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中学数学教师招聘考试专业知识复习 §07. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0o£ap180o(0£app). 注：当a=90o或x2=x1时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a¹0,b¹0)时，直线方程是：x+y=1. ab注：若y=-2x-2是一直线的方程，则这条直线的方程是y=-2x-2，但33若y=-2x-2(x³0)则不是这条线. 3附：直线系：对于直线的斜截式方程y=kx+b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. 两条直线平行： l1l2Ûk1=k2两条直线平行的条件是：l1和l2是两条不重合的直线. 在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉1 或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. 推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为a1,a2则l1l2Ûa1=a2. 两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2Ûk1k2=-1这里的前提是l1,l2的斜率都存在. l1l2Ûk1=0，且l2的斜率不存在或k2=0，且l1的斜率不存在. 4. 直线的交角： 直线l1到l2的角；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角q，它的范围是(0,p)，当q¹90o时tanq=k2-k11+k1k2. 两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角q，又称为l1和l2所成的角，它的pùoç0,取值范围是æú，当q¹90，则有tanq=çè2ûìl1:A1x+B1y+C1=0íîl2:A2x+B2y+C2=0k2-k11+k1k2. 5. 过两直线的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2)=0(l为参数，A2x+B2y+C2=0不包括在内） 6. 点到直线的距离： 点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax+By+C=0,P到l的距离2 为d，则有d=注： 1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=特例：点P(x,y)到原点O的距离：|OP|=(x2-x1)2+(y2-y1)2Ax0+By0+CA+B22. . x2+y212ruuur2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP所成的比为l即uuuPP=lPP,其12中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 x=x1+lx2y+ly2,y=11+l1+l特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角、斜率:k=tana 4. 过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=y2-y1x2-x1. (x1¹x2) 当x1=x2,y1¹y2时，直线的倾斜角a90°，没有斜率 王新敞两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1¹C2)，它们之间的距离为d，则有d=C1-C2A+B22. 注；直线系方程 1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, Cm). 2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR) 3. 过定点的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全3 为0) 4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：+( A2x+B2y+C2）=0 (R） 注：该直线系不含l2. 7. 关于点对称和关于某直线对称： 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直可解得所求对称点. 注：曲线、直线关于一直线对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程. 1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 4 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线. 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)=0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)=0的解；反过来，满足方程f(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2+y2=r2. 注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程r=b,圆心(a,b)或(a,-b) (x-a)2+(y±b)2=b2 与y轴相切的圆方程(x±a)2+(y-b)2=a2 与x轴y轴都相切的圆方程(x±a)2+(y±a)2=a2 3. 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 . r=a,圆心(a,b)或(-a,b) r=a,圆心(±a,±a) DEö当D2+E2-4Ff0时，方程表示一个圆，其中圆心Cæç-,-÷，半径è22ør=D2+E2-4F2. è22øDEö当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点æç-,-÷. 当D2+E2-4Fp0时，方程无图形. 注：圆的参数方程：ìíx=a+rcosqîy=b+rsinq. 方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：B=0且A=C¹0且D2+E2-4AFf0. 圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)Þ(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2. M在圆C内Û(x0-a)2+(y0-b)2pr2 M在圆C上Û的一元二次方程，其判别式为D，则： 6 D=0Ûl与C相切； Df0Ûl与C相交； Dp0Ûl与C相离. 注：若两圆为同心圆则x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程：圆x2+y2=r2的斜率为k的切线方程是y=kx±圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y+Dx+x0+Ey+y0+F=0. 221+k2r过一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2. ìy1-y0=k(x1-x0)ï若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则íb-y1-k(a-x1)ïR=R2+1îABkÞ，联立求出D(a,b)C切线方程. 7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知QO的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 又以ABCD为圆为方程为(x-xA)(x-a)+(y-yA)(x-b)=k2 (xA-a)2+(yA-b)2R=42，所以BC的方程即代，相切即为所求. 三、曲线和方程 1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=0的实数7 解建立了如下的关系： 1） 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解； 2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。则称方程f(x,y)=0为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。 2.求曲线方程的方法：. 1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 定义法， 4）待定系数法. 8 2）参数法; 3） 数学第八章-圆锥曲线方程 考试内容： 椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质 抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质 考试要求： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 了解圆锥曲线的初步应用 §08. 圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义： PF1+PF2=2afF1F2方程为椭圆,PF1+PF2=2apF1F2无轨迹,PF1+PF2=2a=F1F2以F1,F2为端点的线段椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x轴上：x2+y222ab=1(afbf0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：y2a2+x2b2=1(afbf0). x2a2+y2b2=1的一般方程：Ax参数方程为ìí2+By=1(Af0,Bf0).