不定积分习题.docx
不定积分习题第三部分 不定积分 第 1 页 共 33 页 第三部分 不定积分 选择题 容易题160，中等题61105，难题106122. 1设I=òdxcos2xtanx-1 ， 则I=( ). 1 (A).òdtanx1=(tanx-1)2+C; tanx-12 (B).2tanx-1+C; 1 (C).2(tanx-1)2+C; 1 (D).-12(tanx-1)-2+C. 答C 2设I=òdxxx2-1，则I=。 第三部分 不定积分 第 2 页 共 33 页 (D).lnsecx+tanx+C. 答B 4设I=òdx2ax ,则I=。 (A). 2x+C; a (B). 12ax+C; 12 (C).12ax-+C; (D). 答A 1d(2ax)1=2ax+C. 2aò2ax2ae3x+1dx,则I=( ). 5设I=òxe+1(ex+1)(e2x-ex+1)2xxdx=e+e+x+C; (A).òex+11 (B).e2x-ex+x+C; 21 (C).e3x+x+C; 31 (D).e2x+ex+x+C. 2答B 6设I=òtanxdx ,则( ). (A).lnsecx+C; (B).lncosx+C; (C).lnsinx+C; (D).-lnsinx+C. 2 第三部分 不定积分 第 3 页 共 33 页 答D 7设I=òlnxdx 则。 (A).I=1x+C; (B).I=(lnx)22+C; (C).I=xlnx+C; (D).I=xlnx-x+C 答D 8设I=òarctanxdx, 则I=( ). (A).11+x2+C; (B).xarctanx-lnx2+1+C; (C).xarctanx-lnx2+1+C; (D).xarctanx+12lnx2+1+C 答B 9设 I=òsinxcosxdx，则( ). (A).I=-14cos2x+C; (B).I=14cos2x+C; (C).I=-12sin2x+C; (D).I=12cos2x+C. 答A 10设I=òdx1+x2， 则I=( ). (A).arctanx+C; (B)lnx+1+x2+C ; (C).21+x2+C; 3 第三部分 不定积分 第 4 页 共 33 页 1(D).ln(1+x2)+C. 2答 B 11设f(x)=1 ，则的一个原函数F(x)=。 21-x(A).12ln1+x1-x; (B).arcsinx; (C).arctanx; (D).12ln1-x1=x. 答 A 12设f(x)为可导函数，则。 4 第三部分 不定积分 第 5 页 共 33 页 14òdx=( ) sin(2x)+2sinx1x1xtan2+ln|tan|+c 42421x1xtan2+ln|tan|+c 8282 答 1x1xtan2+ln|tan|+c 82421x1xtan2+ln|tan|+c 428215òdxx(4-x)=( ) arcsinx+c 2x+c 2 2arcsinx-2+c 2 2arcsin答 1x-2arcsin+c 22lnx-1òx2dx=( ) lnxlnx2+c -+c xxlnxlnx+c -+c 答刘坤 x2xf(ax)sinx17设为f(x)的一个原函数，且a¹0，则òdx=( ) axsinaxsinax3 2 axaxsinaxsinax axx16 答刘坤 18哪个即f(x) dòf(x)dx òdf(x) (ò(f(x)dx)')' òf(x)dx 答 C 5 第三部分 不定积分 第 6 页 共 33 页 19欲使òlf(x)dx=lòf(x)dx，对常数l有何限制？( ) (A) 没有限制。 (B) l¹0。 (C) l>0。 (D) l³0。 答 B 20计算òcos2xcos2x×sin2xdx的最简单方法，是利用不定积分的：(A) 基本性质。 (B) 第一类换元积分法。 (C) 第二类换元积分法。 (D) 分部积分法。 答 A 21设以下出现的表达式均有意义，则：( ) (A) ò(f(x)+g(x)dx=òf(x)dx+òg(x)dx (B) òf(x)+g(x)dx=òf(x)dx+òg(x)dx (C) òf(x)g(x)dx=òf(x)dxòg(x)dx (D) òf(x)g(x)dx=òf(x)dx/òg(x)dx 答 A 22 òexdx=( ) (A) ex+c2 (B) ex+c2 (C) ex+c (D) ex+1c 答 A 23当被积函数含有x2-a2时，可考虑令x=( ) 6 ( ) 第三部分 不定积分 第 7 页 共 33 页 asint (B) atant (C) asect (D) acost 答 C 24若f(x)的导函数是inx,则f(x)有一个原函数为 ( ) (A)1+Sinx. (B)1-Sinx. (C)1+Cosx (D)1-Cosx. 