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专升本同学必备的高等数学公式大全 高等数学公式 高等数学公式 导数公式： (tgx)¢=sec2x(ctgx)¢=-csc2x(secx)¢=secx×tgx(cscx)¢=-cscx×ctgx(ax)¢=axlna(logax)¢=1xlna(arcsinx)¢=11-x21(arccosx)¢=-1-x21(arctgx)¢=1+x21(arcctgx)¢=-1+x2基本积分表： 三角函数的有理式积分： òtgxdx=-lncosx+Còctgxdx=lnsinx+Còsecxdx=lnsecx+tgx+Còcscxdx=lncscx-ctgx+Cdx1x=arctg+Còa2+x2aadx1x-a=lnòx2-a22ax+a+Cdx1a+x=lnòa2-x22aa-x+Cdxx=arcsin+Còa2-x2ap2ndx2=secòcos2xòxdx=tgx+Cdx2òsin2x=òcscxdx=-ctgx+Còsecx×tgxdx=secx+Còcscx×ctgxdx=-cscx+Caxòadx=lna+Cxòshxdx=chx+Còchxdx=shx+Còdxx2±a2=ln(x+x2±a2)+Cp2In=òsinxdx=òcosnxdx=00n-1In-2nòòòxa222x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22xa22222x-adx=x-a-lnx+x2-a2+C22xa2x2222a-xdx=a-x+arcsin+C22a222u1-u2x2dusinx=，cosx=，u=tg，dx=2221+u1+u1+u2一些初等函数： 两个重要极限： 1 / 12 高等数学公式 ex-e-x双曲正弦:shx=2ex+e-x双曲余弦:chx=2shxex-e-x双曲正切:thx=chxex+e-xarshx=ln(x+x+1）archx=±ln(x+x2-1)11+xarthx=ln21-x三角函数公式： ·诱导公式： 函数 limsinx=1x®0x1lim(1+)x=e=2.718281828459045.x®¥x2sin 角A - 90°- 90°+ 180°- 180°+ 270°- 270°+ 360°- 360°+ ·和差角公式： ·和差化积公式： -sin cos cos sin -sin -cos -cos -sin sin cos tg ctg cos sin -sin -cos -cos -sin sin cos cos -tg ctg -ctg -tg tg ctg -ctg -tg tg -ctg tg -tg -ctg ctg tg -tg -ctg ctg sin(a±b)=sinacosb±cosasinbcos(a±b)=cosacosbmsinasinbtg(a±b)=tga±tgb1mtga×tgbctga×ctgbm1ctg(a±b)=ctgb±ctgasina+sinb=2sina+b22a+ba-bsina-sinb=2cossin22a+ba-bcosa+cosb=2coscos22a+ba-bcosa-cosb=2sinsin22cosa-b 2 / 12 高等数学公式 ·倍角公式： sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2actg2a-1ctg2a=2ctga2tgatg2a=1-tg2a·半角公式： sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosa3tga-tg3atg3a=1-3tg2asintga2=±=±1-cosaa1+cosacos=±2221-cosa1-cosasinaa1+cosa1+cosasina=ctg=±=1+cosasina1+cosa21-cosasina1-cosaa2·正弦定理： abc=2R ·余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC sinAsinBsinCarcsinx=·反三角函数性质： p2-arccosxarctgx=p2-arcctgx 高阶导数公式莱布尼兹公式： (uv)(n)k(n-k)(k)=åCnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v¢+中值定理与导数应用： n(n-1)(n-2)n(n-1)L(n-k+1)(n-k)(k)uv¢¢+L+uv+L+uv(n)2!k!拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)f(b)-f(a)f¢(x)柯西中值定理：=F(b)-F(a)F¢(x)曲率： 当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds=1+y¢2dx,其中y¢=tga平均曲率：K=Da.Da:从M点到M¢点，切线斜率的倾角变化量；Ds：MM¢弧长。Dsy¢¢Dada M点的曲率：K=lim=.Ds®0Dsds(1+y¢2)31.a 3 / 12 直线：K=0;半径为a的圆：K= 高等数学公式 定积分的近似计算： b矩形法：òf(x)»abb-a(y0+y1+L+yn-1)nb-a1(y0+yn)+y1+L+yn-1n2b-a(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn-2)+4(y1+y3+L+yn-1)3n梯形法：òf(x)»ab抛物线法：òf(x)»a定积分应用相关公式： 功：W=F×s水压力：F=p×Am1m2,k为引力系数 2rb1函数的平均值：y=f(x)dxòb-aa引力：F=k1均方根：f2(t)dtòb-aa空间解析几何和向量代数： b空间2点的距离：d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB=AB×cosj,j是AB与u轴的夹角。vvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvva×b=a×bcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosq=ivvvc=a´b=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+az×bx+by+bz222222vvvvvvaz,c=a×bsinq.例：线速度：v=w´r.bzaybycyazczvvvbz=a´b×ccosa,a为锐角时，axvvvvvv向量的混合积：abc=(a´b)×c=bxcx代表平行六面体的体积。 4 / 12 高等数学公式 平面的方程：v1、点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程：+=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2ìx=x0+mtx-xy-y0z-z0vï空间直线的方程：0=t,其中s=m,n,p;参数方程：íy=y0+ntmnpïz=z+pt0î二次曲面：x2y2z21、椭球面：2+2+2=1abcx2y22、抛物面：+=z2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2+2-2=1abcx2y2z2双叶双曲面：2-2+2=1abc多元函数微分法及应用 全微分：dz=¶z¶z¶u¶u¶udx+dydu=dx+dy+dz¶x¶y¶x¶y¶z全微分的近似计算：Dz»dz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy多元复合函数的求导法：dz¶z¶u¶z¶vz=fu(t),v(t)=×+×dt¶u¶t¶v¶t¶z¶z¶u¶z¶vz=fu(x,y),v(x,y)=×+׶x¶u¶x¶v¶x当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=¶u¶u¶v¶vdx+dydv=dx+dy¶x¶y¶x¶y隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y¶¶隐函数F(x,y)=0，=-，2=(-x)(-x)×dxFy¶xFy¶yFydxdxFyFx¶z¶z隐函数F(x,y,z)=0，=-，=-¶xFz¶yFz 5 / 12 高等数学公式 ¶FìF(x,y,u,v)=0¶(F,G)¶u隐函数方程组：J=í¶GG(x,y,u,v)=0¶(u,v)î¶u¶u1¶(F,G)¶v1¶(F,G)=-×=-׶xJ¶(x,v)¶xJ¶(u,x)¶u1¶(F,G)¶v1¶(F,G)=-×=-׶yJ¶(y,v)¶yJ¶(u,y)微分法在几何上的应用： ¶F¶v=Fu¶GGu¶vFvGvìx=j(t)x-xy-y0z-z0ï空间曲线íy=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0=¢¢j(t)y(t)w¢(t0)00ïz=w(t)î在点M处的法平面方程：j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0ìvFyFzFzFxFxïF(x,y,z)=0若空间曲线方程为：,则切向量T=,íGGGxGGG(x,y,z)=0ïyzzxî曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x-x0y-y0z-z03、过此点的法线方程：=Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)向导数与梯度： FyGy方2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0¶f¶f¶f函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：=cosj+sinj¶l¶x¶y其中j为x轴到方向l的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=¶fv¶fvi+j¶x¶yvv¶fvv它与方向导数的关系是：=gradf(x,y)×e，其中e=cosj×i+sinj×j，为l方向上的¶l单位向量。¶f是gradf(x,y)在l上的投影。¶l多元函数的极值及其求法： 设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CììA<0,(x0,y0)为极大值2AC-B>0时，íïîA>0,(x0,y0)为极小值ïï2则：íAC-B<0时，无极值ïAC-B2=0时,不确定ïïî 6 / 12 高等数学公式 重积分及其应用： òòf(x,y)dxdy=òòf(rcosq,rsinq)rdrdqDD¢曲面z=f(x,y)的面积A=òòDæ¶zöæ¶zö1+ç÷+çç¶y÷÷dxdy¶xèøèø22平面薄片的重心：x=Mx=Mòòxr(x,y)dsDòòr(x,y)dsDD,y=MyM=òòyr(x,y)dsDòòr(x,y)dsDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=òòy2r(x,y)ds,对于y轴Iy=òòx2r(x,y)ds平面薄片对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：Fx=fòòDr(x,y)xds(x+y+a)2222，Fy=fòò3Dr(x,y)yds(x+y+a)2222，Fz=-faòò3Dr(x,y)xds(x+y+a)22322柱面坐标和球面坐标： ìx=rcosqï柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz=òòòF(r,q,z)rdrdqdz,íy=rsinq,òòòWWïz=zî其中：F(r,q,z)=f(rcosq,rsinq,z)ìx=rsinjcosqï2球面坐标：íy=rsinjsinq，dv=rdj×rsinj×dq×dr=rsinjdrdjdqïz=rcosjî2ppr(j,q)òòòf(x,y,z)dxdydz=òòòF(r,j,q)rWW2sinjdrdjdq=òdqòdj00òF(r,j,q)r02sinjdr重心：x=1Mòòòxrdv,y=WW1Mòòòyrdv,z=WW1Mòòòzrdv，其中M=x=òòòrdvWWW转动惯量：Ix=òòò(y2+z2)rdv，Iy=òòò(x2+z2)rdv，Iz=òòò(x2+y2)rdv曲线积分： 