椭圆的标准参数方程：2x=acosqîy=bsinq. 2顶点：(±a,0)(0,±b)或(0,±a)(±b,0).轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.焦点：(-c,0)(c,0)9 或(0,-c)(0,c).焦距： F1F2=2c,c=a-be=22.准线：a2x=±c或a2y=±c.离心率：c(0pep1).焦点半径： ax2a2i. 设P(x0,y0)为椭圆+y2b2PF1=a+ex0,PF2=a -ex0Þ=1(afbf0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆x2b2+y2a2PF1=a+ey0,PF2=1(afbf0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则 a-ey0Þ由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得N(acosq,bsinq)®方程的轨迹为椭圆. d=通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：2b2a2b2b2(-c,)和(c,) aaa2a2pF1=e(x0+)=a+ex0(x0p0),pF2=e(-x0)=ex0-a(x0f0)cc归共离心率的椭圆系的方程：椭圆x2y2c22e=(c=a-b)，方程2+2=t(t是大于aabx2a2+y2b2=1(afbf0)的离心率是0的参数，afbf0)的离心率也是e=c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a若P是椭圆：2x2a2+y2b2=1上的点.F1,F2为焦点，若ÐF1PF2=q，则DPF1F2的面积为b2tanq. 若是双曲线，则二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义： PF1-PF2=2apF1F2方程为双曲线PF1-PF2=2afF1F2无轨迹y(bcosa,bsina)(acosa,asina)Nxy2b2y2a2x2b2N的轨迹是椭圆PF1-PF2=2a=F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线双曲线标准方程：Ax2+Cy2=1(ACp0). x2a2-=1(a,bf0),-=1(a,bf0). 一般方程： 10 i. 焦点在x轴上： 顶点：(a,0),(-a,0) 焦点：(c,0),(-c,0) x2y2xy±=0或2-2=0 abab(0,-a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,-c). ii. 焦点在y轴上：顶点：a2准线方程x=±c 渐近线方程：a2y=±准线方程：c. x=asecqy2x2yx渐近线方程：±=0或2-2=0，参数方程：ìíababîy=btanq或ìíx=btanqîy=asecq . 轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. 离心率ce=a2. 准线距222a2c；通径2b2ax2a2. 参数关系-y2b2cc=a+b,e=a. 焦点半径公式：对于双曲线方程=1 “长加短减”原则： MF1=ex0+aMF2=ex0-a 构成满足MF1-MF2=2a M¢F1=-ex0-aM¢F2=-ex0+aMF1=ey0-aMF2=ey0+a¢M¢F1=-ey0+a¢M¢F2=-ey0-aM'F1yyF1MMxF2M'F2x等轴双曲线：双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x，离心率e=2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线， 11 叫做已知双曲线的共轭双曲线.线，它们具有共同的渐近线：共渐近线的双曲线系方程：如果双曲线的渐近线为xa22x2y2-=la2b2-y2b2与x2y2-=-l互为共轭双曲a2b2x2a2=0. =l(l¹0)的渐近线方程为x2a2-y2yx2a2-y2b22b=0xy±=0ab时，它的双曲线方程可设为342F1-yb22=l(l¹0). 531F2x例如：若双曲线一条渐近线为y=1x且过p(3,-1)，求双曲线的方程？ 322解：令双曲线的方程为：x2y21x22-=1. -y=l(l¹0)，代入(3,-)得8224直线与双曲线的位置关系： 区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. 若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“D”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. 若P在双曲线x2a2-y2b2=1，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为mn. 12 PF1简证：d1d2=ePF2e = m. n常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 三、抛物线方程. 3. 设pf0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： y=-2px xx2=2py y2=2px 22=-2py图形 yyyyxOxOxOxO焦点 准线 范围 对称轴 顶点 F(-x=p,0) 2F(0,p) 2F(0,-y=p) 2F(p,0) 2x=-p 2x³0,yÎR p 2x£0,yÎR p 2xÎR,y³0 y=-p 2xÎR,y£0 x轴 y轴 13 离心率 焦点 2 e=1 PF=p+x1 2PF=p+x12PF=p+y1 2PF=p+y124ac-b2b-). 注：ay+by+c=x顶点(4a2ay2=2px(p¹0)则焦点半径PF=x+P;x2=2py(p¹0)则焦点半径为PF=2y+P2. 通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ìx=2pt2ìx=2pty=2px的参数方程为í. 2y=2pty=2ptîî22四、圆锥曲线的统一定义. 4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹. 当0pep1时，轨迹为椭圆； 当e=1时，轨迹为抛物线； 当ef1时，轨迹为双曲线； 当e=0时，轨迹为圆. a5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可. 14 注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 定义 椭圆 双曲线 抛物线 1到两定点F1,F21到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2与定点和直线2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹. 的距离之比为定值e的点的轨迹.与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 图形 标方 准 方程 x2y2+=1(a>b>0a2b2x2y2-=1(a>0,b>a2b2y2=2px ) ìx=acosqíy=bsinq î(参数q为离心角）0) ìx=asecqíy=btanq î(参数q为离心角）程 参数方程 范围 ìx=2pt2íy=2pt(t为参数) îa£x£a，b£y£b |x| ³ a，yÎR 15 x³0 中心 顶点 原点O (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b 焦点 焦距 离心率 准线 渐近线 焦半径 通径 F1(c,0), F2(c,0) x轴，y轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. F1(c,0), F2(c,0) pF(,0) 2原点O (a,0), (a,0) (0,0) x轴 2c 2c e=c(0<e<1) ae=c(e>1) a e=1 x=-p 2x=±a c2x=±a cba2y=±x r=±(ex±a) r=x+p 2r=a±ex 2b2 a2b2 a 2p P 焦参数 a2 ca2 c1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2. 等轴双曲线 3. 