答 B 25积分 òcosxxdx 等于( ) sinx+c xsinx+c 12xsinx+c 2sinx+c 答D 26积分 òdx1+cosx 等于( ) ln(1+cosx)+c x1+cosx-ln(1+cosx)+c (C) cscx-cotx+c csc2x-xcotx+c 答 C 27积分 òexdx 等于( ) 2(x-1)ex+c 7 1xex2+c 第三部分 不定积分 第 8 页 共 33 页 (x-1)ex+c e答 A 28积分 òsinxdx 等于( ) x+c 2(sinx-xcosx)+c 2(sinx-xcosx)+c 1 2(sinx+xcosx)+c cosx+c 2 答 B 29积分 òarctanxdx 等于( ) (x+1)arctanx+c 2(x+1)arctanx+c (x+1)arctanx+c 2(x+1)arctanx+c 答C 30若 òf(x)dx=x2+c， 则 òxf(2-x2)dx 等于( ) 2(1-x2)2+c 2(2-x2)2+c 11 -(2-x2)2+c -(1-x2)2+c 22答C 31积分 ò(x+|x|)2dx 等于( ) 44 x3+c |x|3+c 332x213(x+|x|)+c (x+|x|)+c 33答 D 32设 f'(sinx)=cos2x， 则 f(x) 等于( ) x3x3+c x+c x-33cos3xx3+c sinx-+c x+33答A 8 第三部分 不定积分 第 9 页 共 33 页 33若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为。 1+sinx 1-sinx 1+cosx 1-cosx 答B 34指出正确的积分公式 ( ) òarctgxdx=òxadx=dxa2-x21+c 21+x(a¹-1) 1a+1x+ca+1dx=1xarcsin+c aaò答B 11x-1dx=ln+c 2x+11-x235下列哪个表达式等于f(x) ( ) d(òf(x)dx) òdf(x) (òf(x)dx)¢ òf(x)dx 答C 36若F¢(x)=f(x),则òdF(x)= F(x) f(x) f(x)+c F(x)+c 9 第三部分 不定积分 第 10 页 共 33 页 答D 37 òdxsin2xcos2x= ( ) -cotx+tanx+c tanx+cotx+c 2cot2x+c 2tan2x+c 答A 38若f¢(sin2x)=cos2x,则f(x)=( ) (A) sinx-12sin2x+c (B) x-12x2+c (C) 12x2-x+c (D) cosx-sinx+c 答 B 39已知F(x)是sinx2的一个原函数,则dF(x2)=( ) (A) 2xsinx4dx (B) sinx4dx (C) 2xsinx2dx (D) sinx2dx2 答 A x40已知òf(x2)dx=e2+c,则f(x)=( ) x(A) 1e22 x(B) 122ex(C) e2 10 第三部分 不定积分 第 11 页 共 33 页 x2(D) e答 B 141已知f¢=x2,则下列式子中正确的是( ) x1(A) f(x)=òx2d=-x+c x111(B) f=òx2dx=x2+c,f(x)=3+c x33x(C) f¢(x)=111x2,f(x)=òx2dx=-x+c (D) f(x)=òx2dx=x23+c 答 C 42òf(x)=x2e2x+c,则f(x)=( ) (A) 2xe2x (B) 2x2e2x (C) xe2x(2+x) (D) 2xe2x(1+x) 答 D 43设f(x)=e-x,则òf¢(lnx)xdx=( ) (A) -1x+c (B) 1x+c (C) lnx+c (D) -lnx+c 答 B 44òf(x)dx=x2+c,则òxf(1-x2)dx=( ) (A) 2(1-x2)2+c (B) -2(1-x2)2+c 11 第三部分 不定积分 第 12 页 共 33 页 1(C) -(1-x2)2+c 21(D) (1-x2)2+c 