第一类曲线积分：ìx=j(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(a£t£b),则：íîy=y(t)òLìx=t22¢¢f(x,y)ds=òfj(t),y(t)j(t)+y(t)dt(a<b)特殊情况：íîy=j(t)ab 7 / 12 高等数学公式 第二类曲线积分：ìx=j(t)设L的参数方程为í，则：y=y(t)îbòP(x,y)dx+Q(x,y)dy=aòPj(t),y(t)j¢(t)+Qj(t),y(t)y¢(t)dtL两类曲线积分之间的关系：òPdx+Qdy=Lò(Pcosa+Qcosb)ds，其中a和b分别为LL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：òò(D¶Q¶P-)dxdy=¶x¶yòPdx+Qdy格林公式：òò(¶xLD¶Q-¶P)dxdy=¶y1òPdx+QdyL¶Q¶P当P=-y,Q=x，即：-=2时，得到D的面积：A=¶x¶y·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：在òòdxdy=2òxdy-ydxDL¶Q¶P。注意奇点，如(0,0)，应¶x¶y¶Q¶P时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：¶x¶y(x,y)u(x,y)=(x0,y0)òP(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分： 对面积的曲面积分：òòf(x,y,z)ds=åDxyòòfx,y,z(x,y)221+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy对坐标的曲面积分：òòP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：åòòR(x,y,z)dxdy=±òòRx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正号；åDxyòòP(x,y,z)dydz=±òòPx(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正号；åDyzòòQ(x,y,z)dzdx=±òòQx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正号。åDzx两类曲面积分之间的关系：òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy=òò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)dsåå高斯公式： òòò(W¶P¶Q¶R+)dv=òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy=òò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds¶x¶y¶zåå高斯公式的物理意义通量与散度：v¶P¶Q¶Rv散度：divn=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若divn<0,则为消失.¶x¶y¶zvv通量：òòA×nds=òòAnds=òò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds，v因此，高斯公式又可写成：òòòdivAdv=òòAndsWåååå 8 / 12 高等数学公式 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： òò(å¶R¶Q¶P¶R¶Q¶P-)dydz+(-)dzdx+(-)dxdy=òPdx+Qdy+Rdz¶y¶z¶z¶x¶x¶yGcosb¶¶yQcosg¶¶zRdydzdzdxdxdycosa¶¶¶¶上式左端又可写成：=òòòò¶x¶y¶z¶xååPQRP¶R¶Q¶P¶R¶Q¶P空间曲线积分与路径无关的条件：=，=，=¶y¶z¶z¶x¶x¶yijkv¶¶¶旋度：rotA=¶x¶y¶zPQRvvv向量场A沿有向闭曲线G的环流量：òPdx+Qdy+Rdz=òA×tdsGG常数项级数： 1-qn等比数列：1+q+q+L+q=1-q(n+1)n等差数列：1+2+3+L+n=2111调和级数：1+L+是发散的23n2n-1级数审敛法： 1、正项级数的审敛法根植审敛法：ìr<1时，级数收敛ï设：r=limnun，则ír>1时，级数发散n®¥ïr=1时，不确定î2、比值审敛法：ìr<1时，级数收敛Un+1ï设：r=lim，则ír>1时，级数发散n®¥Unïr=1时，不确定î3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发散。n®¥交错级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un>0)的审敛法莱布尼兹定理：ì ïun³un+1如果交错级数满足í，那么级数收敛且其和s£u1,其余项rn的绝对值rn£un+1。