共轭双曲线 5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程. 16 数学第九章-立体几何 17 考试内容 平面及其基本性质平面图形直观图的画法 平行直线对应边分别平行的角异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离 直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平面上的射影直线和平面所成的角三垂线定理及其逆定理 平行平面的判定与性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质 多面体正多面体棱柱棱锥球 考试要求 掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系 掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理 掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判18 定定理和性质定理 会用反证法证明简单的问题 了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图 了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式 9直线、平面、简单几何体 考试内容： 平面及其基本性质平面图形直观图的画法 平行直线 直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定三垂线定理及其逆定理 两个平面的位置关系 空间向量及其加法、减法与数乘空间向量的坐标表示空间向量的数量积 直线的方向向量异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离 直线和平面垂直的性质平面的法向量点到平面的距离直线和平面所成的角向量在平面内的射影 平行平面的判定和性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定和性质 多面体正多面体棱柱棱锥球 19 考试要求： 掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘 了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算 掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式 理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念 掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理 了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图 了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图 了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式 20 和9中任选其一） §09. 立体几何 知识要点 一、 平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成3或4部分. 3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面. 注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分. 二、 空间直线. 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内 注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线 直线在平面外，指的位置关系：平行或相交 若直线a、b异面，a平行于平面a，b与a的关系是相交、平行、在平面a内. 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. 21 在平面内射影是直线的图形一定是直线. 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等. a,b是夹在两平行平面间的线段，若a=b，则a,b的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线. 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. oo1122 方向相同 方向不相同 oo相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况：相交垂直和异面垂直. l1,l2是异面直线，则过l1,l2外一点P，过点P且与l1,l2都平行平面有一个或没有，但与l1,l2距离相等的点在同一平面内. 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 注：直线a与平面a内一条直线平行，则aa. 直线a与平面a内一条直线相交，则a与平面a相交. 若直线a与平面a平行，则a内必存在无数条直线与a平行. 23 两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. 平行于同一直线的两个平面平行. 平行于同一个平面的两直线平行. 直线l与平面a、b所成角相等，则ab. 3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且P只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线OaA垂直. l 若PAa，aAO，得aPO， 得不出aPO. 因为aPO，但PO不垂直OA. l 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面. 直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 注：垂直于同一平面的两个平面平行. 24 垂直于同一直线的两个平面平行. 垂直于同一平面的两条直线平行. 5. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短. 注：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线. 射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行. 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. 注：一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行. 4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直. 25 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. 注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内P垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面. aBMAOb推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l1,l2， 因为PMÌb,OAb,PMÌa,OBa则PMOA,PMOB. è7. 最小角定理：cosq=cosq1cosq2 图112图2最小角定理的应用 简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱. 直棱柱侧面积：S=Ch该公式是利用直26 棱柱的侧面展开图为矩形得出的. 斜棱住侧面积：S=C1l该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的. 四棱柱É平行六面体É直平行六面体É长方体É正四棱柱É正方体. 直四棱柱Ç平行六面体=直平行六面体. 四棱柱底面是侧棱垂直底面是平行六面体直平行六面体底面矩形平行四边形长方体底面是正方形正四棱柱侧面与正方体底面边长相等棱柱具有的性质： 棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. 棱柱有一条侧棱和底面垂直. 平行六面体： 定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分. 注：四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为a,b,g，27 则cos2a+cos2b+cos2g=1. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为a,b,g，则cos2a+cos2b+cos2g=2. 注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱. 对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体. 棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. 2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. 注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形. 一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱=Sh=3V棱柱. 正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. 注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形. ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底