2答 C 45下列等式中正确的是( ) (A) òsin2xcos2xdx=(B) ò(C) ò12sin2x+c 2arcsinx1-xarcsinxx-x22dx=1(arcsinx)2+c 2arcsinx1-xdx=1(arcsinx)2+c 2dx=2ò(D) òxf(x)dx=答 C 46设I=òdx9-x122f(x)+c 22,则I=( ) 1 (A) arcsinx+c 3x (B) arcsin+c 31x (C) arcsin+c 33x (D) 3arcsin+c 3 答B 47设函数ln(ax)与ln(bx) (a¹b),则( ) (A) ln(ax)的原函数是11,ln(bx)的原函数是 axbx (B) ln(ax)与ln(bx)的原函数不相等 1 (C) ln(ax)与ln(bx)的原函数都是 x (D) ln(ax)与ln(bx)的原函数相等,但不是 答B 1 x 12 第三部分 不定积分 第 13 页 共 33 页 ex-148设I=òxdx,则I=( ) e+1(A) ln(ex+1)+c (B) ln(ex-1)+c (C) ò(1-2)dx=x-2ln(ex+1)+c xe+12ex-ex-1dx=2ln(ex+1)-x+c (D) òxe+1答D 49设I=òsin3(2x)dx,则I=( ) 1(A) -cos(2x)+cos3(2x)+c 311(B) cos(2x)-cos3(2x)+c 2611(C) -cos(2x)+cos3(2x)+c 2611(D) -x+cos3(2x)+c 26 答C 50设I=òdxxx-12,则I=( ) 1d(x2-1)(A) ò=x2-1+c 2x2-1(B) òdx1x21-2x=arcsin1+c x(C) -arcsinx+c 1(D) -arcsin+c x答 D 51设I=ò1-tanxdx,则I=( ) 1+tanxcosx-sinxcos2x-sin2xcos2x(A) òdx=òdx=dx=ln1+sin2x+c 2òcosx+sinx1+sin2x(cosx+sinx)13 第三部分 不定积分 第 14 页 共 33 页 (cosx-sinx)21-sin2xdx(B) ò=òcos2xdx=lnsec2x+tan2x+lncos2x+c cos2x-sin2x(C) 令tanx=t,I=ò(D) òdttdt2-ò=ln1+tanx-lnsecx+c 21+t1+td(cosx+sinx)=lncosx+sinx+c cosx+sinxdx,则I=( ) 22sinx+2cosx答 D 52设I=ò(A) ò(B) ò(C) ò(D) d(tanx)1x=arctan+c 2+tan2x22dx=arctan(cosx)+c 1+cos2xdx1ln=22-sinx2212arctantanx2+c 2+sinx2-sinx+c 答 D 53设f(x)有原函数xlnx,则òxf¢(x)dx=( ) (A) x(lnx+1)-xlnx+c 1lnx(B) x2(+)+c 421lnx(C) x2(-)+c 421lnx(D) x2(-)+c 24 答 A 54设F1(x),F2(x)是区间I内的连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)¹0，则在 区间I内必有( ) F1(x)+F2(x)=c, ( B) F1(x)×F2(x)=c, (C ) F1(x)=cF2(x), 14 第三部分 不定积分 第 15 页 共 33 页 (D) F1(x)-F2(x)=c,其中c为某一适当常数。 答 55设函数f(x)在区间a,b上的某个原函数为零，则在区间a,b上f(x)( ) (A)的原函数恒等于零。 (B)的不定积分恒等于零。 (C) 不恒等于零,但其导数f¢(x)恒等于零。 (D) 恒等于零。 答(D) 56设a是正数。函数f(x)=ax，j(x)=axlogae，则( ) (A)f(x)是j(x)的导数。 (B) j(x)是f(x)的导数。 (C) f(x)是j(x)的原函数。 (D) j(x)是f(x)的不定积分。 答 (A) 57若f¢(x2)=1x(x>0), 则f(x)=( ) (A)2x+c. (B)lnx+c. (C)2x+c. (D)1x+c. 