不等式选讲 知识点.docx

不等式选讲 知识点不等式选讲 知识点 一、绝对值不等式 1绝对值三角不等式 定理1：如果a,b是实数，则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时，等号成立。 rrrr注：绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|rr|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 不等式|a|-|b|a±b|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|。 定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。 2绝对值不等式的解法 含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集 不等式 |x|a |x|a a0 x|-axa x|xa 或x-a a=0 a0 F x|xR且x0 F R 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义表示数轴上的点x到点a,b的距离之和 |ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|cÛ-cax+bc; | ax+b|cÛ ax+bc或ax+b-c. |x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 二、证明不等式的基本方法 1比较法 作差比较法 理论依据：abÛa-b0;abÛ a-b0. 证明步骤：作差变形判断符号得出结论。 注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数与0的大小关系。 作商比较法 a>1Þa>b; ba b<0,>1Þa<b; b理论依据：b>0,证明步骤：作商变形判断与1的大小关系得出结论。 2综合法 定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。 思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。 3分析法 定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。 思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。 注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。 4放缩法 定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。 思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。