两角和与差的正弦公式的有趣证明.docx

两角和与差的正弦公式的有趣证明欢迎光临曹开清网站 两角和与差的正弦公式的有趣证明 江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300 一、勾股定理的一个证明与两角和的正弦公式 如图1(a)，在一个边长为ab的大正方形中，放置了4个两直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形，显然图中小正方形的面积等于c2现在我们将图1(a)中的 4 个直角三角形移位，拼成图1(b)，显然图1(b)中两个较小的正方形的面积之和等于a2b2因为图1(a)与图1(b)中空白部分的面积相等，所以有 a2b2c2，亦即证明了勾股定理 我觉得这是勾股定理众多证明方法之中，最简单的一个证明了不仅如此，它其实还有着另外一个用途，并不是每一个人都能发现的现在将上面两个图“压扁”，成为图2： 如图2(a)，原来的正方形变成了一个平行四边形，它的面积是mnsin()，其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度如图2(b)，原来的两个正方形变成了两个矩形，其第 1 页 共 3 页 欢迎光临曹开清网站 面积之和是msin·ncosmcos·nsin与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin()msin·ncosmcos·nsin，化简得sin()sincossincos，这就是三角学中最重要的两角和的正弦公式在这里，勾股定理和两角和的正弦公式竟来自相同的证明方法！ 二、无意中导出两角差的正弦公式 邻居有个小孩，一次拿了他的作业本来问我题目是这样的：如图，ADBD，ACD，ABD，BCa，则AD_ ABaCDasina×sinb他的答案是sin(a-b)，但他的老师给他打了个“×”我问他是怎么做的？他马上写了起来： 在ABC中，BCa，ABC，BAC，根据正弦定理，得 ACaasinb=即AC=sinbsin(a-b)， sin(a-b) 在RtACD中，AD=AC×sina=asinasinb sin(a-b)a解题过程如下： cotb-cota我说对啊！他却说老师的正确答案是：AD=在RtABD中，BD=AD×cotb；在RtACD中，CD=AD×cota， 所以(cotb-cota)AD=BD-CD=a， 即AD=a cotb-cota第 2 页 共 3 页 欢迎光临曹开清网站 我看了一下，完全正确那他的老师为什么说他错呢？我动了一下笔，既然两个答案都正确，那么应该有 asinasinba， =sin(a-b)cotb-cota化简，得 sin(a-b)=sinacosb-cosasinb 我告诉他，他的答案与老师的答案，本质上是一致的，但老师没有发现两者的关系，应该和老师沟通一下同时，他在不经意中给出了两角差的正弦公式的一个很好的证明，这个公式到高中后会用到 第 3 页 共 3 页