答(C) 58若f¢(sin2x)=cos2x, 则f(x)=( ) (A)sinx-12sin2x+c. (B) x-12x2+c. (C) cosx-sinx+c. 15 第三部分 不定积分 第 16 页 共 33 页 1(D) x2-x+c. 2答(B) 59. 设f(x)是区间a,b上的连续函数，则在开区间(a,b)内f(x)必有( ) (A)导函数。 (B)原函数。 (C) 最大值或最小值。 (D)极值。 答(B) 60. 已知函数y=3x2的一条积分曲线通过点，则其积分曲线的方 程是y=( ) (A)x3. (B) x3+1 (C) x3+2 x3+c(c为任意常数） 答(A) 61设F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数，则f(x)在(a,b)的不定积分是 (A )F(x)+c (B ) F(x)+c2 (C )F(x)+cosc (D) F(x)+lnc 答D 62设f(x)在(a,b)上有原函数F(x)，则 (A )f(x)在(a,b)上可导 (B)f(x)在(a,b)上连续 (C) f(x)在(a,b)上不一定连续 (D) f(x)在(a,b)上不连续 答C 16 第三部分 不定积分 第 17 页 共 33 页 63设f(x)在(-a,a)上是奇函数，(a>0)且在(-a,a)上存在原函数F(x)，则 F(x)在(-a,a)上 (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) 可能是奇、也可能是偶函数 (D) 非奇、非偶函数 答A 64设f¢(x)连续，则 (A) òf¢(2x)dx=1f(2x)+C (B) òf¢(2x)dx=f(2x)+C 2 (C )òf¢(2x)dx=f(x)+C (D)òf(2x)dx¢=2f(2x) 答A 65设f(x)=e (A) òe-x-x，则它在(-¥,+¥)上的不定积分是 ì-ex+c1dx=íxîe+c2x³0 x<0 (B) òe (C) òe (D) òe-xdx=-e-x+c dx=ex+c ì-ex+2+cx³0dx=í xe+cx<0î-x-x 答D 66已知òf(x)dx=xex-ex+C 则òf¢(x)dx= (A ) xex-ex+C (B )xex+C (C ) xex+ex+C (D) xex-2ex+C 答B 67设f¢(cos2x)=sin2x，且f(0)=0，则f(x)= (A ) cosx+1cos2x (B ) cos2x-1cos4x 22 (C ) x+1x2 (D ) x-1x2 2217 第三部分 不定积分 第 18 页 共 33 页 答D 68若lnx为f(x)的一个原函数，则òxf¢(x)dx= x(A) lnx+C (B) lnx2+1+C xx(C ) 1+C (D ) 1-2lnx+C xxx 答D 69设f¢(lnx)=1+x,x>0，则f(x)= 22x1(A ) lnx+(lnx)+C (B) x+C 22(C ) x+ex+C (D) 1e2x+ex+C 2 答C 70如果F(x)是f(x)的一个原函数，c是不等于0且不等于1的其他任意常数，那么 也必是f(x)的原函数。 (A ) cF(x) (B) F(cx) (C ) F(x) ( D) F(x)+C c 答D 71要分解为部分分式之和，应设 1为( ) x(x+2)2ab +xx+2ab+ 2x(x+2)abc+ xx+2(x+2)2abcx+d+ 2xx+2(x+2) 答 C 18 第三部分 不定积分 第 19 页 共 33 页 72要通过令2x+1=t使òn62x+14x+2x+1dx化成有理函数的积分，应取( ) 4 6 12 24 答 C 73分部积分法不适用于计算以下哪些函数的不定积分？( ) lnx (B) arcsinx (C) cos3x (D) sec3x 答 C 74设f(x)有一个原函数是-cosx+c sinx，则òf'(x)dx=( ) x2sinx+c xsinx(C) xf(x)-+c,因f(x)未定，故只能计算到此。 xdx(D) ò(2sinx-2xcosx-x2sinx)2,这是一个不能用有限形式表示的非初x(B) cosx-等积分。 