中国剩余定理及应用.docx

中国剩余定理及应用考公务员，就上591UP公务员考试平台 “中国剩余定理”算理及其应用 “中国剩余定理”算理及其应用： 为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。 用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。 例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 题中3、4、5三个数两两互质。 则4，5=20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。 为了使20被3除余1，用20×2=40； 使15被4除余1，用15×3=45； 使12被5除余1，用12×3=36。 然后，40×145×236×4=274， 因为，274>60，所以，27460×4=34，就是所求的数。 例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？ 题中3、7、8三个数两两互质。 则7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。 为了使56被3除余1，用56×2=112； 使24被7除余1，用24×5=120。 使21被8除余1，用21×5=105； 然后，112×2120×4105×5=1229， 因为，1229>168，所以，1229168×7=53，就是所求的数。 例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。 题中5、8、11三个数两两互质。 则8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，11=440。 为了使88被5除余1，用88×2=176； 使55被8除余1，用55×7=385； 使40被11除余1，用40×8=320。 然后，176×4385×3320×2=2499， 因为，2499>440，所以，2499440×5=299，就是所求的数。 例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？ 题中9、7、5三个数两两互质。 则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。 为了使35被9除余1，用35×8=280； 使45被7除余1，用45×5=225； 使63被5除余1，用63×2=126。 591UP公务员考试平台 考公务员，就上591UP公务员考试平台 然后，280×5225×1126×2=1877， 因为，1877>315，所以，1877315×5=302，就是所求的数。 例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？ 题中9、7、5三个数两两互质。 则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。 为了使35被9除余1，用35×8=280； 使45被7除余1，用45×5=225； 使63被5除余1，用63×2=126。 然后，280×6225×2126×3=2508， 因为，2508>315，所以，2508315×7=303，就是所求的数。 关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法 “中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。不懂论坛上有没人发过。小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。 选了一本小学奥赛的书上的题目，讲下： 例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？ 解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7446。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足 “被6除余4，被7除余4”的条件。 464288 464242130 46424242172 这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲 例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？ 解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2” 4711 11718 183553 这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。 大家可以试下， 591UP公务员考试平台