径 根据垂径定理的推论，可知： 25 数学专题之精品解析 ADBC，ADDE，AB=BE BEA30° DABEBAP30° 在RtDADB，BD=1 AB=2BD=2，AD= ADBC，BC为直径 AD=BD×CD，即2AB2-BD2=3 (3)2=1×CD CD=3BC=4QDAP=60o，ADP=90o AP=AD3=231cos60o2QP=30o=BAPPB=AB=2AP=23，PB=2 18. 解：如图： 图 依题意有： O1的直径为10cm，则半径为5cm O2的直径为20cm，则半径为10cm O的直径为30cm，则半径为15cm 设O与O1，O2，O3相切，半径为r 延长OO3交O于B，则： 26 数学专题之精品解析 OO3=15-r，OO1=15-5=10，OO2=15-10=5O1O3=5+r，O2O3=10+r，O1O2=10+5=15 则此题转化为解三角形问题，如图： 图 设O1A=a，则OA=OO1-O1A=10-a O2A=5+OA=15-a 在RtDO1AO3和RtDOAO3中，有： O1O3-O1A=O3O-OA 在RtDO1AO3和RtDO2AO3中，有： O1O3-O1A=O2O3-O2A 2222ìr+5-a=15-r-10-a()()()ï í 2222ïî(r+5)-a=(r+10)-(15-a)22222222 整理得： 22ìr+5=15-r-100+20a()()ï í22r+5=r+10-225+30aï()()î<1><2> <1>´3-<2>´2得：140r=600 r=30 730cm。 7 答：这两个圆形的最大半径是 27