答 B 75指出初等积分( ) xdx òex òexdx ò2dx lnx òsinx2dx 19 第三部分 不定积分 第 20 页 共 33 页 答 A 76指出非初等积分( ) (A) òln2xdx (B) òsinxxdx (C) òx2sinxdx (D) òxsin2xdx 答 B 77 òx1-x2arccosxdx=( ) (A) -12arccosx1-x2-12x+c (B) arccosx1-x2+x+c (C) -arccosx1-x2-x+c (D) -arccosx1-x2+x+c 答 C 78òdxx2=+4x+5( ) (A) arcsin(x+2)+c (B) ln(x+2+x2+4x+5)+c (C) ln(x+2-x2+4x+5)+c (D) arccos(x+2)+c 答 B 79积分 òdxsin3xcosx =( ) tanx+ln|tanx|+c 2ln|cscx|+tanx+c 20 cotx+ln|cotx|+c ln|tanx|-12csc2x+c 第三部分 不定积分 第 21 页 共 33 页 答 D 80积分 òdx =( ) x1+e ln(1+ex)+c x+ln(1+ex)+c ln(1+e-x)+c -ln(1+e-x)+c 答 D 81积分 òxlnx(x2-1)32dx =( ) lnxx2-11+c x1+c xlnx(x-1)252+arccosx+c +arcsin -答 D 82积分 òlnx(x2-1)52+arcsinx+c -lnxx2-1+arccosdxx(x100+2) =( ) 1x1001x100ln+c ln+c 200x100+2100x100+21|x|1|x| ln100+c ln100+c 2x+2100x+2答A 83下面说法中，错误的是 ì-1当x<0 函数F(x)=x是函数f(x)=í的一个原函数。 1当x³0î 函数连续仅是其存在原函数的充分条件，而不是必要条件。 有一个原函数为常数的函数，必恒为0。 任一函数的任意两条积分曲线是不相交的。 答A 84òarcsinxdx=( ) 11-x2+c 21 第三部分 不定积分 第 22 页 共 33 页 xarcsinx+1-x2+c xarcsinx+1-x22+c xarcsinx+1c1-x2+ 答B 85 òexdx= ( ) ex+c ex+c2 ex+1c ex+2c 答D 86若òf(x)dx=F(x)+c，且x=at+b，则òf(t)dt=F(x)+c F(t)+c 1aF(at+b)+c F(at+b)+c 答B 87òlnxx2dx= 1xlnx+1x+c -1xlnx+1x+c 1xlnx-1x+c -1xlnx-1x+c 答D 22 ） 第三部分 不定积分 第 23 页 共 33 页 ex-188 òxdx= e+1ln(ex+1)+c ln(ex-1)+c x-2ln(ex+1)+c 2ln(ex+1)-x+c 答D 89已知f(x)dx=F(x)+c，则òf(b-ax)dx= F(b-ax)+c -1F(b-ax)+c aaF(b-ax)+c 1F(b-ax)+c a答B 90设I=òdxx1-x2,下列做法中不正确的是( ) (A) 设x=sint,I=òdtx=lncsct-cott+c=ln+c 2sint1+1-x1-dt1+1-x2=-ln+c (B) 设x=,I=ò2txt-11d(x2)(C) I=ò,再令1-x2=t 2x21-x21(D) I=òd(arcsinx),再用分部积分法 x答 D 91设I=ò(A) I=arctanxdx,下列做法中不正确的是( ) 22x(1+x)112d(arctanx),再用分部积分法 2ò2x23 第三部分 不定积分 第 24 页 共 33 页 (B) 设arctanx=t,I=òtcot2tdt,再用分部积分法 ò(x2+1)-x2(C) I=arctanx12x2(1+x2)arctanxdx=òx2dx-2arctanx+c 对第一个积分再用分部积分法 (D) I=ò(1x2-11+x2)arctanxdx 答 A 92函数f(x)=(x+x)2的一个原函数F(x)=( ) (A)43x3. (B) 43xx2. (C)23x(x2+x2). (D) 23x2(x+x). 答(D) 93已知函数F(x)的导数为f(x)=11-x2,且F(1)=32p，则F(x)=( ) (A)arcsinx. (B) arcsinx+p2. (C) arccosx+p. (D) arcsinx+p. 答(D) 94òxf¢¢(x)dx=( ) (A)xf¢(x)-òf(x)dx. (B)xf¢(x)-f¢(x)+c. (C) xf¢(x)-f(x)+c. (D) f(x)-xf¢(x)+c. 