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上第十五章分式教材分析用人教版八年级上册第十五章分式教材分析与教学建议 广州市第七中学 尹双玲 分式蕴含着双重身份：既是除法的表达式又表示除法的结果。从这个观点出发，分式这章是继整式乘除之后对代数式进一步的研究。数学里的数与式，其生命力在于运算，只有与运算联系起来，才能深化对数与式的认识，分式的基础是分数、整式的四则运算、正整数指数幂的运算、多项式的因式分解、一元一次方程等知识。同时它是今后进一步学习反比例函数、一元二次方程的基础，分式变形也是在以后学习物理、化学中经常遇到的问题。 一、课标要求 以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式 类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念 类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加、减、乘、除运算 结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质；能用科学记数法表示小于1的正数 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想 结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型 二、重点、难点 重点：分式基本性质、分式运算、分式方程. 难点： .分式的四则混合运算它是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用；.分式方程的增根问题；.列分式方程解决实际问题与列整式方程相比，尽管涉及的基本数量关系相同，但是由于含有未知数的式子可以是整式或分式，所以更具灵活性，学生会感到困难. 关键：通过分式与分数类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式；教学中仔细分析数量关系， 用分式来表示未知量。 三、教材分析 本章知识结构图 本章的课时安排 本章共安排了三个小节以及两个选学内容，教学时间约需15课时，具体分配如下： 151 分式 3课时 152 分式的运算 6课时 153 分式方程 3课时 数学活动 1课时 小结 2课时 1 本章内容主要变化 1.更加突出类比的思考方法与学习方法 如：章引言：“像9060和这样分母中含有字母的式子都是分式.本章中，我们将类比分数学习30+v30-v分式，解一些分式方程，并利用分式的知识解决一些实际问题。” 如：书P“我们知道，要是分数有意义，分数中的分母不能为0，要使分式有意义，分式中128页思考：的分母应满足什么条件？” 如：章小结：“分式与分数具有类似的形式，也具有类似的性质和运算.本章通过与分数进行类比，得出分式的基本性质，引入分式的运算.”“通过比较分数和分式的基本性质和运算法则你有什么认识？类比的方法在本章学习中起什么作用？” 2.进一步加强运算能力的培养 52m-4x+2x-1x-4)×-2)¸； (2 2-m3-mx-2xx-4x+4xxya2xy-a-1 增加习题：P与；与；P132页练习2.通分：141页2.计算abbca-1a(x+2)b(x+2)增加例题：P141页例8：计算：(1)(m+2+3.将整数指数幂的5条运算性质归结为3条 原来是5条性质，把同底数幂的除法a¸a转化为同底数幂的乘法a×amnm-n；商的乘方转化为abn(a×b-1)n.这样，整数指数幂的运算性质就归结为： mnm+na×a=a (a)=anmnmn(ab)=ab 4.精简“数学活动”的篇幅，提高“数学活动”的“活动性” 原教材中“活动2 计算长度”意义不大，“活动3 设计镜框”较难，删去活动2,3.改写“活动1 探究比例的性质”展现了获得数学结论的一种重要途径：先通过合情推理提出猜想，再通过逻辑推理加以证明获得数学结论，这个活动有助于学生积累数学活动经验，体会学习数学研究数学的一般进程，突出特殊到一般的过程，提高活动性. 对于活动1，学生比较好的班级可以给出这四个等式的名称方便理解“更比式、反比式、合比式、合分比式”，也可以把成比例的概念和比例的性质做更多的介绍，因为以往这部分内容是在学习相似三角形之前的比例线段中介绍，但是新教材把这部分的内容放到了高中，并且相似三角形也放在在九年级下学期，对于优秀生接触这些变换有助于提高思维的灵活性. 本章的总体把握 第一部分 分式是整章的理论基础； 第二部分 分式的运算是第一部分的实践应用； 第三部分 分式方程是对分式的发展，其解法及应用充分体现了“化归”与“建模”两类重要思想. 1重视分式与分数的联系，类比分数认识分式 分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系，即相对于分式而言分数是具体的、特殊的对象，分式是把具体的分数一般化后的抽象形式 由于分式与分数具有类似的形式，因而也具有类似的性质和运算分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则，是从分数的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的两者具有一致性，这也可以说是数式通性 2 nn2重视分式、分式方程与实际的联系，体现数学建模思想 分式、分式方程是描述现实问题中数量关系的重要数学模型，而数量关系广泛存在于现实世界中.将实际问题抽象成分式分式方程等数学建模进而解决问题，进一步培养学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识，培养学生的创新精神.