limu=0nïîn®¥绝对收敛与条件收敛： 9 / 12 高等数学公式 (1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(-1)n调和级数：ån发散，而ån收敛；1级数：ån2收敛；£时发散1p级数：ånpp>1时收敛幂级数： 1x<1时，收敛于1-x1+x+x2+x3+L+xn+Lx³1时，发散对于级数(3)a0+a1x+a2x2+L+anxn+L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x<R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x>R时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定1r¹0时，R=求收敛半径的方法：设limn®¥an+1=r，其中an，an+1是(3)的系数，则r=0时，R=+¥anr=+¥时，R=0r函数展开成幂级数： f¢¢(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)+L+(x-x0)n+L2!n!f(n+1)(x) 余项：Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0n®¥(n+1)!f¢¢(0)2f(n)(0)nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f¢(0)x+x+L+x+L2!n!一些函数展开成幂级数： m(m-1)2m(m-1)L(m-n+1)nx+L+x+L(-1<x<1)2!n! 352n-1xxxsinx=x-+-L+(-1)n-1+L(-¥<x<+¥)3!5!(2n-1)!(1+x)m=1+mx+欧拉公式： ìeix+e-ixcosx=ïï2ixe=cosx+isinx或íix-ixïsinx=e-eï2î三角级数： 10 / 12 高等数学公式 ¥a0f(t)=A0+åAnsin(nwt+jn)=+å(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1¥其中，a0=aA0，an=Ansinjn，bn=Ancosjn，wt=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xLsinnx,cosnxL任意两个不同项的乘积在-p,p上的积分0。傅立叶级数： ¥a0f(x)=+å(ancosnx+bnsinnx)，周期=2p2n=1pì1f(x)cosnxdx(n=0,1,2L)ïan=òpï-p其中ípïb=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3L)ïnpò-pî11p21+2+2+L=835111p2+2+2+L=242246正弦级数：an=0，bn=余弦级数：bn=0，an=周期为111p21+2+2+2+L=6234111p21-2+2-2+L=122342pp2òf(x)sinnxdxn=1,2,3Lf(x)=åb0nsinnx是奇函数ppò0f(x)cosnxdxn=0,1,2Lf(x)=a0+åancosnx是偶函数22l的周期函数的傅立叶级数： ¥a0npxnpxf(x)=+å(ancos+bnsin)，周期=2l2lln=1lì1npxdx(n=0,1,2L)ïan=òf(x)cosllï-l其中ílïb=1f(x)sinnpxdx(n=1,2,3L)ïnlòl-lî微分方程的相关概念： 一阶微分方程：y¢=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：òg(y)dy=òf(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dyy=f(x,y)=j(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u=，则=u+x，u+=j(u)，=分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxxj(u)-ux即得齐次方程通解。一阶线性微分方程： dy1、一阶线性微分方程：+P(x)y=Q(x)dx-P(x)dx当Q(x)=0时,为齐次方程，y=CeòP(x)dx-P(x)dxdx+C)eò当Q(x)¹0时，为非齐次方程，y=(òQ(x)eòdy2、贝努力方程：+P(x)y=Q(x)yn，(n¹0,1)dx 11 / 12 高等数学公式 全微分方程： 如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：¶u¶u du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：=P(x,y)，=Q(x,y)¶x¶yu(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程： f(x)º0时为齐次d2ydy+P(x)+Q(x)y=f(x)， 2dxdxf(x)¹0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*)y¢¢+py¢+qy=0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(D)r2+pr+q=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y¢¢,y¢,y的系数；2、求出(D)式的两个根r1,r2 3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：(*)式的通解 r1，r2的形式 两个不相等实根(p2-4q>0) y=c1er1x+c2er2x y=(c1+c2x)er1x y=eax(c1cosbx+c2sinbx) 两个相等实根(p2-4q=0) (p2-4q<0) 一对共轭复根r1=a+ib，r2=a-ib4q-p2pa=-，b=22二阶常系数非齐次线性微分方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=elxPm(x)型，l为常数；f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型 12 / 12