答(C) 24 第三部分 不定积分 第 25 页 共 33 页 395òx2-4xxdx=( ) 3443(A)x3-x4+c 4334443(B) x+x3+c 4367436(C) x-x4+c 736743(D) x6+x4+c 73答(C) 96òf¢(x)dx=( ) 21+f(x)(A)ln1+f(x)+c. 12(B) ln1+f(x)+c. 2(C)arctanf(x)+c. 1(D) arctanf(x)+c. 2答(C) 97 设òxf(x)dx=arcsinx+c，则ò3dx=( ) f(x)31-(1-x2)2+c 32 (1-x2)2+c 331(1-x2)2+c 32-(1-x2)2+c 33答 98 òx2arctanxdx=( ) 1+x211(A) xarctanx-ln(1+x2)-(arctanx)2+c 221(B) xarctanx-ln(1+x2)+c 211(C) xarctanx-ln(1+x2)+(arctanx)2+c 2225 第三部分 不定积分 第 26 页 共 33 页 (D) 12ln(1+x2)-12(arctanx)2+c 答 99òlnsinxsin2xdx=( ) cotxlnsinx-cotx-x+c -cotxlnsinx+cotx-x+c -cotxlnsinx-cotx+x+c -cotxlnsinx-cotx-x+c 答 100设f(x)的一个原函数是F(x)，a,b为非零常数，òf(a2x+bx)dx=( ) 1a2F(x)+c a2F(x)+c F(a2x+b)+c 1a2F(a2x+b)+c 答 ìx+1x³0101设f(x)=ïíï1î2e-xx<0，则f的一个原函数为 ( ) ìï1ïx2+xx³0ì1x2+xx³0F(x)=í2F(x)=ïï ïí2ïî-12e-xx<0ïî-12e-x+1ï2x<0ì12x³0ìx³0F(x)=ïïí2x+x+1 F(x)=ï1ïí2x2+x+1 ïî-12e-x+1ï2x<0ïïî-12e-xx<0 答 102设f(x)在(-¥,+¥)上有界，则下列命题中不正确的是 ( ) 26 则第三部分 不定积分 第 27 页 共 33 页 f(x)的任意原函数在(-¥,+¥)上连续； f(x)的任意两个原函数之差为常数； f(x)的任意两个原函数之和必为2f(x)的原函数； 若F(x)为f的一个原函数，G(x)为连续函数，则G(F(x)必为G(f(x)的原 函数。 答 设f(x)的一个原函数为sinxx，则òf(sinx+1)cosxdx=( ) sin(sinx+1)x+c sin(sinx+1)sinx+1+c sin(sinx+1)sinx+c sin(sinx+1)sin(x+1)答 arcsinex òexdx=( ) -x+ln(1-1-e2x)+c -x-ln(1-1-e2x)+c -x+ln(1-1-ex)+c -x-ln(1-1-ex)+c 答 òx-2x2-2x+10dx=( ) x2-2x+10-ln(x-1+x2-2x+10)+c -x2-2x+10-ln(x-1+x2-2x+10)+c 27 103104105 第三部分 不定积分 第 28 页 共 33 页 -x2-2x+10+ln(x-1+x2-2x+10)+c x2-2x+10+ln(x-1+x2-2x+10)+c 答 106设I=ò1-tanxdx ,则( ). 1+tanxcosx-sinxcos2x-sin2xcos2xdxd(sin2x) (A).I=ò dx=òdx=2òòcosx+sinx1+sin2x1+sin2x(cosx+sinx) =ln1+sin2x+C; (cosx-sinx)21-sin2xdcos2xdx=dx=sec2xdx+ (B).I=ò 22òòòcos2xcos2xcos-sinx =lnsec2x+tan2x+lncos2x+C; dttdt2-ò=ln1+tanx-lnsec+C ； 21+t1+td(cosx+sinx) (D).I=ò=lncosx+sinx+C. cosx+sinx (C).令tanx=t,I=ò 答 D 107设I=òdx， 则( ). 22sinx+2cosxd(tanx)1x=arctan+C; 2tanx+222 (A). I=ò (B).I=ò xtan=t2dx=arctan(cosx)+C; 21+cosx(C).I=2dtdt-1t-1dt1+t