“分式”的概念之前安排了“思考”栏目，考虑如何用式子表示实际问题中的数量关系。在讨论分式的乘除运算和加减运算的过程中，安排了设计容积、工作效率、耕作面积、工程进度、增长率等多个实际问题。在讨论分式方程时，更注意结合分析、解决实际问题逐步深入。 3重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤 关键步骤1：去分母转化为整式方程，解整式方程；关键步骤2：通过去分母得出的整式方程必须检验。这里结合具体例子分析了产生增根的原因，然后归纳出检验增根的方法。力求做到既说明做法的合理性，又适可而止，不超越学生的实际水平。 四、本章各节教学建议 15.1分式 使学生掌握分式的概念，分式的基本性质，能熟练地进行分式变形及约分通分. 让学生尽可能多地运 用观察、类比、猜想、尝试等多种方法参与课堂讲解； 例1当x为何值时，下列分式的值为0？ 2x+2-4 x x-1x-2x-2x2-x说明：书P128例1填空是应用分式有意义的条件分母不为零，解出字母x的值.还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，“分式值为0”使学生比较全面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围打下良好的基础. 3a2bx2-12(x-y)2-4x2yz3例2约分： 2 6ab2cx-2x+1y-x16xyz5例3通分3a-b2x3x和 和 x-5x+52a2bab2c说明：由于约分中要用到分解因式，应视学生的基础决定是否先复习分解因式，或在隔天有针对性的布置一点分解因式题让学生复习。 注：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它是分式的基本性质的应用之一，所以可补充例题.“一个负号走来走去，两个负号全都枪毙，三个负号只剩一个. 15.2 分式的运算 使学生能准确地进行分式的乘除、加减以及混合运算.使学生学会用科学记数法表示绝对值小于1的数，并能进行有关负整数指数幂的运算. 运算复杂、出错机会增多，板书要细、书写要规范；控制好题目的难度，不要盲目加大运算量，混合运算一般在4个以内. 说明：建议可以根据需要考虑把分式的加减调前两课时，因为它只需要通分和约分，与刚学的通分和约分紧密联系，有利于巩固、熟练掌握通分和约分的运算，为后面的分式混合运算打基础. 教学方法：注意运算用类比的方法.例如，用类比“分数”加减法法则去掌握“分式”的加减法法则。 131512111+ 2、- 3 、+ 4、- 5、1+ 556623234a116132m-n+-1+例 -22222a+bx-3x-9a-ba-12m-n(2m-n)引入：快算: 1、15.3 分式方程 使学生掌握解分式方程的步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程，并会验根，了解验根的必要性；3 并能列出可化为一元一次方程的分式方程解决简单的实际问题，发展学生的合情推理能力、解决实际问题的能力； 教学方法：用转化的思想，把分式方程转化为一元一次方程。解分式方程与解一元一次方程最大不同之处：解分式方程必须进行验根。因为解分式方程的第一步是去有未知数的分母，而这带有未知数的分母有可能等于零，导致使原来的分式方程中的分式的分母为零而无意义。 解决策略：教学时注意把通分和去分母做比较；应用题通过列表表示出各个数量关系，然后再找数量关系。 引入 ： 2x-1x-3=1+ 32复习解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. x3-1= (x-1)(x+2)x-1注意：若分母为多项式，先因式分解后确定最简公分母。去分母时，不要漏乘不含分母的项. 解分式方程一定要检验。 在强调解分式方程必须检验时，考虑到学生的知识基础和接受能力，教材没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论，而是通过具本例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根的方法，然后归纳出检验增根的方法. 五、本章突出的数学思想方法 1、类比法:本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了 分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技 巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程. 2、转化思想:转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化 为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想。如：分式除法,转化为 分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法转化为同分母的分式加减法；解分式方程的 基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等 3、建模思想:本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题分式方程模型求解解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义。 4整体的思想 已知 x+ 11=2,求x2+2;xx1x42x+3xy-2yx-y=4xy,求.已知 x-2xy-y112x+3xy-2y-=3,求已知 xyx-2xy-y已知 x2-4x+1=0,求x4+ 4