中考数学压轴题分类专题《线段和差的最值问题》.docx

中考数学压轴题分类专题线段和差的最值问题中考压轴题分类专题 线段和最小的最值问题 一、基本题型： 一、两线段和的最小值：/yA/已知两点A、B与直线l，直线l上有一动点P，求PA+PB的最小值。 求出A点关于直线l的对称点A，连接AB交直线l于点P，则点PA/为所求最小值所取的点，A/B=(PA+PB)min。 本题可转化为求DABP的周长的最小值。 拓展：已知两点A、B与两直线l1与l2， 动点P在l1上，动点Q在l2上，求AP+PQ+QB的最小值。 求出A点关于直线l1的对称点A，再求出B点关/于直线l2的对称点B，连接AB分别交直线l1于点/PxOBP、交直线l2于点Q，则P、Q为所求最小值所取的点，A/B/=(AP+PQ+QB)min。 本题可转化为求四边形APQB的周长的最小值。 二、两线段差的最大值： 已知两点A、B与直线l，动点P在l上，求PA-PBmax。 连接AB并延长交直线l于点P，则点P为所求最大值时所取的点，AB=PA-PBmax。 1 所需知识点： 一、中点公式： 已知两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，则线段PQ的中点M为ç æx1+x2y1+y2ö,÷。 22èø二、直线的斜率： 00a>0。已知两点 直线的斜率是指直线与x轴正方向所成角a的正切值。0<a<90时，k=tanP(x1,y1),Q(x2,y2)，则直线PQ的斜率： kPQ=y1-y2。 x1-x2三、平面内两直线之间的位置关系： 两直线分别为：l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2(k1k2¹0)。 í ìk1=k2k1¹k2Ûl1与l2相交。特别是k1·k2=-1Ûl1l2。 Ûl1l2。îb1¹b2四、 求已知点关于已知直线的对称点： 已知点P(x0,y0)与直线l:y=kx+b(k¹0)，求点P关于直线l的对称点P。 /过点P作直线l的垂线l。则k=-/11/，又因为l过点P，将P代入l:y=-x+b，既可求出l。将l与kkìy=kx+bï/GGl联立得íPP()x,y，既可求出垂足点的坐标。因为为线段的中点，所以利用中点公式可求得111/y=-x+bïkîP/为(2x1-x0,2y1-y0)。 2 典型例题课后练习： 例一、已知：抛物线y=ax+bx+c(a>0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点M，抛物线的顶2点为P，且PB=25。 6求P点的坐标及抛物线的解析式； 求DMOP的面积； 在抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使DMOQ的周长最短？若存在，请求出Q M42点的坐标；若不存在，请说明理由。 ABP例二已知ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B，P是AC上的一个动点 求点A、E的坐标； 5-2-4-6 若y=-632x+bx+c过点A、E，求抛物线的解析式。 7 连结PB、PD，设L为PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。 y A E 3 B O D C x 例三(衢州卷)：如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上 (1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标； (2) 平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由 y A 8 6 4 B 2 D C -4 -2 O 2 4 x -2 -4 课后练习： 1、如图，在边长为1的等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点P是BC边的中垂线MN上任一点，则PCPD的最小值为 M AD P C A D PN M B 第14题图 BC N第16题图 4 2、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_ 3、先阅读下面材料，然后解答问题： ：如图，直线l上有A1、A2两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A1、A2的距离之和最小，很明显点P的位置可取在A1和A2之间的任何地方，此时距离之和为A1到A2的距离. 如图，直线l上依次有A1、A2、A3三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点A1、A2、A3的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点A2处，此时距离之和为A1到A3的距离. (想一想，这是为什么？) 不难知道，如果直线l上依次有A1、A2、A3、A4四个点，同样要确定一点P，使它到各点的距离之和最小，则点P应取在点A2和A3之间的任何地方；如果直线l上依次有A1、A2、A3、A4、A5五个点，则相应点P的位置应取在点A3的位置. A1图 A2lA1A2图 A3l：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为a-b. ：若已知直线l上依次有点A1、A2、A3、A25共25个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 ； 若已知直线l上依次有点A1、A2、A3、A50共50个点，要确定一点P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在 . ：现要求x+1+x+x-1+x-2+x-3+L+x-97的最小值， 根据问题一的解答思路，可知当x值为 时，上式有最小值为 . 24、已知抛物线y=ax+bx(a0)的顶点在直线y=-1x-1上，且过点A(4，0) 2求这个抛物线的解析式； 设抛物线的顶点为P，是否在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由. 设点C(1，3)，请在抛物线的对称轴确定一点D，使AD-CD的值最大，请直接写出点D的坐标. 5 5、如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M，且P为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B 写出正比例函数和反比例函数的关系式； 当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； 如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值 yy ()BQBQ AOxMAOxMCPP图11 图12 6